28405 - Revision history

Andrei.Horvat: Created page with "'''28405 (Dana Heuberger)''' ''Fie triunghiul $ABC$ înscris în cercul de centru $O$ și rază $r$ . Notăm cu $D$ , $E$ și $F$ mijloacele arcelor mici $BC$ , $CA$ , respectiv $AB$ ale cercului, și cu $M$ , $N$ , $P$ punctele de intersecție ale dreptelor $AF$ și $CE$ , $AF$ și $BD$ , respectiv
2025-01-05T09:33:52Z

Created page with "'''28405 (Dana Heuberger)''' ''Fie triunghiul <math>ABC</math> înscris în cercul de centru <math>O</math> și rază <math>r</math>. Notăm cu <math>D</math>, <math>E</math> și <math>F</math> mijloacele arcelor mici <math>BC</math>, <math>CA</math>, respectiv <math>AB</math> ale cercului, și cu <math>M</math>, <math>N</math>, <math>P</math> punctele de intersecție ale dreptelor <math>AF</math> și <math>CE</math>, <math>AF</math> și <math>BD</math>, respectiv <math..."

New page
'''28405 (Dana Heuberger)'''

''Fie triunghiul <math>ABC</math> înscris în cercul de centru <math>O</math> și rază <math>r</math>. Notăm cu <math>D</math>, <math>E</math> și <math>F</math> mijloacele arcelor mici <math>BC</math>, <math>CA</math>, respectiv <math>AB</math> ale cercului, și cu <math>M</math>, <math>N</math>, <math>P</math> punctele de intersecție ale dreptelor <math>AF</math> și <math>CE</math>, <math>AF</math> și <math>BD</math>, respectiv <math>BD</math> și <math>CE</math>. Dacă
<math>
\vec{MA} + \vec{NB} + \vec{PC} = \vec{0}
</math>
și
<math>
\vec{ME} + \vec{NF} + \vec{PD} = \vec{0},
</math>
arătați că triunghiul <math>ABC</math> este echilateral.''

'''Soluție'''
Scăzând relațiile din ipoteză obținem:
<math>
(\vec{ME} - \vec{MA}) + (\vec{NF} - \vec{NB}) + (\vec{PD} - \vec{PC}) = \vec{0},
</math>
adică
<math>
\vec{AB} + \vec{BF} + \vec{CD} = \vec{0}.
</math>
Deducem că
<math>
\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} = \vec{OD} + \vec{OE} + \vec{OF},
</math>
de unde, folosind relația lui Sylvester, reiese că ortocentrul <math>H</math> al triunghiului <math>ABC</math> este și ortocentrul triunghiului <math>DEF</math>, relație notată cu (1).

Cum <math>D</math>, <math>E</math>, <math>F</math> sunt mijloacele arcelor <math>BC</math>, <math>CA</math>, respectiv <math>AB</math>, rezultă că drepturile <math>AD</math>, <math>BE</math> și <math>CF</math> sunt bisectoarele unghiurilor triunghiului <math>ABC</math>. În plus:
<math>
\measuredangle (AD, EF) = \frac{1}{2} (m(AE) + m(DF)) = \frac{1}{2} (m(AE) + m(DB) + m(BF)) = \frac{1}{4} (m(AC) + m(CB) + m(BA)) = 90^\circ,
</math>
deci <math>DA \perp EF</math>. Analog, obținem <math>EB \perp DE</math> și <math>FC \perp DE</math>.

Ca urmare, ortocentrul triunghiului <math>DEF</math> este intersecția dreptelor <math>DA</math>, <math>EB</math> și <math>FC</math>, adică intersecția bisectoarelor triunghiului <math>ABC</math>.

Ținând cont de (1), deducem că, în triunghiul <math>ABC</math>, ortocentrul și centrul cercului înscris coincid, deci <math>ABC</math> este triunghi echilateral.