28251 - Revision history

Andrei.Horvat at 19:04, 7 January 2024

2024-01-07T19:04:42Z

← Older revision		Revision as of 19:04, 7 January 2024
Line 6:		Line 6:
	a) ''Dați un exemplu de o funcție <math>f</math> cu proprietățile din enunț''.		a) ''Dați un exemplu de o funcție <math>f</math> cu proprietățile din enunț''.
	<br />		<br />
	b) ''Arătați că există'' <math> c \in [0,1] </math> astfel încât <math> f(c) = c^{n^{3}} - 1		b) ''Arătați că există'' <math> c \in [0,1] </math> astfel încât <math> f(c) = c^{n^{3}-1}
	</math>.		</math>.

	'''Soluție.''' a) Funcția <math display="block"> f: [0,1] \longrightarrow \mathbb{R}, \quad f(x) = \ln\sqrt{1 + \frac{4x}{n^3}}</math> are toate proprietățile din enunț.		'''Soluție.''' a) Funcția<math display="block"> f: [0,1] \longrightarrow \mathbb{R}, \quad f(x) = \ln\sqrt{1 + \frac{4x}{n^3}}</math>are toate proprietățile din enunț.
	~~<br />~~
	b) Deoarece <math> e^t \geq t + 1</math> pentru orice <math> t \in \mathbb{R}</math>, avem<math display="block"> 1 + \frac{2}{n^3} = \int_{0}^{1} e^{2f(x)} dx \ge \int_{0}^{1} \left(2f(x) + 1\right) dx = 2\int_{0}^{1} f(x)dx + 1,</math>
	de unde rezultă că <math display="block"> \int_{0}^{1} f(x)dx\leq \frac{1}{n^3}.</math>Cum <math> \int_{0}^{1} x^{n^3-1}dx = \dfrac{1}{n^3}</math>, deducem că <math> \int_{0}^{1} \left(f(x) - x^{n^3-1} \right) dx \leq 0 </math>, deci există <math> a \in [0,1] </math>, astfel încât <math> f(a) - a^{n^{3}-1} \leq 0 </math>.		b) Deoarece <math> e^t \geq t + 1</math> pentru orice <math> t \in \mathbb{R}</math>, avem<math display="block"> 1 + \frac{2}{n^3} = \int_{0}^{1} e^{2f(x)} dx \ge \int_{0}^{1} \left(2f(x) + 1\right) dx = 2\int_{0}^{1} f(x)dx + 1,</math>de unde rezultă că<math display="block"> \int_{0}^{1} f(x)dx\leq \frac{1}{n^3}.</math>
	~~<br />~~
	~~Functia~~ <math> g : [0,1] \longrightarrow \mathbb{R}, g(x) = f(x) - x^{n^{3}}</math> este continuă și <math> g(0) \cdot g(a) \leq 0</math>.
	<br />		Cum <math> \int_{0}^{1} x^{n^3-1}dx = \dfrac{1}{n^3}</math>, deducem că <math> \int_{0}^{1} \left(f(x) - x^{n^3-1} \right) dx \leq 0 </math>, deci există <math> a \in [0,1] </math>, astfel încât <math> f(a) - a^{n^{3}-1} \leq 0 </math>.
	Rezultă că există <math> c \in [0,a] \subseteq [0,1]</math> astfel încât <math> g(c) = 0 </math>.		Funcția <math> g : [0,1] \longrightarrow \mathbb{R}, g(x) = f(x) - x^{n^{3}}</math> este continuă și <math> g(0) \cdot g(a) \leq 0</math>.<br />Rezultă că există <math> c \in [0,a] \subseteq [0,1]</math> astfel încât <math> g(c) = 0 </math>, ceea ce revine la faptul că există <math> c \in [0,a] \subseteq [0,1]</math> astfel încât <math> f(c) = c^{n^{3}-1}
			</math>.

Andrei.Horvat at 18:58, 7 January 2024

2024-01-07T18:58:17Z

← Older revision		Revision as of 18:58, 7 January 2024
Line 9:		Line 9:
	</math>.		</math>.

	'''Soluție.''' a) Funcția <math> f: [0,1] \longrightarrow \mathbb{R}, \quad f(x) = \ln\sqrt{1 + \frac{4x}{n^3}}</math> are toate proprietățile din enunț.		'''Soluție.''' a) Funcția <math display="block"> f: [0,1] \longrightarrow \mathbb{R}, \quad f(x) = \ln\sqrt{1 + \frac{4x}{n^3}}</math> are toate proprietățile din enunț.
	<br />		<br />
	b) Deoarece <math> e^t \geq t + 1</math> pentru orice <math> t \in \mathbb{R}</math>, avem		b) Deoarece <math> e^t \geq t + 1</math> pentru orice <math> t \in \mathbb{R}</math>, avem<math display="block"> 1 + \frac{2}{n^3} = \int_{0}^{1} e^{2f(x)} dx \ge \int_{0}^{1} \left(2f(x) + 1\right) dx = 2\int_{0}^{1} f(x)dx + 1,</math>
			de unde rezultă că <math display="block"> \int_{0}^{1} f(x)dx\leq \frac{1}{n^3}.</math>Cum <math> \int_{0}^{1} x^{n^3-1}dx = \dfrac{1}{n^3}</math>, deducem că <math> \int_{0}^{1} \left(f(x) - x^{n^3-1} \right) dx \leq 0 </math>, deci există <math> a \in [0,1] </math>, astfel încât <math> f(a) - a^{n^{3}-1} \leq 0 </math>.
	<math> 1 + \frac{2}{n^3} = \int_{0}^{1} e^{2f(x)} dx \~~geq~~ \int_{0}^{1} (2f(x) + 1) dx = 2\int_{0}^{1} f(x)dx + 1</math>,
	<br />		<br />
	~~de unde rezultă că~~ <math> ~~\int_{~~0~~}^{~~1~~} f(x)dx~~\~~leq~~ \~~frac~~{~~1}{n^3~~}~~</math>. Cum <math> \int_{0}^{1} x^{n^3-1}dx</math>~~, ~~deducem că <math> \int_{0}^{1}~~ (f(x) - x^{n^3-1}~~_dx \leq 0~~ </math>~~, deci există~~ <math> a \~~in [0,1] </math>, astfel încât <math> f~~(a) ~~- a^{n^{3}}-1~~ \leq 0 </math>.		Functia <math> g : [0,1] \longrightarrow \mathbb{R}, g(x) = f(x) - x^{n^{3}}</math> este continuă și <math> g(0) \cdot g(a) \leq 0</math>.
	<br />		<br />
	~~Functia <math> g : [0,1] \longrightarrow \mathbb{R}, g(x) = f(x) - x^{n^{3}}</math> este continuă și <math> g(0) * g(a) \leq 0</math>.~~		Rezultă că există <math> c \in [0,a] \subseteq [0,1]</math> astfel încât <math> g(c) = 0 </math>.
	~~<br />~~
	Rezultă că ~~exsită~~ <math> c \in [0,a] \subseteq [0,1]</math> astfel încât <math> g(c) = 0 </math>.

Andrei.Horvat: Andrei.Horvat a redenumit pagina Gazeta Matematică/28251 în 28251

2024-01-07T18:51:38Z

Andrei.Horvat a redenumit pagina Gazeta Matematică/28251 în 28251

← Older revision	Revision as of 18:51, 7 January 2024
(No difference)

Andrei.Horvat at 18:50, 7 January 2024

2024-01-07T18:50:55Z

← Older revision		Revision as of 18:50, 7 January 2024
Line 1:		Line 1:
	'''28251 (~~Trif Flaviu~~) '''		'''28251 (Gheorghe Boroica) '''
	<br />		<br />
	<br />		<br />
	''Fie'' <math>(n \geq 2)</math> ''un număr natural și'' <math> f: [0,1] \longrightarrow \mathbb{R} </math> ''o funcție continuă astfel încât'' <math>f(0) \geq 0</math> si <math>\int_{0}^{1} e^2f(x) dx = 1+\frac{2}{n^3}</math>.		''Fie'' <math>(n \geq 2)</math> ''un număr natural și'' <math> f: [0,1] \longrightarrow \mathbb{R} </math> ''o funcție continuă astfel încât'' <math>f(0) \geq 0</math> și <math>\int_{0}^{1} e^{2f(x)} dx = 1+\frac{2}{n^3}</math>.
	<br />		<br />
	a) ''Dați un exemplu de o funcție f cu proprietățile din enunț''.		a) ''Dați un exemplu de o funcție <math>f</math> cu proprietățile din enunț''.
	<br />		<br />
	b) ''Arătați că există'' <math> c \in [0,1] </math> astfel încât <math> f(c) = c^{n^{3}} - 1		b) ''Arătați că există'' <math> c \in [0,1] </math> astfel încât <math> f(c) = c^{n^{3}} - 1

Flaviu: Pagină nouă: '''28251 (Trif Flaviu) '''

''Fie'' $(n \geq 2)$ ''un număr natural și'' $f: [0,1] \longrightarrow \mathbb{R}$ ''o funcție continuă astfel încât'' $f(0) \geq 0$ si $\int_{0}^{1} e^2f(x) dx = 1+\frac{2}{n^3}$ .
a) ''Dați un exemplu de o funcție f cu proprietățile din enunț''.
b) ''Arătați că există'' $c \in [0,1]$ astfel încât $f(c) = c^{n^{3}} - 1$ . '''Solu...

2024-01-07T10:06:21Z

Pagină nouă: '''28251 (Trif Flaviu) ''' ''Fie'' <math>(n \geq 2)</math> ''un număr natural și'' <math> f: [0,1] \longrightarrow \mathbb{R} </math> ''o funcție continuă astfel încât'' <math>f(0) \geq 0</math> si <math>\int_{0}^{1} e^2f(x) dx = 1+\frac{2}{n^3}</math>. a) ''Dați un exemplu de o funcție f cu proprietățile din enunț''. b) ''Arătați că există'' <math> c \in [0,1] </math> astfel încât <math> f(c) = c^{n^{3}} - 1 </math>. '''Solu...

New page

'''28251 (Trif Flaviu) '''
 
 
''Fie'' <math>(n \geq 2)</math> ''un număr natural și'' <math> f: [0,1] \longrightarrow \mathbb{R} </math> ''o funcție continuă astfel încât'' <math>f(0) \geq 0</math> si <math>\int_{0}^{1} e^2f(x) dx = 1+\frac{2}{n^3}</math>.
 
a) ''Dați un exemplu de o funcție f cu proprietățile din enunț''.
 
b) ''Arătați că există'' <math> c \in [0,1] </math> astfel încât <math> f(c) = c^{n^{3}} - 1
</math>.

'''Soluție.''' a) Funcția <math> f: [0,1] \longrightarrow \mathbb{R}, \quad f(x) = \ln\sqrt{1 + \frac{4x}{n^3}}</math> are toate proprietățile din enunț.
 
b) Deoarece <math> e^t \geq t + 1</math> pentru orice <math> t \in \mathbb{R}</math>, avem

<math> 1 + \frac{2}{n^3} = \int_{0}^{1} e^{2f(x)} dx \geq \int_{0}^{1} (2f(x) + 1) dx = 2\int_{0}^{1} f(x)dx + 1</math>,
 
de unde rezultă că <math> \int_{0}^{1} f(x)dx\leq \frac{1}{n^3}</math>. Cum <math> \int_{0}^{1} x^{n^3-1}dx</math>, deducem că <math> \int_{0}^{1} (f(x) - x^{n^3-1}_dx \leq 0 </math>, deci există <math> a \in [0,1] </math>, astfel încât <math> f(a) - a^{n^{3}}-1 \leq 0 </math>.
 
Functia <math> g : [0,1] \longrightarrow \mathbb{R}, g(x) = f(x) - x^{n^{3}}</math> este continuă și <math> g(0) * g(a) \leq 0</math>.
 
Rezultă că exsită <math> c \in [0,a] \subseteq [0,1]</math> astfel încât <math> g(c) = 0 </math>.