28260 - Revision history

Andrei.Horvat at 15:26, 21 January 2024

2024-01-21T15:26:38Z

← Older revision		Revision as of 15:26, 21 January 2024
Line 13:		Line 13:
	Alegem punctele <math>M, N, P \in \mathcal{M} </math>. Dacă vectorul <math>\overrightarrow{MN}</math> este paralel cu unul dintre vectorii <math>\overrightarrow{OA}</math>, <math>\overrightarrow{OB}</math>, <math>\overrightarrow{OC}</math>, atunci problema este evidentă. Dacă <math>\overrightarrow{MN}</math> nu este paralel cu niciunul dintre vectorii <math>\overrightarrow{OA}</math>, <math>\overrightarrow{OB}</math>, <math>\overrightarrow{OC}</math>, atunci fie <math>a, b\in \mathbb{Z}^*</math> coordonatele vectorului <math>\overrightarrow{MN}</math> în baza <math>(\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB})</math> și punctele <math>S, T, R</math> astfel încât <math>\overrightarrow{SN} = a \cdot \overrightarrow{OA}</math>, <math>\overrightarrow{MS} = b \cdot \overrightarrow{OB}</math>, <math>\overrightarrow{NR} = a \cdot \overrightarrow{OC}</math> și <math>\overrightarrow{RT} = b \cdot \overrightarrow{OA} </math>. Rezultă <math>\overrightarrow{MN} = a \cdot \overrightarrow{OA}+ b \cdot \overrightarrow{OB} </math> și <math>\overrightarrow{NT} = a \cdot \overrightarrow{OC} + b \cdot \overrightarrow{OA} </math>.		Alegem punctele <math>M, N, P \in \mathcal{M} </math>. Dacă vectorul <math>\overrightarrow{MN}</math> este paralel cu unul dintre vectorii <math>\overrightarrow{OA}</math>, <math>\overrightarrow{OB}</math>, <math>\overrightarrow{OC}</math>, atunci problema este evidentă. Dacă <math>\overrightarrow{MN}</math> nu este paralel cu niciunul dintre vectorii <math>\overrightarrow{OA}</math>, <math>\overrightarrow{OB}</math>, <math>\overrightarrow{OC}</math>, atunci fie <math>a, b\in \mathbb{Z}^*</math> coordonatele vectorului <math>\overrightarrow{MN}</math> în baza <math>(\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB})</math> și punctele <math>S, T, R</math> astfel încât <math>\overrightarrow{SN} = a \cdot \overrightarrow{OA}</math>, <math>\overrightarrow{MS} = b \cdot \overrightarrow{OB}</math>, <math>\overrightarrow{NR} = a \cdot \overrightarrow{OC}</math> și <math>\overrightarrow{RT} = b \cdot \overrightarrow{OA} </math>. Rezultă <math>\overrightarrow{MN} = a \cdot \overrightarrow{OA}+ b \cdot \overrightarrow{OB} </math> și <math>\overrightarrow{NT} = a \cdot \overrightarrow{OC} + b \cdot \overrightarrow{OA} </math>.

	Dacă <math>a \cdot b > 0,</math> atunci <math>m(\~~angle~~ MSN) = m(\~~angle~~ TRN) = 60^\circ</math> , iar ~~daca~~ <math>a \cdot b < 0,</math> atunci <math>m(\~~angle~~ MSN) = m(\~~angle~~ TRN) = 120^\circ</math>. Cum <math>MS = RT = \|b\|,</math> iar <math> SN = NR = \|a\|,</math> rezultă că triunghiurile <math>MNS</math> și <math>TNR</math> sunt congruente, deci <math>TN = MN </math> și <math>m(\~~angle~~ MSN) = m(\~~angle~~ TRN). </math>.		Dacă <math>a \cdot b > 0</math>, atunci <math>m(\sphericalangle MSN) = m(\sphericalangle TRN) = 60^\circ</math>, iar dacă <math>a \cdot b < 0</math>, atunci <math>m(\sphericalangle MSN) = m(\sphericalangle TRN) = 120^\circ</math>. Cum <math>MS = RT = \|b\|</math>, iar <math> SN = NR = \|a\|</math>, rezultă că triunghiurile <math>MNS</math> și <math>TNR</math> sunt congruente, deci <math>TN = MN </math> și <math>m(\sphericalangle MSN) = m(\sphericalangle TRN)</math>. Întrucât <math>m(\sphericalangle SNR) = 60^\circ</math>, obținem și <math>m(\sphericalangle MNT) = 60^\circ</math>, deci triunghiul <math>MNT</math> este echilateral. Este suficient să alegem punctul <math>Q</math> astfel încât <math>\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{NT}</math> și problema este rezolvată.

	Întrucât <math>m(\~~angle~~ SNR) = 60^\circ</math> , obținem și <math>m(\~~angle~~ MNT) = 60^\circ</math>, deci triunghiul <math>MNT</math> este echilateral. Este suficient să alegem punctul <math>Q</math> astfel încât <math>\overrightarrow{PQ} =~~</math> <math>~~\overrightarrow{NT}</math> și problema este rezolvată.

	'''Remarcă:'''		'''Remarcă:'''
	De fapt, triunghiul <math>TNR</math> este imaginea triunghiului <math>MNS</math> prin rotația de centru <math>N</math> și unghi de <math>60^/circ</math>.		De fapt, triunghiul <math>TNR</math> este imaginea triunghiului <math>MNS</math> prin rotația de centru <math>N</math> și unghi de <math>60^\circ</math>.

Andrei.Horvat at 15:21, 21 January 2024

2024-01-21T15:21:12Z

← Older revision		Revision as of 15:21, 21 January 2024
Line 3:		Line 3:
	'''Enunț'''		'''Enunț'''

	''Fie triunghiul echilateral <math>ABC</math> înscris în cercul de centru <math>O</math> și rază <math>1</math>. Considerăm mulțimea <math>\mathcal{M}</math> a punctelor <math>X</math> din plan cu proprietatea că <math>\overrightarrow{OX} = k \cdot \overrightarrow{OA} + m \cdot \overrightarrow{OB} + n \cdot \overrightarrow{OC}</math>, unde <math>k,m,n \in N^*</math>. Arătați că oricare ar fi punctele distincte <math>M,N,P \in \mathcal{M} </math> există <math>Q\in\mathcal{M}</math> astfel încât vectorii <math>\overrightarrow{MN}</math>, <math>\overrightarrow{PQ} </math> și <math>\overrightarrow{NM}+</math> <math>\overrightarrow{QP}</math> să formeze un triunghi echilateral.''		''Fie triunghiul echilateral <math>ABC</math> înscris în cercul de centru <math>O</math> și rază <math>1</math>. Considerăm mulțimea <math>\mathcal{M}</math> a punctelor <math>X</math> din plan cu proprietatea că <math>\overrightarrow{OX} = k \cdot \overrightarrow{OA} + m \cdot \overrightarrow{OB} + n \cdot \overrightarrow{OC}</math>, unde <math>k, m, n \in N^*</math>. Arătați că oricare ar fi punctele distincte <math>M, N, P \in \mathcal{M} </math> există <math>Q\in\mathcal{M}</math> astfel încât vectorii <math>\overrightarrow{MN}</math>, <math>\overrightarrow{PQ} </math> și <math>\overrightarrow{NM}+</math> <math>\overrightarrow{QP}</math> să formeze un triunghi echilateral.''

	'''Soluție'''		'''Soluție'''

	Formăm în plan o rețea de triunghiuri echilaterale ale căror vârfuri se află pe drepte paralele echidistante, având direcțiile dreptelor OA,OB și OC,		Formăm în plan o rețea de triunghiuri echilaterale ale căror vârfuri se află pe drepte paralele echidistante, având direcțiile dreptelor <math>OA</math>, <math>OB</math> și <math>OC</math>, distanța ditre două drepte consecutive fiind de <math>\sqrt{3}</math>. Cum <math>\overrightarrow{OC}</math> = <math>-\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB}</math> obținem că <math>X\in \mathcal{M}</math> dacă și numai dacă există <math>p, q\in \mathbb{Z}</math>, astfel încât <math>\overrightarrow{OX} = p\cdot\overrightarrow{OA} + q\cdot\overrightarrow{OB} </math>.
	distanța ditre două drepte consecutive fiind de <math>\sqrt{3}</math>~~, ca în figura alăturată~~. Cum <math>\overrightarrow{OC}</math> = <math>-\overrightarrow{OC}~~</math>~~ - ~~<math>~~\overrightarrow{OC}</math> obținem că <math>X\in M</math> dacă și numai dacă există <math>p,q\in Z</math>, astfel încât <math>\overrightarrow{OX} = p~~</math> <math>~~\cdot~~</math> <math>~~\overrightarrow{OA} + q~~</math> <math>~~\cdot~~</math> <math>~~\overrightarrow{OB} </math>.

	Analog,coordonatele lui <math>\overrightarrow{OX}</math> în baza <math>(\overrightarrow{OB},\,\overrightarrow{OC})</math>, precum și cele din baza <math>(\overrightarrow{OA},\,\overrightarrow{OC})</math> sunt întregi. De aici rezultă ușor că <math>M</math> este mulțimea tuturor vârfurilor rețelei.		Analog, coordonatele lui <math>\overrightarrow{OX}</math> în baza <math>(\overrightarrow{OB},\,\overrightarrow{OC})</math>, precum și cele din baza <math>(\overrightarrow{OA},\,\overrightarrow{OC})</math> sunt întregi. De aici rezultă ușor că <math>\mathcal{M}</math> este mulțimea tuturor vârfurilor rețelei.

	Alegem punctele <math>M,N,P \in M </math>. Dacă vectorul <math>\overrightarrow{MN}</math> este paralel cu unul dintre vectorii <math>\overrightarrow{OA}</math>,<math>\overrightarrow{OB}</math>,<math>\overrightarrow{OA},</math> problema este evidentă. Dacă <math>\overrightarrow{MN}</math> nu este paralel cu niciunul dintre vectorii <math>\overrightarrow{OA},</math><math>\overrightarrow{OB},</math>,<math>\overrightarrow{OC},</math> fie <math>a,b\in Z^*</math> coordonatele ~~lui~~ <math>\overrightarrow{MN}</math> în baza <math>(\overrightarrow{OA},~~</math><math>~~\overrightarrow{OB})</math> și punctele <math>S,T,R,</math> astfel încât <math>\overrightarrow{SN} = a \cdot~~</math> <math>~~\overrightarrow{OA},</math> <math>\overrightarrow{MS} = b \cdot~~</math> <math>~~\overrightarrow{OB},</math>, <math>\overrightarrow{NR} = a \cdot~~</math> <math>~~\overrightarrow{OC},</math> și <math>\overrightarrow{RT} = b \cdot~~</math> <math>~~\overrightarrow{OA} </math>. Rezultă <math>\overrightarrow{MN} = a \cdot ~~</math><math>~~\overrightarrow{OA}+ b \cdot~~</math> <math>~~\overrightarrow{OB} </math> și <math>\overrightarrow{NT} = a \cdot ~~</math><math>~~\overrightarrow{OC} + b \cdot ~~</math><math>~~\overrightarrow{OA} </math>.		Alegem punctele <math>M, N, P \in \mathcal{M} </math>. Dacă vectorul <math>\overrightarrow{MN}</math> este paralel cu unul dintre vectorii <math>\overrightarrow{OA}</math>, <math>\overrightarrow{OB}</math>, <math>\overrightarrow{OC}</math>, atunci problema este evidentă. Dacă <math>\overrightarrow{MN}</math> nu este paralel cu niciunul dintre vectorii <math>\overrightarrow{OA}</math>, <math>\overrightarrow{OB}</math>, <math>\overrightarrow{OC}</math>, atunci fie <math>a, b\in \mathbb{Z}^*</math> coordonatele vectorului <math>\overrightarrow{MN}</math> în baza <math>(\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB})</math> și punctele <math>S, T, R</math> astfel încât <math>\overrightarrow{SN} = a \cdot \overrightarrow{OA}</math>, <math>\overrightarrow{MS} = b \cdot \overrightarrow{OB}</math>, <math>\overrightarrow{NR} = a \cdot \overrightarrow{OC}</math> și <math>\overrightarrow{RT} = b \cdot \overrightarrow{OA} </math>. Rezultă <math>\overrightarrow{MN} = a \cdot \overrightarrow{OA}+ b \cdot \overrightarrow{OB} </math> și <math>\overrightarrow{NT} = a \cdot \overrightarrow{OC} + b \cdot \overrightarrow{OA} </math>.

	Dacă <math>a \cdot b > 0,</math> atunci <math>m(\angle MSN) = m(\angle TRN) = 60^\circ</math> , iar daca <math>a \cdot b < 0,</math> atunci <math>m(\angle MSN) = m(\angle TRN) = 120^\circ</math>. Cum <math>MS = RT = \|b\|,</math> iar <math> SN = NR = \|a\|,</math> rezultă că triunghiurile <math>MNS</math> și <math>TNR</math> sunt congruente, deci <math>TN = MN </math> și <math>m(\angle MSN) = m(\angle TRN). </math>.		Dacă <math>a \cdot b > 0,</math> atunci <math>m(\angle MSN) = m(\angle TRN) = 60^\circ</math> , iar daca <math>a \cdot b < 0,</math> atunci <math>m(\angle MSN) = m(\angle TRN) = 120^\circ</math>. Cum <math>MS = RT = \|b\|,</math> iar <math> SN = NR = \|a\|,</math> rezultă că triunghiurile <math>MNS</math> și <math>TNR</math> sunt congruente, deci <math>TN = MN </math> și <math>m(\angle MSN) = m(\angle TRN). </math>.

Andrei.Horvat at 15:09, 21 January 2024

2024-01-21T15:09:49Z

← Older revision		Revision as of 15:09, 21 January 2024
Line 3:		Line 3:
	'''Enunț'''		'''Enunț'''

	Fie triunghiul echilateral <math>ABC</math> înscris în cercul de centru <math>O</math> și rază <math>1</math>. Considerăm mulțimea M a punctelor X din plan cu proprietatea că <math>\overrightarrow{OX}= k~~</math> <math>~~\cdot \overrightarrow{OA} + m \cdot \overrightarrow{OB} + n \cdot \overrightarrow{OC}</math>,unde <math>k,m,n \in N^*</math>. Arătați că oricare ar fi punctele distincte <math>M,N,P \in M </math> există <math>Q\in\{M}\</math> astfel încât vectorii <math>\overrightarrow{MN}</math>, <math>\overrightarrow{PQ} </math> și <math>\overrightarrow{NM}+</math> <math>\overrightarrow{QP}</math> să formeze un triunghi echilateral.		''Fie triunghiul echilateral <math>ABC</math> înscris în cercul de centru <math>O</math> și rază <math>1</math>. Considerăm mulțimea <math>\mathcal{M}</math> a punctelor <math>X</math> din plan cu proprietatea că <math>\overrightarrow{OX} = k \cdot \overrightarrow{OA} + m \cdot \overrightarrow{OB} + n \cdot \overrightarrow{OC}</math>, unde <math>k,m,n \in N^*</math>. Arătați că oricare ar fi punctele distincte <math>M,N,P \in \mathcal{M} </math> există <math>Q\in\mathcal{M}</math> astfel încât vectorii <math>\overrightarrow{MN}</math>, <math>\overrightarrow{PQ} </math> și <math>\overrightarrow{NM}+</math> <math>\overrightarrow{QP}</math> să formeze un triunghi echilateral.''

	'''Soluție'''		'''Soluție'''

	Formăm in plan o rețea de triunghiuri echilaterale ale căror vârfuri		Formăm în plan o rețea de triunghiuri echilaterale ale căror vârfuri se află pe drepte paralele echidistante, având direcțiile dreptelor OA,OB și OC,
	se află pe drepte paralele echidistante, ~~avand~~ direcțiile dreptelor OA,OB și OC,
	distanța ditre două drepte consecutive fiind de <math>\sqrt{3}</math>, ca în figura alăturată. Cum <math>\overrightarrow{OC}</math> = <math>-\overrightarrow{OC}</math> - <math>\overrightarrow{OC}</math> obținem că <math>X\in M</math> dacă și numai dacă există <math>p,q\in Z</math>, astfel încât <math>\overrightarrow{OX} = p</math> <math>\cdot</math> <math>\overrightarrow{OA} + q</math> <math>\cdot</math> <math>\overrightarrow{OB} </math>.		distanța ditre două drepte consecutive fiind de <math>\sqrt{3}</math>, ca în figura alăturată. Cum <math>\overrightarrow{OC}</math> = <math>-\overrightarrow{OC}</math> - <math>\overrightarrow{OC}</math> obținem că <math>X\in M</math> dacă și numai dacă există <math>p,q\in Z</math>, astfel încât <math>\overrightarrow{OX} = p</math> <math>\cdot</math> <math>\overrightarrow{OA} + q</math> <math>\cdot</math> <math>\overrightarrow{OB} </math>.

Andrei.Horvat at 15:03, 21 January 2024

2024-01-21T15:03:19Z

← Older revision		Revision as of 15:03, 21 January 2024
Line 3:		Line 3:
	'''Enunț'''		'''Enunț'''

	Fie triunghiul echilateral ABC înscris în cercul de centru O și rază.1.		Fie triunghiul echilateral <math>ABC</math> înscris în cercul de centru <math>O</math> și rază <math>1</math>. Considerăm mulțimea M a punctelor X din plan cu proprietatea că <math>\overrightarrow{OX}= k</math> <math>\cdot \overrightarrow{OA} + m \cdot \overrightarrow{OB} + n \cdot \overrightarrow{OC}</math>,unde <math>k,m,n \in N^*</math>. Arătați că oricare ar fi punctele distincte <math>M,N,P \in M </math> există <math>Q\in\{M}\</math> astfel încât vectorii <math>\overrightarrow{MN}</math>, <math>\overrightarrow{PQ} </math> și <math>\overrightarrow{NM}+</math> <math>\overrightarrow{QP}</math> să formeze un triunghi echilateral.
	Considerăm mulțimea M a punctelor X din plan cu proprietatea că <math>\overrightarrow{OX}= k</math> <math>\cdot \overrightarrow{OA} + m \cdot \overrightarrow{OB} + n \cdot \overrightarrow{OC}</math>,unde <math>k,m,n \in N^*</math>. Arătați că oricare ar fi punctele distincte <math>M,N,P \in M </math> există <math>Q\in\{M}\</math> astfel încât vectorii <math>\overrightarrow{MN}</math>, <math>\overrightarrow{PQ} </math> și <math>\overrightarrow{NM}+</math> <math>\overrightarrow{QP}</math> să formeze un triunghi echilateral.

	'''Soluție'''		'''Soluție'''

Sinn Erich: Pagină nouă: '''28260 (Dana Heuberger)''' '''Enunț''' Fie triunghiul echilateral ABC înscris în cercul de centru O și rază.1. Considerăm mulțimea M a punctelor X din plan cu proprietatea că $\overrightarrow{OX}= k$ $\cdot \overrightarrow{OA} + m \cdot \overrightarrow{OB} + n \cdot \overrightarrow{OC}$ ,unde $k,m,n \in N^*$ . Arătați că oricare ar fi punctele distincte $M,N,P \in M$ există $Q\in\{M}\$ astfel încât vecto...

2024-01-16T18:51:47Z

Pagină nouă: '''28260 (Dana Heuberger)''' '''Enunț''' Fie triunghiul echilateral ABC înscris în cercul de centru O și rază.1. Considerăm mulțimea M a punctelor X din plan cu proprietatea că <math>\overrightarrow{OX}= k</math> <math>\cdot \overrightarrow{OA} + m \cdot \overrightarrow{OB} + n \cdot \overrightarrow{OC}</math>,unde <math>k,m,n \in N^*</math>. Arătați că oricare ar fi punctele distincte <math>M,N,P \in M </math> există <math>Q\in\{M}\</math> astfel încât vecto...

New page

'''28260 (Dana Heuberger)'''

'''Enunț'''

Fie triunghiul echilateral ABC înscris în cercul de centru O și rază.1.
Considerăm mulțimea M a punctelor X din plan cu proprietatea că <math>\overrightarrow{OX}= k</math> <math>\cdot \overrightarrow{OA} + m \cdot \overrightarrow{OB} + n \cdot \overrightarrow{OC}</math>,unde <math>k,m,n \in N^*</math>. Arătați că oricare ar fi punctele distincte <math>M,N,P \in M </math> există <math>Q\in\{M}\</math> astfel încât vectorii <math>\overrightarrow{MN}</math>, <math>\overrightarrow{PQ} </math> și <math>\overrightarrow{NM}+</math> <math>\overrightarrow{QP}</math> să formeze un triunghi echilateral.

'''Soluție'''

Formăm in plan o rețea de triunghiuri echilaterale ale căror vârfuri
se află pe drepte paralele echidistante, avand direcțiile dreptelor OA,OB și OC,
distanța ditre două drepte consecutive fiind de <math>\sqrt{3}</math>, ca în figura alăturată. Cum <math>\overrightarrow{OC}</math> = <math>-\overrightarrow{OC}</math> - <math>\overrightarrow{OC}</math> obținem că <math>X\in M</math> dacă și numai dacă există <math>p,q\in Z</math>, astfel încât <math>\overrightarrow{OX} = p</math> <math>\cdot</math> <math>\overrightarrow{OA} + q</math> <math>\cdot</math> <math>\overrightarrow{OB} </math>.

Analog,coordonatele lui <math>\overrightarrow{OX}</math> în baza <math>(\overrightarrow{OB},\,\overrightarrow{OC})</math>, precum și cele din baza <math>(\overrightarrow{OA},\,\overrightarrow{OC})</math> sunt întregi. De aici rezultă ușor că <math>M</math> este mulțimea tuturor vârfurilor rețelei.

Alegem punctele <math>M,N,P \in M </math>. Dacă vectorul <math>\overrightarrow{MN}</math> este paralel cu unul dintre vectorii <math>\overrightarrow{OA}</math>,<math>\overrightarrow{OB}</math>,<math>\overrightarrow{OA},</math> problema este evidentă. Dacă <math>\overrightarrow{MN}</math> nu este paralel cu niciunul dintre vectorii <math>\overrightarrow{OA},</math><math>\overrightarrow{OB},</math>,<math>\overrightarrow{OC},</math> fie <math>a,b\in Z^*</math> coordonatele lui <math>\overrightarrow{MN}</math> în baza <math>(\overrightarrow{OA},</math><math>\overrightarrow{OB})</math> și punctele <math>S,T,R,</math> astfel încât <math>\overrightarrow{SN} = a \cdot</math> <math>\overrightarrow{OA},</math> <math>\overrightarrow{MS} = b \cdot</math> <math>\overrightarrow{OB},</math>, <math>\overrightarrow{NR} = a \cdot</math> <math>\overrightarrow{OC},</math> și <math>\overrightarrow{RT} = b \cdot</math> <math>\overrightarrow{OA} </math>. Rezultă <math>\overrightarrow{MN} = a \cdot </math><math>\overrightarrow{OA}+ b \cdot</math> <math>\overrightarrow{OB} </math> și <math>\overrightarrow{NT} = a \cdot </math><math>\overrightarrow{OC} + b \cdot </math><math>\overrightarrow{OA} </math>.

Dacă <math>a \cdot b > 0,</math> atunci <math>m(\angle MSN) = m(\angle TRN) = 60^\circ</math> , iar daca <math>a \cdot b < 0,</math> atunci <math>m(\angle MSN) = m(\angle TRN) = 120^\circ</math>. Cum <math>MS = RT = |b|,</math> iar <math> SN = NR = |a|,</math> rezultă că triunghiurile <math>MNS</math> și <math>TNR</math> sunt congruente, deci <math>TN = MN </math> și <math>m(\angle MSN) = m(\angle TRN). </math>.

Întrucât <math>m(\angle SNR) = 60^\circ</math> , obținem și <math>m(\angle MNT) = 60^\circ</math>, deci triunghiul <math>MNT</math> este echilateral. Este suficient să alegem punctul <math>Q</math> astfel încât <math>\overrightarrow{PQ} =</math> <math>\overrightarrow{NT}</math> și problema este rezolvată.

'''Remarcă:'''
De fapt, triunghiul <math>TNR</math> este imaginea triunghiului <math>MNS</math> prin rotația de centru <math>N</math> și unghi de <math>60^/circ</math>.