28437 - Revision history

Andrei.Horvat at 14:31, 11 November 2023

2023-11-11T14:31:13Z

← Older revision		Revision as of 14:31, 11 November 2023
Line 1:		Line 1:
	'''28437 (Nicolae Mușuroaia)'''		'''28437 (Nicolae Mușuroaia)'''
	</br></br>		</br></br>'' Fie șirul '' <math> (a_n)_{n \geq 1} </math> '' cu termenii strict pozitivi, dat de relația'' <math> a_{n+1}=\ln(a_1 + a_2 + ... + a_n), n \geq 1. </math>'' Determinați ''<math>\lim_{{n \to \infty}} \left(\frac{a_{n+1}}{a_n}-1\right) \cdot e^{a_n}. </math>
	'' Fie șirul '' <math> (a_n)_{n \geq 1} </math> '' cu termenii strict pozitivi, dat de relația'' <math> a_{n+1}=\ln(a_1 + a_2 + ... + a_n), n \geq 1. </math>'' Determinați ''<math>\lim_{{n \to \infty}} \left(\frac{a_{n+1}}{a_n}-1\right) \cdot e^{a_n}. </math>		</br></br>'''Soluție:'''</br>Pentru orice <math> {n \geq 2} </math> avem <math>a_n = \ln(a_1 + a_2 + ... + a_{n-1})
	</br></br>
	'''Soluție:'''
	</br>
	Pentru orice <math> {n \geq 2} </math> avem <math>a_n = \ln(a_1 + a_2 + ... + a_{n-1})
	</math>, deci <math>a_n = a_1 + a_2 + ... + a_{n-1} = e^{a_n}</math>. Rezultă că pentru orice <math> {n \geq 2} </math> are loc		</math>, deci <math>a_n = a_1 + a_2 + ... + a_{n-1} = e^{a_n}</math>. Rezultă că pentru orice <math> {n \geq 2} </math> are loc
	</br>		</br><math display="block" id="28437eq1">a_{n+1}=\ln(e^{a_n} + a_n).</math>Deoarece <math> a_{n+1} - a_n = \ln(e^{a_n} + a_n) - \ln (e^{a_n} \ge 0) </math> pentru orice <math>{n \geq 2}</math> deducem că șirul <math> (a_n)_{n \geq 2} </math> este strict crescător.<br>Dacă șirul <math> (a_n)_{n \geq 2} </math> este mărginit superior, atunci <math> (a_n)_{n \geq 2} </math> este convergent cu <math>\lim_{{n \to \infty}} (a_n) = a \in (0, \infty). </math> Trecând la limită în relația (1), obținem <math> a = \ln(e^{a_n} + a)</math> de unde <math> a = 0 </math>, absurd! Prin urmare, șirul <math>((a_n)_{n \geq 1}</math> este crescător și nemărginit superior, deci <math>\lim_{{n \to \infty}} a_n =\infty</math>.
	<math display = "block">a_{n+1}=\ln(e^{a_n} + a_n).</math>		<br>Atunci <math display="block">\lim_{{n \to \infty}} \left(\frac{a_{n+1}}{a_n}-1\right) \cdot e^{a_n} = \lim_{{n \to \infty}} \frac{\ln(e^{a_n} + a_n) - \ln(e^{a_n})}{a_n} \cdot e^{a_n} = \lim_{{n \to \infty}} \frac{\ln\left(1+\frac{a_n}{e^{a_n}}\right)}{\frac{a_n}{e^{a_n}}} = 1</math> deoarece din <math>\lim_{{n \to \infty}} a_n =\infty </math> rezultă că <math display="block"> \lim_{{n \to \infty}} \frac{a_n}{e^{a_n}}=0.</math>
	~~</br>~~
	Deoarece <math> a_{n+1} - a_n = \ln(e^{a_n} + a_n) - \ln (e^{a_n} \ge 0) </math> pentru orice <math>{n \geq 2}</math> deducem că șirul <math> (a_n)_{n \geq 2} </math> este strict crescător.
	</br>
	Dacă șirul <math> (a_n)_{n \geq 2} </math> este mărginit superior, atunci <math> (a_n)_{n \geq 2} </math> este convergent cu <math>\lim_{{n \to \infty}} (a_n) = a \in (0, \infty). </math> Trecând la limită în relația (1), obținem <math> a = \ln(e^{a_n} + a)</math> de unde <math> a = 0 </math>, absurd! Prin urmare, șirul <math>((a_n)_{n \geq 1}</math> este crescător și nemărginit superior, deci <math>\lim_{{n \to \infty}} a_n =\infty</math>.
	</br>
	Atunci <math>\lim_{{n \to \infty}} \left(\frac{a_{n+1}}{a_n}-1\right) \cdot e^{a_n} = \lim_{{n \to \infty}} \frac{\ln(e^{a_n} + a_n) - \ln(e^{a_n})}{a_n} \cdot e^{a_n} = \lim_{{n \to \infty}} \frac{\ln\left(1+\frac{a_n}{e^{a_n}}\right)}{\frac{a_n}{e^{a_n}}} = 1</math> deoarece din <math>\lim_{{n \to \infty}} a_n =\infty </math> rezultă că <math> \lim_{{n \to \infty}} \frac{a_n}{e^{a_n}}=0</math>

Andrei.Horvat at 14:18, 11 November 2023

2023-11-11T14:18:42Z

← Older revision		Revision as of 14:18, 11 November 2023
Line 1:		Line 1:
	'''28437 (Nicolae Mușuroaia)'''		'''28437 (Nicolae Mușuroaia)'''
	</br></br>		</br></br>
	'' Fie șirul '' <math> (a_n)_{n \geq 1} </math> '' cu termenii strict pozitivi, dat de relația'' <math> a_{n+1}=\ln(a_1 + a_2 + ... + a_n), n \geq 1. </math>'' Determinați ''<math>\lim_{{n \to \infty}} (\frac{a_{n+1}}{a_n}-1) \cdot e^{a_n}. </math>		'' Fie șirul '' <math> (a_n)_{n \geq 1} </math> '' cu termenii strict pozitivi, dat de relația'' <math> a_{n+1}=\ln(a_1 + a_2 + ... + a_n), n \geq 1. </math>'' Determinați ''<math>\lim_{{n \to \infty}} \left(\frac{a_{n+1}}{a_n}-1\right) \cdot e^{a_n}. </math>
	</br></br>		</br></br>
	'''Soluție:'''		'''Soluție:'''

Pop Antonio Ionuț at 19:32, 8 November 2023

2023-11-08T19:32:12Z

← Older revision		Revision as of 19:32, 8 November 2023
Line 1:		Line 1:
	'''28437 (Nicolae Mușuroaia)'''		'''28437 (Nicolae Mușuroaia)'''
	</br></br>		</br></br>
	'' Fie șirul '' <math> (a_n)_{n \geq 1} </math> '' cu termenii strict pozitivi, dat de relația'' <math> a_{n+1}=ln(a_1 + a_2 + ... + a_n), n \geq 1. </math>'' Determinați ''<math>\lim_{{n \to \infty}} (\frac{a_{n+1}}{a_n}-1) \cdot e^{a_n}. </math>		'' Fie șirul '' <math> (a_n)_{n \geq 1} </math> '' cu termenii strict pozitivi, dat de relația'' <math> a_{n+1}=\ln(a_1 + a_2 + ... + a_n), n \geq 1. </math>'' Determinați ''<math>\lim_{{n \to \infty}} (\frac{a_{n+1}}{a_n}-1) \cdot e^{a_n}. </math>
	</br></br>		</br></br>
	'''Soluție:'''		'''Soluție:'''
	</br>		</br>
	Pentru orice <math> {n \geq 2} </math> avem <math>a_n = ln(a_1 + a_2 + ... + a_{n-1})		Pentru orice <math> {n \geq 2} </math> avem <math>a_n = \ln(a_1 + a_2 + ... + a_{n-1})
	</math>, deci <math>a_n = a_1 + a_2 + ... + a_{n-1} = e^{a_n}</math>. Rezultă că pentru orice <math> {n \geq 2} </math> are loc		</math>, deci <math>a_n = a_1 + a_2 + ... + a_{n-1} = e^{a_n}</math>. Rezultă că pentru orice <math> {n \geq 2} </math> are loc
	</br>		</br>
	<math display = "block">a_{n+1}=ln(e^{a_n} + a_n).</math>		<math display = "block">a_{n+1}=\ln(e^{a_n} + a_n).</math>
	</br>		</br>
	Deoarece <math> a_{n+1} - a_n = ln(e^{a_n} + a_n) - ln (e^{a_n} \ge 0) </math> pentru orice <math>{n \geq 2}</math> deducem că șirul <math> (a_n)_{n \geq 2} </math> este strict crescător.		Deoarece <math> a_{n+1} - a_n = \ln(e^{a_n} + a_n) - \ln (e^{a_n} \ge 0) </math> pentru orice <math>{n \geq 2}</math> deducem că șirul <math> (a_n)_{n \geq 2} </math> este strict crescător.
	</br>		</br>
	Dacă șirul <math> (a_n)_{n \geq 2} </math> este mărginit superior, atunci <math> (a_n)_{n \geq 2} </math> este convergent cu <math>\lim_{{n \to \infty}} (a_n) = a \in (0, \infty). </math> Trecând la limită în relația (1), obținem <math> a = ln(e^{a_n} + a)</math> de unde <math> a = 0 </math>, absurd! Prin urmare, șirul <math>((a_n)_{n \geq 1}</math> este crescător și nemărginit superior, deci <math>\lim_{{n \to \infty}} a_n =\infty</math>.		Dacă șirul <math> (a_n)_{n \geq 2} </math> este mărginit superior, atunci <math> (a_n)_{n \geq 2} </math> este convergent cu <math>\lim_{{n \to \infty}} (a_n) = a \in (0, \infty). </math> Trecând la limită în relația (1), obținem <math> a = \ln(e^{a_n} + a)</math> de unde <math> a = 0 </math>, absurd! Prin urmare, șirul <math>((a_n)_{n \geq 1}</math> este crescător și nemărginit superior, deci <math>\lim_{{n \to \infty}} a_n =\infty</math>.
	</br>		</br>
	Atunci <math>\lim_{{n \to \infty}} \left(\frac{a_{n+1}}{a_n}-1\right) \cdot e^{a_n} = \lim_{{n \to \infty}} \frac{\ln(e^{a_n} + a_n) - \ln(e^{a_n})}{a_n} \cdot e^{a_n} = \lim_{{n \to \infty}} \frac{\ln\left(1+\frac{a_n}{e^{a_n}}\right)}{\frac{a_n}{e^{a_n}}} = 1</math> deoarece din <math>\lim_{{n \to \infty}} a_n =\infty </math> rezultă că <math> \lim_{{n \to \infty}} \frac{a_n}{e^{a_n}}=0</math>		Atunci <math>\lim_{{n \to \infty}} \left(\frac{a_{n+1}}{a_n}-1\right) \cdot e^{a_n} = \lim_{{n \to \infty}} \frac{\ln(e^{a_n} + a_n) - \ln(e^{a_n})}{a_n} \cdot e^{a_n} = \lim_{{n \to \infty}} \frac{\ln\left(1+\frac{a_n}{e^{a_n}}\right)}{\frac{a_n}{e^{a_n}}} = 1</math> deoarece din <math>\lim_{{n \to \infty}} a_n =\infty </math> rezultă că <math> \lim_{{n \to \infty}} \frac{a_n}{e^{a_n}}=0</math>

Pop Antonio Ionuț at 19:30, 8 November 2023

2023-11-08T19:30:09Z

← Older revision		Revision as of 19:30, 8 November 2023
Line 14:		Line 14:
	Dacă șirul <math> (a_n)_{n \geq 2} </math> este mărginit superior, atunci <math> (a_n)_{n \geq 2} </math> este convergent cu <math>\lim_{{n \to \infty}} (a_n) = a \in (0, \infty). </math> Trecând la limită în relația (1), obținem <math> a = ln(e^{a_n} + a)</math> de unde <math> a = 0 </math>, absurd! Prin urmare, șirul <math>((a_n)_{n \geq 1}</math> este crescător și nemărginit superior, deci <math>\lim_{{n \to \infty}} a_n =\infty</math>.		Dacă șirul <math> (a_n)_{n \geq 2} </math> este mărginit superior, atunci <math> (a_n)_{n \geq 2} </math> este convergent cu <math>\lim_{{n \to \infty}} (a_n) = a \in (0, \infty). </math> Trecând la limită în relația (1), obținem <math> a = ln(e^{a_n} + a)</math> de unde <math> a = 0 </math>, absurd! Prin urmare, șirul <math>((a_n)_{n \geq 1}</math> este crescător și nemărginit superior, deci <math>\lim_{{n \to \infty}} a_n =\infty</math>.
	</br>		</br>
	Atunci <math>\lim_{{n \to \infty}}(\frac{a_{n+1}}{a_n}-1) \cdot e^{a_n}=\lim_{{n \to \infty}}\frac{ln(e^{a_n} + a_n)-ln(e^{a_n})}{a_n}\cdot e^{a_n} = \lim_{{n \to \infty}}\frac{ln(1+\frac{a_n}{e^{a_n})}{\frac{a_n}{e^{a_n}}=1 </math> deoarece din		Atunci <math>\lim_{{n \to \infty}} \left(\frac{a_{n+1}}{a_n}-1\right) \cdot e^{a_n} = \lim_{{n \to \infty}} \frac{\ln(e^{a_n} + a_n) - \ln(e^{a_n})}{a_n} \cdot e^{a_n} = \lim_{{n \to \infty}} \frac{\ln\left(1+\frac{a_n}{e^{a_n}}\right)}{\frac{a_n}{e^{a_n}}} = 1</math> deoarece din <math>\lim_{{n \to \infty}} a_n =\infty </math> rezultă că <math> \lim_{{n \to \infty}} \frac{a_n}{e^{a_n}}=0</math>
	<math>\lim_{{n \to \infty}} a_n =\infty </math> rezultă că <math> \lim_{{n \to \infty}} \frac{a_n}{e^{a_n}}=0</math>

Pop Antonio Ionuț at 19:25, 8 November 2023

2023-11-08T19:25:26Z

← Older revision		Revision as of 19:25, 8 November 2023
Line 14:		Line 14:
	Dacă șirul <math> (a_n)_{n \geq 2} </math> este mărginit superior, atunci <math> (a_n)_{n \geq 2} </math> este convergent cu <math>\lim_{{n \to \infty}} (a_n) = a \in (0, \infty). </math> Trecând la limită în relația (1), obținem <math> a = ln(e^{a_n} + a)</math> de unde <math> a = 0 </math>, absurd! Prin urmare, șirul <math>((a_n)_{n \geq 1}</math> este crescător și nemărginit superior, deci <math>\lim_{{n \to \infty}} a_n =\infty</math>.		Dacă șirul <math> (a_n)_{n \geq 2} </math> este mărginit superior, atunci <math> (a_n)_{n \geq 2} </math> este convergent cu <math>\lim_{{n \to \infty}} (a_n) = a \in (0, \infty). </math> Trecând la limită în relația (1), obținem <math> a = ln(e^{a_n} + a)</math> de unde <math> a = 0 </math>, absurd! Prin urmare, șirul <math>((a_n)_{n \geq 1}</math> este crescător și nemărginit superior, deci <math>\lim_{{n \to \infty}} a_n =\infty</math>.
	</br>		</br>
	Atunci <math>\lim_{{n \to \infty}}(\frac{a_{n+1}}{a_n}-1) \cdot e^{a_n}=\lim_{{n \to \infty}}\frac{ln(e^{a_n} + a_n)-ln(e^{a_n})}{a_n}\cdot e^{a_n} = \lim_{{n \to \infty}}\frac{ln(1+\frac{a_n}{e^{a_n})}{\frac{a_n}{e^{a_n}}=1</math> deoarece din		Atunci <math>\lim_{{n \to \infty}}(\frac{a_{n+1}}{a_n}-1) \cdot e^{a_n}=\lim_{{n \to \infty}}\frac{ln(e^{a_n} + a_n)-ln(e^{a_n})}{a_n}\cdot e^{a_n} = \lim_{{n \to \infty}}\frac{ln(1+\frac{a_n}{e^{a_n})}{\frac{a_n}{e^{a_n}}=1 </math> deoarece din
			<math>\lim_{{n \to \infty}} a_n =\infty </math> rezultă că <math> \lim_{{n \to \infty}} \frac{a_n}{e^{a_n}}=0</math>

Pop Antonio Ionuț at 19:20, 8 November 2023

2023-11-08T19:20:59Z

← Older revision		Revision as of 19:20, 8 November 2023
Line 14:		Line 14:
	Dacă șirul <math> (a_n)_{n \geq 2} </math> este mărginit superior, atunci <math> (a_n)_{n \geq 2} </math> este convergent cu <math>\lim_{{n \to \infty}} (a_n) = a \in (0, \infty). </math> Trecând la limită în relația (1), obținem <math> a = ln(e^{a_n} + a)</math> de unde <math> a = 0 </math>, absurd! Prin urmare, șirul <math>((a_n)_{n \geq 1}</math> este crescător și nemărginit superior, deci <math>\lim_{{n \to \infty}} a_n =\infty</math>.		Dacă șirul <math> (a_n)_{n \geq 2} </math> este mărginit superior, atunci <math> (a_n)_{n \geq 2} </math> este convergent cu <math>\lim_{{n \to \infty}} (a_n) = a \in (0, \infty). </math> Trecând la limită în relația (1), obținem <math> a = ln(e^{a_n} + a)</math> de unde <math> a = 0 </math>, absurd! Prin urmare, șirul <math>((a_n)_{n \geq 1}</math> este crescător și nemărginit superior, deci <math>\lim_{{n \to \infty}} a_n =\infty</math>.
	</br>		</br>
	Atunci <math>\lim_{{n \to \infty}}(\frac{a_{n+1}}{a_n}-1) \cdot e^{a_n}=\lim_{{n \to \infty}}\frac{ln(e^{a_n} + a_n)-ln(e^{a_n})}{a_n}\cdot e^{a_n}</math>		Atunci <math>\lim_{{n \to \infty}}(\frac{a_{n+1}}{a_n}-1) \cdot e^{a_n}=\lim_{{n \to \infty}}\frac{ln(e^{a_n} + a_n)-ln(e^{a_n})}{a_n}\cdot e^{a_n} = \lim_{{n \to \infty}}\frac{ln(1+\frac{a_n}{e^{a_n})}{\frac{a_n}{e^{a_n}}=1</math> deoarece din

Pop Antonio Ionuț at 19:15, 8 November 2023

2023-11-08T19:15:57Z

← Older revision		Revision as of 19:15, 8 November 2023
Line 14:		Line 14:
	Dacă șirul <math> (a_n)_{n \geq 2} </math> este mărginit superior, atunci <math> (a_n)_{n \geq 2} </math> este convergent cu <math>\lim_{{n \to \infty}} (a_n) = a \in (0, \infty). </math> Trecând la limită în relația (1), obținem <math> a = ln(e^{a_n} + a)</math> de unde <math> a = 0 </math>, absurd! Prin urmare, șirul <math>((a_n)_{n \geq 1}</math> este crescător și nemărginit superior, deci <math>\lim_{{n \to \infty}} a_n =\infty</math>.		Dacă șirul <math> (a_n)_{n \geq 2} </math> este mărginit superior, atunci <math> (a_n)_{n \geq 2} </math> este convergent cu <math>\lim_{{n \to \infty}} (a_n) = a \in (0, \infty). </math> Trecând la limită în relația (1), obținem <math> a = ln(e^{a_n} + a)</math> de unde <math> a = 0 </math>, absurd! Prin urmare, șirul <math>((a_n)_{n \geq 1}</math> este crescător și nemărginit superior, deci <math>\lim_{{n \to \infty}} a_n =\infty</math>.
	</br>		</br>
	Atunci <math>\lim_{{n \to \infty}}(\frac{a_{n+1}}{a_n}-1) \cdot e^{a_n}=		Atunci <math>\lim_{{n \to \infty}}(\frac{a_{n+1}}{a_n}-1) \cdot e^{a_n}=\lim_{{n \to \infty}}\frac{ln(e^{a_n} + a_n)-ln(e^{a_n})}{a_n}\cdot e^{a_n}</math>

Pop Antonio Ionuț at 19:09, 8 November 2023

2023-11-08T19:09:43Z

← Older revision		Revision as of 19:09, 8 November 2023
Line 12:		Line 12:
	Deoarece <math> a_{n+1} - a_n = ln(e^{a_n} + a_n) - ln (e^{a_n} \ge 0) </math> pentru orice <math>{n \geq 2}</math> deducem că șirul <math> (a_n)_{n \geq 2} </math> este strict crescător.		Deoarece <math> a_{n+1} - a_n = ln(e^{a_n} + a_n) - ln (e^{a_n} \ge 0) </math> pentru orice <math>{n \geq 2}</math> deducem că șirul <math> (a_n)_{n \geq 2} </math> este strict crescător.
	</br>		</br>
	Dacă șirul <math> (a_n)_{n \geq 2} </math> este mărginit superior, atunci <math> (a_n)_{n \geq 2} </math> este convergent cu <math>\lim_{{n \to \infty}} (a_n) = a \in (0, \infty). </math> Trecând la limită în relația (1), obținem		Dacă șirul <math> (a_n)_{n \geq 2} </math> este mărginit superior, atunci <math> (a_n)_{n \geq 2} </math> este convergent cu <math>\lim_{{n \to \infty}} (a_n) = a \in (0, \infty). </math> Trecând la limită în relația (1), obținem <math> a = ln(e^{a_n} + a)</math> de unde <math> a = 0 </math>, absurd! Prin urmare, șirul <math>((a_n)_{n \geq 1}</math> este crescător și nemărginit superior, deci <math>\lim_{{n \to \infty}} a_n =\infty</math>.
			</br>
			Atunci <math>\lim_{{n \to \infty}}(\frac{a_{n+1}}{a_n}-1) \cdot e^{a_n}=

Pop Antonio Ionuț at 17:07, 8 November 2023

2023-11-08T17:07:09Z

@@ Line 1: / Line 1: @@
 '''28437 (Nicolae Mușuroaia)'''
 </br>
-'' Fie șirul '' <math> ((a_n))_{n \geq 1} </math> '' cu termenii strict pozitivi, dat de relația <math> a_{n+1} </math>
+Pentru orice <math> {n \geq 2} </math> avem <math>a_n = ln(a_1 + a_2 + ... + a_{n-1})

Nagy Lenard at 16:08, 8 November 2023

2023-11-08T16:08:31Z

← Older revision		Revision as of 16:08, 8 November 2023
Line 1:		Line 1:
	'''28437 (Nicolae Mușuroaia)'''		'''28437 (Nicolae Mușuroaia)'''
			</br>
	'' Fie șirul '' <math> ((a_n))_{n \geq 1} </math> '' cu termenii strict pozitivi, dat de relația <math> a_{n+1} </math>		'' Fie șirul '' <math> ((a_n))_{n \geq 1} </math> '' cu termenii strict pozitivi, dat de relația <math> a_{n+1} </math>