Adrian: Pagină nouă: '''28247 (Florin Bojor)''' ''Fie matricele $A, B \in \mathcal{M}_3(\mathbb{C}),$ care verifică simultan condițiile:

$AB = BA;$

matricea $A$ este nilpotentă și matricea $B$ este inversabilă.
Arătați că ecuația $AX + XA = B$ nu are soluții în $\mathcal{M}_3(\mathbb{C})$ .

'''Soluție:''' Prin reducere la absurd, pre...

2023-10-28T03:34:46Z

Pagină nouă: '''28247 (Florin Bojor)''' ''Fie matricele <math>A, B \in \mathcal{M}_3(\mathbb{C}),</math> care verifică simultan condițiile: <ol style="list-style-type:lower-roman"> <li><math>AB = BA;</math></li> <li>matricea <math>A</math> este nilpotentă și matricea <math>B</math> este inversabilă. Arătați că ecuația <math>AX + XA = B</math> nu are soluții în <math>\mathcal{M}_3(\mathbb{C})</math>.</li> </ol> '''Soluție:''' Prin reducere la absurd, pre...

New page

'''28247 (Florin Bojor)'''

''Fie matricele <math>A, B \in \mathcal{M}_3(\mathbb{C}),</math> care verifică simultan condițiile:
<ol style="list-style-type:lower-roman">
<li><math>AB = BA;</math></li>
<li>matricea <math>A</math> este nilpotentă și matricea <math>B</math> este inversabilă. Arătați că ecuația <math>AX + XA = B</math> nu are soluții în <math>\mathcal{M}_3(\mathbb{C})</math>.</li>
</ol>

'''Soluție:'''

Prin reducere la absurd, presupunem că există <math>C \in \mathcal{M}_3(\mathbb{C})</math> astfel încât <math>AC + CA = B,</math> <math>(1)</math>. Înmulțind relația <math>(1)</math> cu <math>A</math> la stânga și apoi la dreapta, obținem <math>A^2C + ACA = AB</math> și <math>ACA + CA^2 = BA</math>. Cum <math>AB = BA,</math> deducem că <math>A^2C = CA^2, (2)</math>.

Matricea <math>A</math> este nilpotentă și are ordinul <math>3,</math> prin urmare <math>A^3 = O_3,</math> <math>(3)</math>. Înmulțind egalitatea <math>(1)</math> cu <math>A^2</math> la dreapta și ținând cont de <math>(2)</math> și <math>(3),</math> obținem <math>ACA^2 + CA^3 = BA^2,</math> adică <math>A^3C + CA^3 = BA^2,</math> deci <math>BA^2 = O_3</math>. Cum <math>B</math> este inversabilă<math>,</math> rezultă că <math>A^2 = O_3</math>.

Din inegalitatea lui Sylvester avem <math>rang(A^2) \geqslant rang(A) + rang(A) - 3,</math> adică <math>2rang(A) \leqslant 3,</math> deci <math>rang(A) \leqslant 1</math>. Trecând la <math>rang</math> în relația <math>(1),</math> obținem: <math>3 = rang(B) = rang(AC + CA) \leqslant rang(AC) + rang(CA) \leqslant rang(A) + rang(A) = 2,</math> absurd!

28247 - Revision history