28354 - Revision history

Andrei.Horvat at 13:31, 4 December 2023

2023-12-04T13:31:05Z

← Older revision		Revision as of 13:31, 4 December 2023
Line 1:		Line 1:
	'''28354 (Florin Bojor)'''		'''28354 (Florin Bojor)'''

	''Fie <math>O</math> punctul de intersecție a diagonalelor patrulaterului convex <math>ABCD</math> și punctele <math>E</math>, <math>F</math>, <math>G</math> și <math>H</math> situate pe segmentele <math>OA</math>, <math>OB</math>, <math>OC</math>, respectiv <math>OD</math>, astfel încât <math>AE = BF = CG = DH</math>. Notăm cu <math>I</math>, <math>J</math>, <math>K</math> și <math>L</math> mijloacele segmentelor <math>AB</math>, <math>BC</math>, <math>CD</math>, respectiv <math>DA</math> și cu <math>M</math>,<math>N</math>, <math>P</math> și <math>Q</math> mijloacele segmentelor <math>EF</math>, <math>FG</math>,		''Fie <math>O</math> punctul de intersecție a diagonalelor patrulaterului convex <math>ABCD</math> și punctele <math>E</math>, <math>F</math>, <math>G</math> și <math>H</math> situate pe segmentele <math>OA</math>, <math>OB</math>, <math>OC</math>, respectiv <math>OD</math>, astfel încât <math>AE = BF = CG = DH</math>. Notăm cu <math>I</math>, <math>J</math>, <math>K</math> și <math>L</math> mijloacele segmentelor <math>AB</math>, <math>BC</math>, <math>CD</math>, respectiv <math>DA</math> și cu <math>M</math>, <math>N</math>, <math>P</math> și <math>Q</math> mijloacele segmentelor <math>EF</math>, <math>FG</math>,
	<math>GH</math>, respectiv <math>HE</math>. Arătați că:		<math>GH</math>, respectiv <math>HE</math>. Arătați că:
	<ol type="a"><li> punctele <math>I</math>,<math>M</math> și <math>K</math> sunt coliniare dacă și numai dacă <math>AC=BD</math>.</li>		<ol type="a"><li> punctele <math>I</math>,<math>M</math> și <math>K</math> sunt coliniare dacă și numai dacă <math>AC=BD</math>.</li>

Andrei.Horvat at 13:29, 4 December 2023

2023-12-04T13:29:52Z

← Older revision		Revision as of 13:29, 4 December 2023
Line 3:		Line 3:
	''Fie <math>O</math> punctul de intersecție a diagonalelor patrulaterului convex <math>ABCD</math> și punctele <math>E</math>, <math>F</math>, <math>G</math> și <math>H</math> situate pe segmentele <math>OA</math>, <math>OB</math>, <math>OC</math>, respectiv <math>OD</math>, astfel încât <math>AE = BF = CG = DH</math>. Notăm cu <math>I</math>, <math>J</math>, <math>K</math> și <math>L</math> mijloacele segmentelor <math>AB</math>, <math>BC</math>, <math>CD</math>, respectiv <math>DA</math> și cu <math>M</math>,<math>N</math>, <math>P</math> și <math>Q</math> mijloacele segmentelor <math>EF</math>, <math>FG</math>,		''Fie <math>O</math> punctul de intersecție a diagonalelor patrulaterului convex <math>ABCD</math> și punctele <math>E</math>, <math>F</math>, <math>G</math> și <math>H</math> situate pe segmentele <math>OA</math>, <math>OB</math>, <math>OC</math>, respectiv <math>OD</math>, astfel încât <math>AE = BF = CG = DH</math>. Notăm cu <math>I</math>, <math>J</math>, <math>K</math> și <math>L</math> mijloacele segmentelor <math>AB</math>, <math>BC</math>, <math>CD</math>, respectiv <math>DA</math> și cu <math>M</math>,<math>N</math>, <math>P</math> și <math>Q</math> mijloacele segmentelor <math>EF</math>, <math>FG</math>,
	<math>GH</math>, respectiv <math>HE</math>. Arătați că:		<math>GH</math>, respectiv <math>HE</math>. Arătați că:
	<ol><li> a) punctele <math>I</math>,<math>M</math> și <math>K</math> sunt coliniare dacă și numai dacă <math>AC=BD</math>.</li>		<ol type="a"><li> punctele <math>I</math>,<math>M</math> și <math>K</math> sunt coliniare dacă și numai dacă <math>AC=BD</math>.</li>
	<li> b) <math>AC \not= BD</math>, punctele de intersecție ale dreptelor <math>IM</math>,<math>NJ</math>,<math>PK</math> și <math>LQ</math> sunt vârfurile unui dreptunghi.</li></ol>''		<li> <math>AC \not= BD</math>, punctele de intersecție ale dreptelor <math>IM</math>,<math>NJ</math>,<math>PK</math> și <math>LQ</math> sunt vârfurile unui dreptunghi.</li></ol>''

Andrei.Horvat at 13:28, 4 December 2023

2023-12-04T13:28:13Z

← Older revision		Revision as of 13:28, 4 December 2023
Line 3:		Line 3:
	''Fie <math>O</math> punctul de intersecție a diagonalelor patrulaterului convex <math>ABCD</math> și punctele <math>E</math>, <math>F</math>, <math>G</math> și <math>H</math> situate pe segmentele <math>OA</math>, <math>OB</math>, <math>OC</math>, respectiv <math>OD</math>, astfel încât <math>AE = BF = CG = DH</math>. Notăm cu <math>I</math>, <math>J</math>, <math>K</math> și <math>L</math> mijloacele segmentelor <math>AB</math>, <math>BC</math>, <math>CD</math>, respectiv <math>DA</math> și cu <math>M</math>,<math>N</math>, <math>P</math> și <math>Q</math> mijloacele segmentelor <math>EF</math>, <math>FG</math>,		''Fie <math>O</math> punctul de intersecție a diagonalelor patrulaterului convex <math>ABCD</math> și punctele <math>E</math>, <math>F</math>, <math>G</math> și <math>H</math> situate pe segmentele <math>OA</math>, <math>OB</math>, <math>OC</math>, respectiv <math>OD</math>, astfel încât <math>AE = BF = CG = DH</math>. Notăm cu <math>I</math>, <math>J</math>, <math>K</math> și <math>L</math> mijloacele segmentelor <math>AB</math>, <math>BC</math>, <math>CD</math>, respectiv <math>DA</math> și cu <math>M</math>,<math>N</math>, <math>P</math> și <math>Q</math> mijloacele segmentelor <math>EF</math>, <math>FG</math>,
	<math>GH</math>, respectiv <math>HE</math>. Arătați că:		<math>GH</math>, respectiv <math>HE</math>. Arătați că:
	<li> a) punctele <math>I</math>,<math>M</math> și <math>K</math> sunt coliniare dacă și numai dacă <math>AC=BD</math>.		<ol><li> a) punctele <math>I</math>,<math>M</math> și <math>K</math> sunt coliniare dacă și numai dacă <math>AC=BD</math>.</li>
	<li> b) <math>AC \not= BD</math>, punctele de intersecție ale dreptelor <math>IM</math>,<math>NJ</math>,<math>PK</math> și <math>LQ</math> sunt vârfurile unui dreptunghi.</li></ol>''		<li> b) <math>AC \not= BD</math>, punctele de intersecție ale dreptelor <math>IM</math>,<math>NJ</math>,<math>PK</math> și <math>LQ</math> sunt vârfurile unui dreptunghi.</li></ol>''

Line 21:		Line 21:
	\overrightarrow{i} + \frac{{BD}}{2} \cdot \overrightarrow{j} </math> (2)		\overrightarrow{i} + \frac{{BD}}{2} \cdot \overrightarrow{j} </math> (2)

	Din (1) și (2) rezultă ca <math>I</math>,<math>M</math> și <math>K</math> sunt coliniare dacă și numai dacă <math>AC = BD</math>.		Din (1) și (2) rezultă ca <math>I</math>, <math>M</math> și <math>K</math> sunt coliniare dacă și numai dacă <math>AC = BD</math>.

	b) Notăm <math>\overrightarrow{i} +\overrightarrow{j} = \overrightarrow{O R}</math> și <math>\overrightarrow{-i} +\overrightarrow{j} = \overrightarrow{O S}</math>.		b) Notăm <math>\overrightarrow{i} +\overrightarrow{j} = \overrightarrow{O R}</math> și <math>\overrightarrow{-i} +\overrightarrow{j} = \overrightarrow{O S}</math>.

	Se observă că semidreptele <math>(OR</math> și <math>(OS</math> sunt bisectoarele unghiurilor <math>COD</math>, respectiv <math>AOD</math>. Ca în (1),deducem că <math>\overrightarrow{P K} =\overrightarrow{I M} = \frac{{x}}{2} \cdot (\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}) =\frac{{x}}{2} \cdot \overrightarrow{O R}</math>,iar <math>\overrightarrow{J N} =\overrightarrow{Q L} = \frac{{x}}{2} \cdot (\overrightarrow{-i}+\overrightarrow{j}) =\frac{{x}}{2} \cdot \overrightarrow{O S}</math>.		Se observă că semidreptele <math>(OR</math> și <math>(OS</math> sunt bisectoarele unghiurilor <math>COD</math>, respectiv <math>AOD</math>. Ca în (1),deducem că <math>\overrightarrow{P K} =\overrightarrow{I M} = \frac{{x}}{2} \cdot (\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}) =\frac{{x}}{2} \cdot \overrightarrow{O R}</math>, iar <math>\overrightarrow{J N} =\overrightarrow{Q L} = \frac{{x}}{2} \cdot (\overrightarrow{-i}+\overrightarrow{j}) =\frac{{x}}{2} \cdot \overrightarrow{O S}</math>.

	Fiind bisectoarele a două unghiuri adiacente suplementare, semidreptele (OR și OS sunt perpendiculare ,de unde rezultă că <math>IM \perp JN</math>,<math>JN \perp KP</math>, <math>KP \perp LQ</math> și <math>LQ \perp IM</math>.Dar <math>AC \not= BD</math> , deci <math>I</math>, <math>M</math> și <math>K</math> sunt necoliniare, așadar <math>IM \parallel KP</math>, și analog <math>JN \parallel LQ</math>. Notând cu <math>X</math>, <math>Y</math>, <math>Z</math>, <math>W</math> intersecțiile perechilor de drepte <math>IM</math> și <math>JN</math>, <math>JN</math> și <math>KP</math>, <math>KP</math> și <math>LQ</math>, <math>LQ</math> și <math>IM</math>, din cele de mai înaite rezultă că <math>XYZW</math> este dreptunghi.		Fiind bisectoarele a două unghiuri adiacente suplementare, semidreptele (OR și OS sunt perpendiculare, de unde rezultă că <math>IM \perp JN</math>,<math>JN \perp KP</math>, <math>KP \perp LQ</math> și <math>LQ \perp IM</math>. Dar <math>AC \not= BD</math>, deci <math>I</math>, <math>M</math> și <math>K</math> sunt necoliniare, așadar <math>IM \parallel KP</math>, și analog <math>JN \parallel LQ</math>. Notând cu <math>X</math>, <math>Y</math>, <math>Z</math>, <math>W</math> intersecțiile perechilor de drepte <math>IM</math> și <math>JN</math>, <math>JN</math> și <math>KP</math>, <math>KP</math> și <math>LQ</math>, <math>LQ</math> și <math>IM</math>, din cele de mai înaite rezultă că <math>XYZW</math> este dreptunghi.

Andrei.Horvat at 13:25, 4 December 2023

2023-12-04T13:25:43Z

← Older revision		Revision as of 13:25, 4 December 2023
Line 1:		Line 1:
	'''28354 (Florin Bojor)'''		'''28354 (Florin Bojor)'''

	''Fie <math>O</math> punctul de intersecție a diagonalelor patrulaterului convex <math>ABCD</math> și punctele <math>E</math> ,<math>F</math> ,<math>G</math> și <math>H</math> situate pe segmentele <math>OA</math>, <math>OB</math>, <math>OC</math>, respectiv <math>OD</math>, astfel încât <math>AE = BF = CG = DH</math>. Notăm cu <math>I</math>,<math>J</math>,<math>K</math> și <math>L</math> mijloacele segmentelor <math>AB</math>, <math>BC</math>, <math>CD</math>, respectiv <math>DA</math> și cu <math>M</math>,<math>N</math>,<math>P</math> și <math>Q</math> mijloacele segmentelor <math>EF</math>, <math>FG</math>,		''Fie <math>O</math> punctul de intersecție a diagonalelor patrulaterului convex <math>ABCD</math> și punctele <math>E</math>, <math>F</math>, <math>G</math> și <math>H</math> situate pe segmentele <math>OA</math>, <math>OB</math>, <math>OC</math>, respectiv <math>OD</math>, astfel încât <math>AE = BF = CG = DH</math>. Notăm cu <math>I</math>, <math>J</math>, <math>K</math> și <math>L</math> mijloacele segmentelor <math>AB</math>, <math>BC</math>, <math>CD</math>, respectiv <math>DA</math> și cu <math>M</math>,<math>N</math>, <math>P</math> și <math>Q</math> mijloacele segmentelor <math>EF</math>, <math>FG</math>,
	<math>GH</math>, respectiv <math>HE</math>. Arătați că:		<math>GH</math>, respectiv <math>HE</math>. Arătați că:
	<li~~><i~~> a) punctele <math>I</math>,<math>M</math> și <math>K</math> sunt coliniare dacă și numai dacă <math>AC=BD</math>.		<li> a) punctele <math>I</math>,<math>M</math> și <math>K</math> sunt coliniare dacă și numai dacă <math>AC=BD</math>.
	<li~~><i~~> b) <math>AC \not= BD</math>, punctele de intersecție ale dreptelor <math>IM</math>,<math>NJ</math>,<math>PK</math> și <math>LQ</math> sunt vârfurile unui dreptunghi.~~''</i>~~</li></ol>		<li> b) <math>AC \not= BD</math>, punctele de intersecție ale dreptelor <math>IM</math>,<math>NJ</math>,<math>PK</math> și <math>LQ</math> sunt vârfurile unui dreptunghi.</li></ol>''

Andrei.Horvat at 13:22, 4 December 2023

2023-12-04T13:22:10Z

← Older revision		Revision as of 13:22, 4 December 2023
Line 4:		Line 4:
	<math>GH</math>, respectiv <math>HE</math>. Arătați că:		<math>GH</math>, respectiv <math>HE</math>. Arătați că:
	<li><i> a) punctele <math>I</math>,<math>M</math> și <math>K</math> sunt coliniare dacă și numai dacă <math>AC=BD</math>.		<li><i> a) punctele <math>I</math>,<math>M</math> și <math>K</math> sunt coliniare dacă și numai dacă <math>AC=BD</math>.
	<li><i> b) <math>AC \not= BD</math>, punctele de intersecție ale dreptelor <math>IM</math>,<math>NJ</math>,<math>PK</math> și <math>LQ</math> sunt ~~vărfurile~~ unui dreptunghi.''</i></li></ol>		<li><i> b) <math>AC \not= BD</math>, punctele de intersecție ale dreptelor <math>IM</math>,<math>NJ</math>,<math>PK</math> și <math>LQ</math> sunt vârfurile unui dreptunghi.''</i></li></ol>


Line 27:		Line 27:
	Se observă că semidreptele <math>(OR</math> și <math>(OS</math> sunt bisectoarele unghiurilor <math>COD</math>, respectiv <math>AOD</math>. Ca în (1),deducem că <math>\overrightarrow{P K} =\overrightarrow{I M} = \frac{{x}}{2} \cdot (\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}) =\frac{{x}}{2} \cdot \overrightarrow{O R}</math>,iar <math>\overrightarrow{J N} =\overrightarrow{Q L} = \frac{{x}}{2} \cdot (\overrightarrow{-i}+\overrightarrow{j}) =\frac{{x}}{2} \cdot \overrightarrow{O S}</math>.		Se observă că semidreptele <math>(OR</math> și <math>(OS</math> sunt bisectoarele unghiurilor <math>COD</math>, respectiv <math>AOD</math>. Ca în (1),deducem că <math>\overrightarrow{P K} =\overrightarrow{I M} = \frac{{x}}{2} \cdot (\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}) =\frac{{x}}{2} \cdot \overrightarrow{O R}</math>,iar <math>\overrightarrow{J N} =\overrightarrow{Q L} = \frac{{x}}{2} \cdot (\overrightarrow{-i}+\overrightarrow{j}) =\frac{{x}}{2} \cdot \overrightarrow{O S}</math>.

	Fiind bisectoarele a două unghiuri adiacente suplementare, semidreptele (OR și OS sunt perpendiculare ,de unde rezultă că <math>IM \perp JN</math>,<math>JN \perp KP</math> , <math>KP \perp LQ</math> și <math>LQ \perp IM</math>.Dar <math>AC \not= BD</math> , deci <math>I</math>,<math>M</math> și <math>K~~<math>M~~</math> sunt necoliniare ,așadar <math>IM \parallel KP</math> , și analog <math>JN \parallel LQ</math>. Notând cu <math>X</math>, <math>Y</math>, <math>Z</math>, <math>W</math> intersecțiile perechilor de drepte <math>IM</math> și <math>JN</math>, <math>JN</math> și <math>KP</math>, <math>KP</math> și <math>LQ</math>, <math>LQ</math> și <math>IM</math>, din cele de mai înaite rezultă că <math>XYZW</math> este dreptunghi.		Fiind bisectoarele a două unghiuri adiacente suplementare, semidreptele (OR și OS sunt perpendiculare ,de unde rezultă că <math>IM \perp JN</math>,<math>JN \perp KP</math>, <math>KP \perp LQ</math> și <math>LQ \perp IM</math>.Dar <math>AC \not= BD</math> , deci <math>I</math>, <math>M</math> și <math>K</math> sunt necoliniare, așadar <math>IM \parallel KP</math>, și analog <math>JN \parallel LQ</math>. Notând cu <math>X</math>, <math>Y</math>, <math>Z</math>, <math>W</math> intersecțiile perechilor de drepte <math>IM</math> și <math>JN</math>, <math>JN</math> și <math>KP</math>, <math>KP</math> și <math>LQ</math>, <math>LQ</math> și <math>IM</math>, din cele de mai înaite rezultă că <math>XYZW</math> este dreptunghi.

Andrei.Horvat at 13:18, 4 December 2023

2023-12-04T13:18:58Z

← Older revision		Revision as of 13:18, 4 December 2023
Line 25:		Line 25:
	b) Notăm <math>\overrightarrow{i} +\overrightarrow{j} = \overrightarrow{O R}</math> și <math>\overrightarrow{-i} +\overrightarrow{j} = \overrightarrow{O S}</math>.		b) Notăm <math>\overrightarrow{i} +\overrightarrow{j} = \overrightarrow{O R}</math> și <math>\overrightarrow{-i} +\overrightarrow{j} = \overrightarrow{O S}</math>.

	Se observă că semidreptele (OR și OS sunt bisectoarele unghiurilor COD,respectiv AOD.Ca în (1),deducem că <math>\overrightarrow{P K} =\overrightarrow{I M} = \frac{{x}}{2} \cdot (\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}) =\frac{{x}}{2} \cdot \overrightarrow{O R}</math>,iar <math>\overrightarrow{J N} =\overrightarrow{Q L} = \frac{{x}}{2} \cdot (\overrightarrow{-i}+\overrightarrow{j}) =\frac{{x}}{2} \cdot \overrightarrow{O S}</math>.		Se observă că semidreptele <math>(OR</math> și <math>(OS</math> sunt bisectoarele unghiurilor <math>COD</math>, respectiv <math>AOD</math>. Ca în (1),deducem că <math>\overrightarrow{P K} =\overrightarrow{I M} = \frac{{x}}{2} \cdot (\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}) =\frac{{x}}{2} \cdot \overrightarrow{O R}</math>,iar <math>\overrightarrow{J N} =\overrightarrow{Q L} = \frac{{x}}{2} \cdot (\overrightarrow{-i}+\overrightarrow{j}) =\frac{{x}}{2} \cdot \overrightarrow{O S}</math>.

	Fiind bisectoarele a două unghiuri adiacente suplementare, semidreptele (OR și OS sunt perpendiculare ,de unde rezultă că <math>IM \perp JN</math>,<math>JN \perp KP</math> , <math>KP \perp LQ</math> și <math>LQ \perp IM</math>.Dar <math>AC \not= BD</math> , deci <math>I</math>,<math>M</math> și <math>K<math>M</math> sunt necoliniare ,așadar <math>IM \parallel KP</math> , și analog <math>JN \parallel LQ</math>.Notând cu <math>X</math>,<math>Y</math>,<math>Z</math>,<math>W</math> intersecțiile perechilor de drepte <math>IM</math> și <math>JN</math>,<math>JN</math> și <math>KP</math>,<math>KP</math> și <math>LQ</math>,<math>LQ</math> și <math>IM</math> ,din cele de mai înaite rezultă că <math>XYZW</math> este dreptunghi.		Fiind bisectoarele a două unghiuri adiacente suplementare, semidreptele (OR și OS sunt perpendiculare ,de unde rezultă că <math>IM \perp JN</math>,<math>JN \perp KP</math> , <math>KP \perp LQ</math> și <math>LQ \perp IM</math>.Dar <math>AC \not= BD</math> , deci <math>I</math>,<math>M</math> și <math>K<math>M</math> sunt necoliniare ,așadar <math>IM \parallel KP</math> , și analog <math>JN \parallel LQ</math>. Notând cu <math>X</math>, <math>Y</math>, <math>Z</math>, <math>W</math> intersecțiile perechilor de drepte <math>IM</math> și <math>JN</math>, <math>JN</math> și <math>KP</math>, <math>KP</math> și <math>LQ</math>, <math>LQ</math> și <math>IM</math>, din cele de mai înaite rezultă că <math>XYZW</math> este dreptunghi.

Andrei.Horvat at 13:15, 4 December 2023

2023-12-04T13:15:02Z

Alexandra Leș at 15:40, 3 December 2023

2023-12-03T15:40:03Z

← Older revision		Revision as of 15:40, 3 December 2023
Line 21:		Line 21:
	\overrightarrow{i} + \frac{{BD}}{2} \cdot \overrightarrow{j} </math> (2)		\overrightarrow{i} + \frac{{BD}}{2} \cdot \overrightarrow{j} </math> (2)

	Din (1) și (2) rezultă ca <math>I~~<math>M~~</math>,<math>M</math> și<math>K</math> sunt coliniare dacă și numai dacă <math>AC = BD</math>.		Din (1) și (2) rezultă ca <math>I</math>,<math>M</math> și<math>K</math> sunt coliniare dacă și numai dacă <math>AC = BD</math>.

	b)Notăm <math>\overrightarrow{i} +\overrightarrow{j} = \overrightarrow{O R}</math> și <math>\overrightarrow{-i} +\overrightarrow{j} = \overrightarrow{O S}</math>.		b)Notăm <math>\overrightarrow{i} +\overrightarrow{j} = \overrightarrow{O R}</math> și <math>\overrightarrow{-i} +\overrightarrow{j} = \overrightarrow{O S}</math>.

Alexandra Leș: Pagină nouă: '''28354 (Florin Bojor)''' ''Fie $O$ punctul de intersecție a diagonalelor patrulaterului convex $ABCD$ și punctele $E$ , $F$ , $G$ și $H$ pe segmentele $OA$ , $OB$ , $OC$ , respectiv $OD$ , astfel încât $AE = BF = CG = DH$ . Notăm cu $I$ , $J$ , $K$ și $L$ mijloacele segmentelor $AB$ , $BC$ ,
2023-12-03T15:35:38Z

Pagină nouă: '''28354 (Florin Bojor)''' ''Fie <math>O</math> punctul de intersecție a diagonalelor patrulaterului convex <math>ABCD</math> și punctele <math>E</math> ,<math>F</math> ,<math>G</math> și <math>H</math> pe segmentele <math>OA</math>, <math>OB</math>, <math>OC</math>, respectiv <math>OD</math>, astfel încât <math>AE = BF = CG = DH</math>. Notăm cu <math>I</math>,<math>J</math>,<math>K</math> și <math>L</math> mijloacele segmentelor <math>AB</math>, <math>BC</math>, <ma...

New page
'''28354 (Florin Bojor)'''

''Fie <math>O</math> punctul de intersecție a diagonalelor patrulaterului convex <math>ABCD</math> și punctele <math>E</math> ,<math>F</math> ,<math>G</math> și <math>H</math> pe segmentele <math>OA</math>, <math>OB</math>, <math>OC</math>, respectiv <math>OD</math>, astfel încât <math>AE = BF = CG = DH</math>. Notăm cu <math>I</math>,<math>J</math>,<math>K</math> și <math>L</math> mijloacele segmentelor <math>AB</math>, <math>BC</math>, <math>CD</math>, respectiv <math>DA</math> și cu <math>M</math>,<math>N</math>,<math>P</math> și <math>Q</math> mijloacele segmentelor <math>EF</math>, <math>FG</math>,
<math>GH</math>, respectiv <math>HE</math>. Arătați că:
<li><i> a) punctele <math>I</math>,<math>M</math> și <math>K</math> sunt coliniare dacă și numai dacă <math>AC=BD</math>.
<li><i> b) <math>AC \not= BD</math>, punctele de intersecție ale dreptelor <math>IM</math>,<math>NJ</math>,<math>PK</math> și <math>LQ</math> sunt vărfurile unui dreptunghi.''</i></li></ol>

'''Soluție.'''
a)Fie <math>AE = BF = CG = x</math> și versorii <math>\overrightarrow{i}</math> și <math>\overrightarrow{j}</math> a vectorilor <math>\overrightarrow{A C}</math> respectiv <math>\overrightarrow{B D}</math>.

Deoarece <math>I</math> și <math>M</math> sunt mijloacele segmentelor <math>AB</math>, respectiv <math>EF</math>,obținem:

<math>\overrightarrow{I M} = \frac{{1}}{2} \cdot (\overrightarrow{A E}+\overrightarrow{B F}) =\frac{{x}}{2} \cdot
\overrightarrow{i} + \frac{{x}}{2} \cdot \overrightarrow{j} </math>. (1)

Cum <math>K</math> este mijloxul segemntului <math>CD</math>,deducem:

<math>\overrightarrow{I K} = \frac{{1}}{2} \cdot (\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{B D}) =\frac{{AC}}{2} \cdot
\overrightarrow{i} + \frac{{BD}}{2} \cdot \overrightarrow{j} </math> (2)

Din (1) și (2) rezultă ca <math>I<math>M</math>,<math>M</math> și<math>K</math> sunt coliniare dacă și numai dacă <math>AC = BD</math>.

b)Notăm <math>\overrightarrow{i} +\overrightarrow{j} = \overrightarrow{O R}</math> și <math>\overrightarrow{-i} +\overrightarrow{j} = \overrightarrow{O S}</math>.

Se observă că semidreptele (OR și OS sunt bisectoarele unghiurilor COD,respectiv AOD.Ca în (1),deducem că <math>\overrightarrow{P K} =\overrightarrow{I M} = \frac{{x}}{2} \cdot (\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}) =\frac{{x}}{2} \cdot \overrightarrow{O R}</math>,iar <math>\overrightarrow{J N} =\overrightarrow{Q L} = \frac{{x}}{2} \cdot (\overrightarrow{-i}+\overrightarrow{j}) =\frac{{x}}{2} \cdot \overrightarrow{O S}</math>.

Fiind bisectoarele a două unghiuri adiacente suplementare,semidreptele (OR și OS sunt perpendiculare ,de unde rezultă că <math>IM \perp JN</math>,<math>JN \perp KP</math> , <math>KP \perp LQ</math> și <math>LQ \perp IM</math>.Dar <math>AC \not= BD</math> , deci <math>I</math>,<math>M</math> și <math>K<math>M</math> sunt necoliniare ,așadar <math>IM \parallel KP</math> , și analog <math>JN \parallel LQ</math>.Notând cu <math>X</math>,<math>Y</math>,<math>Z</math>,<math>W</math> intersecțiile perechilor de drepte <math>IM</math> și <math>JN</math>,<math>JN</math> și <math>KP</math>,<math>KP</math> și <math>LQ</math>,<math>LQ</math> și <math>IM</math> ,din cele de mai înaite rezultă că <math>XYZW</math> este dreptunghi.

← Older revision		Revision as of 13:15, 4 December 2023
Line 1:		Line 1:
	'''28354 (Florin Bojor)'''		'''28354 (Florin Bojor)'''

	''Fie <math>O</math> punctul de intersecție a diagonalelor patrulaterului convex <math>ABCD</math> și punctele <math>E</math> ,<math>F</math> ,<math>G</math> și <math>H</math> pe segmentele <math>OA</math>, <math>OB</math>, <math>OC</math>, respectiv <math>OD</math>, astfel încât <math>AE = BF = CG = DH</math>. Notăm cu <math>I</math>,<math>J</math>,<math>K</math> și <math>L</math> mijloacele segmentelor <math>AB</math>, <math>BC</math>, <math>CD</math>, respectiv <math>DA</math> și cu <math>M</math>,<math>N</math>,<math>P</math> și <math>Q</math> mijloacele segmentelor <math>EF</math>, <math>FG</math>,		''Fie <math>O</math> punctul de intersecție a diagonalelor patrulaterului convex <math>ABCD</math> și punctele <math>E</math> ,<math>F</math> ,<math>G</math> și <math>H</math> situate pe segmentele <math>OA</math>, <math>OB</math>, <math>OC</math>, respectiv <math>OD</math>, astfel încât <math>AE = BF = CG = DH</math>. Notăm cu <math>I</math>,<math>J</math>,<math>K</math> și <math>L</math> mijloacele segmentelor <math>AB</math>, <math>BC</math>, <math>CD</math>, respectiv <math>DA</math> și cu <math>M</math>,<math>N</math>,<math>P</math> și <math>Q</math> mijloacele segmentelor <math>EF</math>, <math>FG</math>,
	<math>GH</math>, respectiv <math>HE</math>. Arătați că:		<math>GH</math>, respectiv <math>HE</math>. Arătați că:
	<li><i> a) punctele <math>I</math>,<math>M</math> și <math>K</math> sunt coliniare dacă și numai dacă <math>AC=BD</math>.		<li><i> a) punctele <math>I</math>,<math>M</math> și <math>K</math> sunt coliniare dacă și numai dacă <math>AC=BD</math>.
Line 8:		Line 8:

	'''Soluție.'''		'''Soluție.'''
	a)Fie <math>AE = BF = CG = x</math> și versorii <math>\overrightarrow{i}</math> și <math>\overrightarrow{j}</math> a vectorilor <math>\overrightarrow{A C}</math> respectiv <math>\overrightarrow{B D}</math>.		a)Fie <math>AE = BF = CG = x</math> și versorii <math>\overrightarrow{i}</math> și <math>\overrightarrow{j}</math> ai vectorilor <math>\overrightarrow{A C}</math>, respectiv <math>\overrightarrow{B D}</math>.

	Deoarece <math>I</math> și <math>M</math> sunt mijloacele segmentelor <math>AB</math>, respectiv <math>EF</math>,obținem:		Deoarece <math>I</math> și <math>M</math> sunt mijloacele segmentelor <math>AB</math>, respectiv <math>EF</math>, obținem:

	<math>\overrightarrow{I M} = \frac{{1}}{2} \cdot (\overrightarrow{A E}+\overrightarrow{B F}) =\frac{{x}}{2} \cdot		<math>\overrightarrow{I M} = \frac{{1}}{2} \cdot (\overrightarrow{A E}+\overrightarrow{B F}) =\frac{{x}}{2} \cdot
Line 21:		Line 21:
	\overrightarrow{i} + \frac{{BD}}{2} \cdot \overrightarrow{j} </math> (2)		\overrightarrow{i} + \frac{{BD}}{2} \cdot \overrightarrow{j} </math> (2)

	Din (1) și (2) rezultă ca <math>I</math>,<math>M</math> și<math>K</math> sunt coliniare dacă și numai dacă <math>AC = BD</math>.		Din (1) și (2) rezultă ca <math>I</math>,<math>M</math> și <math>K</math> sunt coliniare dacă și numai dacă <math>AC = BD</math>.

	b)Notăm <math>\overrightarrow{i} +\overrightarrow{j} = \overrightarrow{O R}</math> și <math>\overrightarrow{-i} +\overrightarrow{j} = \overrightarrow{O S}</math>.		b) Notăm <math>\overrightarrow{i} +\overrightarrow{j} = \overrightarrow{O R}</math> și <math>\overrightarrow{-i} +\overrightarrow{j} = \overrightarrow{O S}</math>.

	Se observă că semidreptele (OR și OS sunt bisectoarele unghiurilor COD,respectiv AOD.Ca în (1),deducem că <math>\overrightarrow{P K} =\overrightarrow{I M} = \frac{{x}}{2} \cdot (\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}) =\frac{{x}}{2} \cdot \overrightarrow{O R}</math>,iar <math>\overrightarrow{J N} =\overrightarrow{Q L} = \frac{{x}}{2} \cdot (\overrightarrow{-i}+\overrightarrow{j}) =\frac{{x}}{2} \cdot \overrightarrow{O S}</math>.		Se observă că semidreptele (OR și OS sunt bisectoarele unghiurilor COD,respectiv AOD.Ca în (1),deducem că <math>\overrightarrow{P K} =\overrightarrow{I M} = \frac{{x}}{2} \cdot (\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}) =\frac{{x}}{2} \cdot \overrightarrow{O R}</math>,iar <math>\overrightarrow{J N} =\overrightarrow{Q L} = \frac{{x}}{2} \cdot (\overrightarrow{-i}+\overrightarrow{j}) =\frac{{x}}{2} \cdot \overrightarrow{O S}</math>.

	Fiind bisectoarele a două unghiuri adiacente suplementare,semidreptele (OR și OS sunt perpendiculare ,de unde rezultă că <math>IM \perp JN</math>,<math>JN \perp KP</math> , <math>KP \perp LQ</math> și <math>LQ \perp IM</math>.Dar <math>AC \not= BD</math> , deci <math>I</math>,<math>M</math> și <math>K<math>M</math> sunt necoliniare ,așadar <math>IM \parallel KP</math> , și analog <math>JN \parallel LQ</math>.Notând cu <math>X</math>,<math>Y</math>,<math>Z</math>,<math>W</math> intersecțiile perechilor de drepte <math>IM</math> și <math>JN</math>,<math>JN</math> și <math>KP</math>,<math>KP</math> și <math>LQ</math>,<math>LQ</math> și <math>IM</math> ,din cele de mai înaite rezultă că <math>XYZW</math> este dreptunghi.		Fiind bisectoarele a două unghiuri adiacente suplementare, semidreptele (OR și OS sunt perpendiculare ,de unde rezultă că <math>IM \perp JN</math>,<math>JN \perp KP</math> , <math>KP \perp LQ</math> și <math>LQ \perp IM</math>.Dar <math>AC \not= BD</math> , deci <math>I</math>,<math>M</math> și <math>K<math>M</math> sunt necoliniare ,așadar <math>IM \parallel KP</math> , și analog <math>JN \parallel LQ</math>.Notând cu <math>X</math>,<math>Y</math>,<math>Z</math>,<math>W</math> intersecțiile perechilor de drepte <math>IM</math> și <math>JN</math>,<math>JN</math> și <math>KP</math>,<math>KP</math> și <math>LQ</math>,<math>LQ</math> și <math>IM</math> ,din cele de mai înaite rezultă că <math>XYZW</math> este dreptunghi.