28338 - Revision history

HMAndrei at 07:24, 20 November 2023

2023-11-20T07:24:34Z

← Older revision		Revision as of 07:24, 20 November 2023
Line 9:		Line 9:
	'''Soluție:'''		'''Soluție:'''

	a) Patrulaterele <math>ABA_1B_1</math> și <math>BCB_1C_1</math> sunt paralelograme, prin urmare diagonalele lor au același mijloc. Rezultă <math>AA_1</math> <math>\cap</math> <math>BB_1</math> <math>\cap</math> <math>CC_1</math> <math>=</math> <math>\{N\}</math>.		a) Patrulaterele <math>ABA_1B_1</math> și <math>BCB_1C_1</math> sunt paralelograme, prin urmare diagonalele lor au același mijloc.

			Rezultă <math>AA_1</math> <math>\cap</math> <math>BB_1</math> <math>\cap</math> <math>CC_1</math> <math>=</math> <math>\{N\}</math>.

	b) Notăm afixele punctelor din problemă cu literele mici corespunzătoare. Cum <math>AMBC_1</math><math>,</math> <math>AMCB_1</math> și <math>BMCA_1</math> sunt paralelograme, rezultă		b) Notăm afixele punctelor din problemă cu literele mici corespunzătoare. Cum <math>AMBC_1</math><math>,</math> <math>AMCB_1</math> și <math>BMCA_1</math> sunt paralelograme, rezultă

Pop Georgiana at 22:12, 17 November 2023

2023-11-17T22:12:28Z

← Older revision		Revision as of 22:12, 17 November 2023
Line 12:		Line 12:

	b) Notăm afixele punctelor din problemă cu literele mici corespunzătoare. Cum <math>AMBC_1</math><math>,</math> <math>AMCB_1</math> și <math>BMCA_1</math> sunt paralelograme, rezultă		b) Notăm afixele punctelor din problemă cu literele mici corespunzătoare. Cum <math>AMBC_1</math><math>,</math> <math>AMCB_1</math> și <math>BMCA_1</math> sunt paralelograme, rezultă
	<math> a_1 = b + c - m, </math> <math>b_1 = c + a - m,</math> <math>c_1 = a + b - m</math>.
			<math display="block"> a_1 = b + c - m, </math> <math display="block">b_1 = c + a - m,</math><math display="block">c_1 = a + b - m.</math>

	În plus<math>,</math> cum <math>N</math> este mijlocul lui <math>AA_1</math><math>,</math> rezultă că <math>n =</math> <math>\frac{a+a_1}{2}</math> <math>=</math> <math>\frac{a+b+c-m}{2}</math>.		În plus<math>,</math> cum <math>N</math> este mijlocul lui <math>AA_1</math><math>,</math> rezultă că <math>n =</math> <math>\frac{a+a_1}{2}</math> <math>=</math> <math>\frac{a+b+c-m}{2}</math>.

Pop Georgiana at 21:57, 17 November 2023

2023-11-17T21:57:55Z

← Older revision		Revision as of 21:57, 17 November 2023
Line 11:		Line 11:
	a) Patrulaterele <math>ABA_1B_1</math> și <math>BCB_1C_1</math> sunt paralelograme, prin urmare diagonalele lor au același mijloc. Rezultă <math>AA_1</math> <math>\cap</math> <math>BB_1</math> <math>\cap</math> <math>CC_1</math> <math>=</math> <math>\{N\}</math>.		a) Patrulaterele <math>ABA_1B_1</math> și <math>BCB_1C_1</math> sunt paralelograme, prin urmare diagonalele lor au același mijloc. Rezultă <math>AA_1</math> <math>\cap</math> <math>BB_1</math> <math>\cap</math> <math>CC_1</math> <math>=</math> <math>\{N\}</math>.

	b) Notăm afixele punctelor din problemă cu literele mici corespunzătoare. Cum <math>AMBC_1</math><math>,</math> <math>AMCB_1</math> și <math>BMCA_1</math> sunt paralelograme, rezultă		b) Notăm afixele punctelor din problemă cu literele mici corespunzătoare. Cum <math>AMBC_1</math><math>,</math> <math>AMCB_1</math> și <math>BMCA_1</math> sunt paralelograme, rezultă
	<math>a_1 = b + c - m~~</math><math>~~,</math> <math>b_1 = c + a - m,</math> <math>c_1 = a + b - m</math>.		<math> a_1 = b + c - m, </math> <math>b_1 = c + a - m,</math> <math>c_1 = a + b - m</math>.
	În plus<math>,</math> cum <math>N</math> este mijlocul lui <math>AA_1</math><math>,</math> rezultă că <math>n =</math> <math>\frac{a+a_1}{2}</math> <math>=</math> <math>\frac{a+b+c-m}{2}</math>.		În plus<math>,</math> cum <math>N</math> este mijlocul lui <math>AA_1</math><math>,</math> rezultă că <math>n =</math> <math>\frac{a+a_1}{2}</math> <math>=</math> <math>\frac{a+b+c-m}{2}</math>.

Pop Georgiana at 21:35, 17 November 2023

2023-11-17T21:35:25Z

← Older revision		Revision as of 21:35, 17 November 2023
Line 12:		Line 12:

	b) Notăm afixele punctelor din problemă cu literele mici corespunzătoare. Cum <math>AMBC_1</math><math>,</math> <math>AMCB_1</math> și <math>BMCA_1</math> sunt paralelograme, rezultă		b) Notăm afixele punctelor din problemă cu literele mici corespunzătoare. Cum <math>AMBC_1</math><math>,</math> <math>AMCB_1</math> și <math>BMCA_1</math> sunt paralelograme, rezultă
			<math>a_1 = b + c - m</math><math>,</math> <math>b_1 = c + a - m,</math> <math>c_1 = a + b - m</math>.
	<math>a_1 = b + c - m</math><math>,</math> <math>b_1 = c + a - m,</math> <math>c_1 = a + b - m</math>.

	În plus<math>,</math> cum <math>N</math> este mijlocul lui <math>AA_1</math><math>,</math> rezultă că <math>n =</math> <math>\frac{a+a_1}{2}</math> <math>=</math> <math>\frac{a+b+c-m}{2}</math>.		În plus<math>,</math> cum <math>N</math> este mijlocul lui <math>AA_1</math><math>,</math> rezultă că <math>n =</math> <math>\frac{a+a_1}{2}</math> <math>=</math> <math>\frac{a+b+c-m}{2}</math>.

Pop Georgiana at 21:28, 17 November 2023

2023-11-17T21:28:48Z

← Older revision		Revision as of 21:28, 17 November 2023
Line 13:		Line 13:
	b) Notăm afixele punctelor din problemă cu literele mici corespunzătoare. Cum <math>AMBC_1</math><math>,</math> <math>AMCB_1</math> și <math>BMCA_1</math> sunt paralelograme, rezultă		b) Notăm afixele punctelor din problemă cu literele mici corespunzătoare. Cum <math>AMBC_1</math><math>,</math> <math>AMCB_1</math> și <math>BMCA_1</math> sunt paralelograme, rezultă

	<math>a_1 = b + c - m</math><math>,</math> <math>b_1 = c + a - m,</math> <math>c_1 = a + b - m</math>.		<math>a_1 = b + c - m</math><math>,</math> <math>b_1 = c + a - m,</math> <math>c_1 = a + b - m</math>.

	În plus<math>,</math> cum <math>N</math> este mijlocul lui <math>AA_1</math><math>,</math> rezultă că <math>n =</math> <math>\frac{a+a_1}{2}</math> <math>=</math> <math>\frac{a+b+c-m}{2}</math>.		În plus<math>,</math> cum <math>N</math> este mijlocul lui <math>AA_1</math><math>,</math> rezultă că <math>n =</math> <math>\frac{a+a_1}{2}</math> <math>=</math> <math>\frac{a+b+c-m}{2}</math>.

Pop Georgiana at 21:26, 17 November 2023

2023-11-17T21:26:20Z

← Older revision		Revision as of 21:26, 17 November 2023
Line 15:		Line 15:
	<math>a_1 = b + c - m</math><math>,</math> <math>b_1 = c + a - m,</math> <math>c_1 = a + b - m</math>.		<math>a_1 = b + c - m</math><math>,</math> <math>b_1 = c + a - m,</math> <math>c_1 = a + b - m</math>.

	În plus, cum <math>N</math> este mijlocul lui <math>AA_1</math>, rezultă că <math>n =</math> <math>\frac{a+a_1}{2}</math> <math>=</math> <math>\frac{a+b+c-m}{2}</math>.		În plus<math>,</math> cum <math>N</math> este mijlocul lui <math>AA_1</math><math>,</math> rezultă că <math>n =</math> <math>\frac{a+a_1}{2}</math> <math>=</math> <math>\frac{a+b+c-m}{2}</math>.

	Punctul <math>G</math> este centrul de greutate al triunghiului <math>ABC,</math> deci <math>g =</math> <math>\frac{a+b+c}{3}</math>.		Punctul <math>G</math> este centrul de greutate al triunghiului <math>ABC,</math> deci <math>g =</math> <math>\frac{a+b+c}{3}</math>.

	Se verifică imediat că <math>\frac{g-m}{n-g}</math> <math>= 2</math> <math>\in</math> <math>\reals</math><math>,</math> deci punctele <math>M, G</math> și <math>N</math> sunt coliniare și <math>\frac{MG}{GN}</math> <math>=</math> <math>\frac{g-m}{n-g}</math> <math>=</math> <math>\frac{g-m}{n-g}</math> <math>=</math> <math>2</math>.		Se verifică imediat că <math>\frac{g-m}{n-g}</math> <math>= 2</math> <math>\in</math> <math>\reals</math><math>,</math> deci punctele <math>M, G</math> și <math>N</math> sunt coliniare și <math>\frac{MG}{GN}</math> <math>=</math> <math>\frac{g-m}{n-g}</math> <math>=</math> <math>\frac{g-m}{n-g}</math> <math>=</math> <math>2</math>.

Pop Georgiana: Pagină nouă: '''28338 (Nicolae Muşuroia)''' ''Fie'' $M$ ''un punct în planul triunghiului'' $ABC$ ''iar'' $A_1, B_1, C_1$ ''simetricele punctului $M$ față de mijloacele laturilor'' $BC, AC,$ ''respectiv'' $AB$ ''.'' ''a) Arătați că dreptele'' $AA_1, BB_1, CC_1$ ''sunt concurente într-un punct'' $N$ ''.'' ''b) Arătați că punctele'' $M, G, N$ ''sunt coliniare și că'' $\frac{...$

2023-11-17T21:24:01Z

Pagină nouă: '''28338 (Nicolae Muşuroia)''' ''Fie'' <math>M</math> ''un punct în planul triunghiului'' <math>ABC</math> ''iar'' <math>A_1, B_1, C_1</math> ''simetricele punctului <math>M</math> față de mijloacele laturilor'' <math>BC, AC,</math> ''respectiv'' <math>AB</math>''.'' ''a) Arătați că dreptele'' <math>AA_1, BB_1, CC_1</math> ''sunt concurente într-un punct'' <math>N</math>''.'' ''b) Arătați că punctele'' <math>M, G, N</math> ''sunt coliniare și că'' <math>\frac{...

New page

'''28338 (Nicolae Muşuroia)'''

''Fie'' <math>M</math> ''un punct în planul triunghiului'' <math>ABC</math> ''iar'' <math>A_1, B_1, C_1</math> ''simetricele punctului <math>M</math> față de mijloacele laturilor'' <math>BC, AC,</math> ''respectiv'' <math>AB</math>''.''

''a) Arătați că dreptele'' <math>AA_1, BB_1, CC_1</math> ''sunt concurente într-un punct'' <math>N</math>''.''

''b) Arătați că punctele'' <math>M, G, N</math> ''sunt coliniare și că'' <math>\frac{MG}{GN}</math> <math>= 2,</math> ''unde'' <math>G</math> ''este centrul de greutate al triunghiului'' <math>ABC</math>''.''

'''Soluție:'''

a) Patrulaterele <math>ABA_1B_1</math> și <math>BCB_1C_1</math> sunt paralelograme, prin urmare diagonalele lor au același mijloc. Rezultă <math>AA_1</math> <math>\cap</math> <math>BB_1</math> <math>\cap</math> <math>CC_1</math> <math>=</math> <math>\{N\}</math>.

b) Notăm afixele punctelor din problemă cu literele mici corespunzătoare. Cum <math>AMBC_1</math><math>,</math> <math>AMCB_1</math> și <math>BMCA_1</math> sunt paralelograme, rezultă

<math>a_1 = b + c - m</math><math>,</math> <math>b_1 = c + a - m,</math> <math>c_1 = a + b - m</math>.

În plus, cum <math>N</math> este mijlocul lui <math>AA_1</math>, rezultă că <math>n =</math> <math>\frac{a+a_1}{2}</math> <math>=</math> <math>\frac{a+b+c-m}{2}</math>.

Punctul <math>G</math> este centrul de greutate al triunghiului <math>ABC,</math> deci <math>g =</math> <math>\frac{a+b+c}{3}</math>.

Se verifică imediat că <math>\frac{g-m}{n-g}</math> <math>= 2</math> <math>\in</math> <math>\reals</math><math>,</math> deci punctele <math>M, G</math> și <math>N</math> sunt coliniare și <math>\frac{MG}{GN}</math> <math>=</math> <math>\frac{g-m}{n-g}</math> <math>=</math> <math>\frac{g-m}{n-g}</math> <math>=</math> <math>2</math>.