28315 - Revision history

Andrei.Horvat: Aranjarea ecuațiilor.

2023-10-21T13:03:00Z

Aranjarea ecuațiilor.

← Older revision		Revision as of 13:03, 21 October 2023
Line 9:		Line 9:
	</math> de afix <math>m^{\prime} = a + b - ab\overline{m}		</math> de afix <math>m^{\prime} = a + b - ab\overline{m}
	.</math>		.</math>
	<br /> Într-adevăr, din faptul că mijlocul <math>N(n)</math> al segmentului <math>[MM^{\prime}]</math> aparține dreptei <math>AB</math>, rezultă că <math>\frac{n-a}{b-a} \in \mathbb{R}</math>, adică <math>\frac{n-a}{b-a}~~</math>~~ = ~~<math>~~\frac{\overline{n}-\overline{a}}{\overline{b}-\overline{a}}, (1), </math> iar din <math>MM^{\prime} \perp AB</math>, deducem că <math>\frac{m^{\prime}-m}{b-a} \in i\mathbb{R^*}</math>, adică <math>\frac{m^{\prime}-m}{b-a} = - \frac{\overline{m^{\prime}}-\overline{m}}{\overline{b}-\overline{a}}, (2)</math>. Având în vedere că <math>\overline{a} = \frac{1}{a}, \overline{b} = \frac{1}{b}</math> și <math>n = \frac{m+m^{\prime}}{2}</math>, din relația <math>(1)</math> rezultă că <math display="block">m^{\prime}+ m = 2(a + b) - ab(\overline{m^{\prime}}+\overline{m}), (3)</math>iar din relația <math>(2)</math> că <math>m^{\prime}-m=ab(\overline{m^{\prime}}-\overline{m}), (4).</math> Adunând egalitățile <math>(3)</math> și <math>(4)</math> obținem <math>m^{\prime}=a+b-ab\overline{m}</math>.		<br /> Într-adevăr, din faptul că mijlocul <math>N(n)</math> al segmentului <math>[MM^{\prime}]</math> aparține dreptei <math>AB</math>, rezultă că <math>\frac{n-a}{b-a} \in \mathbb{R}</math>, adică <math display="block">\frac{n-a}{b-a}=\frac{\overline{n}-\overline{a}}{\overline{b}-\overline{a}}, (1), </math> iar din <math>MM^{\prime} \perp AB</math>, deducem că <math>\frac{m^{\prime}-m}{b-a} \in i\mathbb{R^*}</math>, adică <math display="block">\frac{m^{\prime}-m}{b-a} = - \frac{\overline{m^{\prime}}-\overline{m}}{\overline{b}-\overline{a}}, (2)</math>Având în vedere că <math>\overline{a} = \frac{1}{a}, \overline{b} = \frac{1}{b}</math> și <math>n = \frac{m+m^{\prime}}{2}</math>, din relația <math>(1)</math> rezultă că<math display="block">m^{\prime}+ m = 2(a + b) - ab(\overline{m^{\prime}}+\overline{m}), (3)</math>iar din relația <math>(2)</math> că <math display="block">m^{\prime}-m=ab(\overline{m^{\prime}}-\overline{m}), (4).</math>Adunând egalitățile <math>(3)</math> și <math>(4)</math> obținem <math>m^{\prime}=a+b-ab\overline{m}</math>.



	Revenind la problemă, considerăm un reper cartezian cu originea în centrul poligonului, astfel încât afixele punctelor <math>P_n</math> și <math>P_1</math> să fie <math>1</math>, respectiv <math>\epsilon = \cos\frac{2\pi}{n}+i\sin\frac{2\pi}{n}</math>. Ca urmare, afixul punctului <math>P_k</math> este <math>\epsilon^k</math>, pentru orice <math>k \in \{1, 2, \ldots, n\}		Revenind la problemă, considerăm un reper cartezian cu originea în centrul poligonului, astfel încât afixele punctelor <math>P_n</math> și <math>P_1</math> să fie <math>1</math>, respectiv <math>\epsilon = \cos\frac{2\pi}{n}+i\sin\frac{2\pi}{n}</math>. Ca urmare, afixul punctului <math>P_k</math> este <math>\epsilon^k</math>, pentru orice <math>k \in \{1, 2, \ldots, n\}

Andrei.Horvat at 12:50, 21 October 2023

2023-10-21T12:50:49Z

← Older revision		Revision as of 12:50, 21 October 2023
Line 17:		Line 17:
	\sum_{k=1}^{n}m_k=(1+\epsilon) \sum_{k=1}^{n}\epsilon^k+\overline{m} \cdot \sum_{k=1}^{n}\epsilon^{2k+1}=(1+\epsilon)\cdot \epsilon \cdot \frac{\epsilon^n-1}{\epsilon-1}+\overline{m}\cdot\epsilon^3\cdot\frac{\epsilon^{2n}-1}{\epsilon^2-1}=0		\sum_{k=1}^{n}m_k=(1+\epsilon) \sum_{k=1}^{n}\epsilon^k+\overline{m} \cdot \sum_{k=1}^{n}\epsilon^{2k+1}=(1+\epsilon)\cdot \epsilon \cdot \frac{\epsilon^n-1}{\epsilon-1}+\overline{m}\cdot\epsilon^3\cdot\frac{\epsilon^{2n}-1}{\epsilon^2-1}=0
	</math>		</math>
	, deci centrul de greutate al poligonului <math>M_1M_2 \ldots M_n</math> este originea, indiferent de alegerea punctului <math>M</math>.		deci centrul de greutate al poligonului <math>M_1M_2 \ldots M_n</math> este originea, indiferent de alegerea punctului <math>M</math>.

Andrei.Horvat at 12:46, 21 October 2023

2023-10-21T12:46:46Z

← Older revision		Revision as of 12:46, 21 October 2023
Line 1:		Line 1:
	'''28315 (Vasile Pop și Nicolae Mușuroia)''' ‎		'''28315 (Vasile Pop și Nicolae Mușuroia)''' ‎
	<br />		<br />
	<br />		<br />''Fie <math>P_1P_2\ldots P_n</math> <math>(n \geq 3)</math> un poligon regulat și <math>M</math> un punct în interiorul poligonului. Notăm cu <math>M_1</math>, <math>M_2, \ldots, M_n</math> simetricele punctului <math>M</math> față de laturile poligonului. Arătați că, pentru orice alegere a punctului <math>M</math>, poligoanele <math>M_1</math><math>M_2 \ldots M_n</math> au același centru de greutate.''
	''Fie <math>P_1P_2\ldots P_n</math> <math>(n \geq 3)</math> un poligon regulat și <math>M</math> un punct în interiorul poligonului. Notăm cu <math>M_1</math>, <math>M_2, \ldots, M_n</math> simetricele punctului <math>M</math> față de laturile poligonului. Arătați că, pentru orice alegere a punctului <math>M</math>, poligoanele <math>M_1</math><math>M_2 \ldots M_n</math> au același centru de greutate.''
	<br />		<br />
	<br />		<br />
	'''Soluție:'''		'''Soluție:'''
	<br />		<br />
	<br />		<br />Vom demonstra următoarea lemă: În planul complex, simetricul punctului <math>M(m)</math> față de dreapta determinată de punctele <math>A(a)</math> și <math>B(b)</math>, unde <math>\|a\| = \|b\| = 1</math>, este punctul <math>M^{\prime}
	Vom demonstra următoarea lemă: În planul complex, simetricul punctului <math>M(m)</math> față de dreapta determinată de punctele <math>A(a)</math> și <math>B(b)</math>, unde <math>\|a\| = \|b\| = 1</math>, este punctul <math>M^{\prime}
	</math> de afix <math>m^{\prime} = a + b - ab\overline{m}		</math> de afix <math>m^{\prime} = a + b - ab\overline{m}
	.</math>		.</math>
	<br />		<br /> Într-adevăr, din faptul că mijlocul <math>N(n)</math> al segmentului <math>[MM^{\prime}]</math> aparține dreptei <math>AB</math>, rezultă că <math>\frac{n-a}{b-a} \in \mathbb{R}</math>, adică <math>\frac{n-a}{b-a}</math> = <math>\frac{\overline{n}-\overline{a}}{\overline{b}-\overline{a}}, (1), </math> iar din <math>MM^{\prime} \perp AB</math>, deducem că <math>\frac{m^{\prime}-m}{b-a} \in i\mathbb{R^*}</math>, adică <math>\frac{m^{\prime}-m}{b-a} = - \frac{\overline{m^{\prime}}-\overline{m}}{\overline{b}-\overline{a}}, (2)</math>. Având în vedere că <math>\overline{a} = \frac{1}{a}, \overline{b} = \frac{1}{b}</math> și <math>n = \frac{m+m^{\prime}}{2}</math>, din relația <math>(1)</math> rezultă că <math display="block">m^{\prime}+ m = 2(a + b) - ab(\overline{m^{\prime}}+\overline{m}), (3)</math>iar din relația <math>(2)</math> că <math>m^{\prime}-m=ab(\overline{m^{\prime}}-\overline{m}), (4).</math> Adunând egalitățile <math>(3)</math> și <math>(4)</math> obținem <math>m^{\prime}=a+b-ab\overline{m}</math>.
	~~       ~~ Într-adevăr, din faptul că mijlocul <math>N(n)</math> al segmentului <math>[MM^{\prime}]</math> aparține dreptei <math>AB</math>, rezultă că <math>\frac{n-a}{b-a} \in \mathbb{R}</math>, adică <math>\frac{n-a}{b-a}</math> = <math>\frac{\overline{n}-\overline{a}}{\overline{b}-\overline{a}}, (1), </math> iar din <math>MM^{\prime} \perp AB</math>, deducem că <math>\frac{m^{\prime}-m}{b-a} \in i\mathbb{R^*}</math>, adică <math>\frac{m^{\prime}-m}{b-a} = - \frac{\overline{m^{\prime}}-\overline{m}}{\overline{b}-\overline{a}}, (2)</math>. Având în vedere că <math>\overline{a} = \frac{1}{a}, \overline{b} = \frac{1}{b}</math> și <math>n = \frac{m+m^{\prime}}{2}</math>, din relația <math>(1)</math> rezultă că <math>m^{\prime}+ m = 2(a + b) - ab(\overline{m^{\prime}}+\overline{m}), (3)</math>, iar din relația <math>(2)</math> că <math>m^{\prime}-m=ab(\overline{m^{\prime}}-\overline{m}), (4).</math> Adunând egalitățile <math>(3)</math> și <math>(4)</math> obținem <math>m^{\prime}=a+b-ab\overline{m}</math>.

	~~       ~~ Revenind la problemă, considerăm un reper cartezian cu originea în centrul poligonului, astfel încât afixele punctelor <math>P_n</math> și <math>P_1</math> să fie <math>1</math>, respectiv <math>\epsilon = \cos\frac{2\pi}{n}+i\sin\frac{2\pi}{n}</math>. Ca urmare, afixul punctului <math>P_k</math> este <math>\epsilon^k</math>, pentru orice <math>k \in \{1, 2, \ldots, n\}		Revenind la problemă, considerăm un reper cartezian cu originea în centrul poligonului, astfel încât afixele punctelor <math>P_n</math> și <math>P_1</math> să fie <math>1</math>, respectiv <math>\epsilon = \cos\frac{2\pi}{n}+i\sin\frac{2\pi}{n}</math>. Ca urmare, afixul punctului <math>P_k</math> este <math>\epsilon^k</math>, pentru orice <math>k \in \{1, 2, \ldots, n\}
	</math>.		</math>.

	~~       ~~ Fie <math>m</math> afixul punctului <math>M</math> și <math> m_k</math> afixul punctului <math>M_k, 1 \leq k \leq n.</math> Folosind lema, rezultă că <math> m_k=\epsilon^k+\epsilon^{k+1}-\epsilon^{2k+1} \overline{m}</math>, pentru orice <math>k</math>. În consecință,~~<br />~~		Fie <math>m</math> afixul punctului <math>M</math> și <math> m_k</math> afixul punctului <math>M_k, 1 \leq k \leq n.</math> Folosind lema, rezultă că <math> m_k=\epsilon^k+\epsilon^{k+1}-\epsilon^{2k+1} \overline{m}</math>, pentru orice <math>k</math>. În consecință,<math display="block">
	<math>
	\sum_{k=1}^{n}m_k=(1+\epsilon) \sum_{k=1}^{n}\epsilon^k+\overline{m} \cdot \sum_{k=1}^{n}\epsilon^{2k+1}=(1+\epsilon)\cdot \epsilon \cdot \frac{\epsilon^n-1}{\epsilon-1}+\overline{m}\cdot\epsilon^3\cdot\frac{\epsilon^{2n}-1}{\epsilon^2-1}=0		\sum_{k=1}^{n}m_k=(1+\epsilon) \sum_{k=1}^{n}\epsilon^k+\overline{m} \cdot \sum_{k=1}^{n}\epsilon^{2k+1}=(1+\epsilon)\cdot \epsilon \cdot \frac{\epsilon^n-1}{\epsilon-1}+\overline{m}\cdot\epsilon^3\cdot\frac{\epsilon^{2n}-1}{\epsilon^2-1}=0
	</math>		</math>
	, deci centrul de greutate al poligonului <math>M_1M_2 \ldots M_n</math> este originea, indiferent de alegerea punctului <math>M</math>.		, deci centrul de greutate al poligonului <math>M_1M_2 \ldots M_n</math> este originea, indiferent de alegerea punctului <math>M</math>.

Vardai Erwin at 11:17, 20 October 2023

2023-10-20T11:17:36Z

← Older revision		Revision as of 11:17, 20 October 2023
Line 1:		Line 1:
	'''28315 (Vasile Pop)''' ‎		'''28315 (Vasile Pop și Nicolae Mușuroia)''' ‎
	<br />		<br />
	<br />		<br />

Nagy Lenard at 10:54, 20 October 2023

2023-10-20T10:54:41Z

← Older revision		Revision as of 10:54, 20 October 2023
Line 1:		Line 1:
	~~       ~~'''28315.''' ‎''~~   ~~ Fie <math>P_1P_2\ldots P_n</math> <math>(n \geq 3)</math> un poligon regulat și <math>M</math> un punct în interiorul poligonului. Notăm cu <math>M_1</math>, <math>M_2, \ldots, M_n</math> simetricele punctului <math>M</math> față de laturile poligonului. Arătați că, pentru orice alegere a punctului <math>M</math>, poligoanele <math>M_1</math><math>M_2 \ldots M_n</math> au același centru de greutate.''		'''28315 (Vasile Pop)''' ‎
	~~::::::'''''Vasile Pop'', Cluj-Napoca și ''Nicolae Mușuroia'', Baia Mare'''~~		<br />
	‎<br />		<br />
	~~       ''~~'''Soluție~~.''~~''' Vom demonstra următoarea lemă: În planul complex, simetricul punctului <math>M(m)</math> față de dreapta determinată de punctele <math>A(a)</math> și <math>B(b)</math>, unde <math>\|a\| = \|b\| = 1</math>, este punctul <math>M^{\prime}		''Fie <math>P_1P_2\ldots P_n</math> <math>(n \geq 3)</math> un poligon regulat și <math>M</math> un punct în interiorul poligonului. Notăm cu <math>M_1</math>, <math>M_2, \ldots, M_n</math> simetricele punctului <math>M</math> față de laturile poligonului. Arătați că, pentru orice alegere a punctului <math>M</math>, poligoanele <math>M_1</math><math>M_2 \ldots M_n</math> au același centru de greutate.''
			<br />
			<br />
			'''Soluție:'''
			<br />
			<br />
			Vom demonstra următoarea lemă: În planul complex, simetricul punctului <math>M(m)</math> față de dreapta determinată de punctele <math>A(a)</math> și <math>B(b)</math>, unde <math>\|a\| = \|b\| = 1</math>, este punctul <math>M^{\prime}
	</math> de afix <math>m^{\prime} = a + b - ab\overline{m}		</math> de afix <math>m^{\prime} = a + b - ab\overline{m}
	.</math>		.</math>

Vardai Erwin: Pagină nouă: '''28315.''' ‎'' Fie $P_1P_2\ldots P_n$ $(n \geq 3)$ un poligon regulat și $M$ un punct în interiorul poligonului. Notăm cu $M_1$ , $M_2, \ldots, M_n$ simetricele punctului $M$ față de laturile poligonului. Arătați că, pentru orice alegere a punctului $M$ , poligoanele $M_1$ $M_2 \ldots M_n$ au același centru de greutate.'' ::::::'...

2023-10-20T10:37:11Z

Pagină nouă: '''28315.''' ‎'' Fie <math>P_1P_2\ldots P_n</math> <math>(n \geq 3)</math> un poligon regulat și <math>M</math> un punct în interiorul poligonului. Notăm cu <math>M_1</math>, <math>M_2, \ldots, M_n</math> simetricele punctului <math>M</math> față de laturile poligonului. Arătați că, pentru orice alegere a punctului <math>M</math>, poligoanele <math>M_1</math><math>M_2 \ldots M_n</math> au același centru de greutate.'' ::::::'...

New page

       '''28315.''' ‎''    Fie <math>P_1P_2\ldots P_n</math> <math>(n \geq 3)</math> un poligon regulat și <math>M</math> un punct în interiorul poligonului. Notăm cu <math>M_1</math>, <math>M_2, \ldots, M_n</math> simetricele punctului <math>M</math> față de laturile poligonului. Arătați că, pentru orice alegere a punctului <math>M</math>, poligoanele <math>M_1</math><math>M_2 \ldots M_n</math> au același centru de greutate.''
::::::'''''Vasile Pop'', Cluj-Napoca și ''Nicolae Mușuroia'', Baia Mare'''
‎<br />
       '''''Soluție.''''' Vom demonstra următoarea lemă: În planul complex, simetricul punctului <math>M(m)</math> față de dreapta determinată de punctele <math>A(a)</math> și <math>B(b)</math>, unde <math>|a| = |b| = 1</math>, este punctul <math>M^{\prime}
</math> de afix <math>m^{\prime} = a + b - ab\overline{m}
.</math>
<br />
        Într-adevăr, din faptul că mijlocul <math>N(n)</math> al segmentului <math>[MM^{\prime}]</math> aparține dreptei <math>AB</math>, rezultă că <math>\frac{n-a}{b-a} \in \mathbb{R}</math>, adică <math>\frac{n-a}{b-a}</math> = <math>\frac{\overline{n}-\overline{a}}{\overline{b}-\overline{a}}, (1), </math> iar din <math>MM^{\prime} \perp AB</math>, deducem că <math>\frac{m^{\prime}-m}{b-a} \in i\mathbb{R^*}</math>, adică <math>\frac{m^{\prime}-m}{b-a} = - \frac{\overline{m^{\prime}}-\overline{m}}{\overline{b}-\overline{a}}, (2)</math>. Având în vedere că <math>\overline{a} = \frac{1}{a}, \overline{b} = \frac{1}{b}</math> și <math>n = \frac{m+m^{\prime}}{2}</math>, din relația <math>(1)</math> rezultă că <math>m^{\prime}+ m = 2(a + b) - ab(\overline{m^{\prime}}+\overline{m}), (3)</math>, iar din relația <math>(2)</math> că <math>m^{\prime}-m=ab(\overline{m^{\prime}}-\overline{m}), (4).</math> Adunând egalitățile <math>(3)</math> și <math>(4)</math> obținem <math>m^{\prime}=a+b-ab\overline{m}</math>.

        Revenind la problemă, considerăm un reper cartezian cu originea în centrul poligonului, astfel încât afixele punctelor <math>P_n</math> și <math>P_1</math> să fie <math>1</math>, respectiv <math>\epsilon = \cos\frac{2\pi}{n}+i\sin\frac{2\pi}{n}</math>. Ca urmare, afixul punctului <math>P_k</math> este <math>\epsilon^k</math>, pentru orice <math>k \in \{1, 2, \ldots, n\}
</math>.

        Fie <math>m</math> afixul punctului <math>M</math> și <math> m_k</math> afixul punctului <math>M_k, 1 \leq k \leq n.</math> Folosind lema, rezultă că <math> m_k=\epsilon^k+\epsilon^{k+1}-\epsilon^{2k+1} \overline{m}</math>, pentru orice <math>k</math>. În consecință,<br />
<math>
\sum_{k=1}^{n}m_k=(1+\epsilon) \sum_{k=1}^{n}\epsilon^k+\overline{m} \cdot \sum_{k=1}^{n}\epsilon^{2k+1}=(1+\epsilon)\cdot \epsilon \cdot \frac{\epsilon^n-1}{\epsilon-1}+\overline{m}\cdot\epsilon^3\cdot\frac{\epsilon^{2n}-1}{\epsilon^2-1}=0
</math>
, deci centrul de greutate al poligonului <math>M_1M_2 \ldots M_n</math> este originea, indiferent de alegerea punctului <math>M</math>.