https://wiki.universitas.ro/index.php?action=history&feed=atom&title=28206
28206 - Revision history
2026-05-01T04:00:45Z
Revision history for this page on the wiki
MediaWiki 1.42.1
https://wiki.universitas.ro/index.php?title=28206&diff=10502&oldid=prev
Andrei.Horvat at 11:01, 3 January 2025
2025-01-03T11:01:49Z
<p></p>
<table style="background-color: #fff; color: #202122;" data-mw="interface">
<col class="diff-marker" />
<col class="diff-content" />
<col class="diff-marker" />
<col class="diff-content" />
<tr class="diff-title" lang="en">
<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #202122; text-align: center;">← Older revision</td>
<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #202122; text-align: center;">Revision as of 11:01, 3 January 2025</td>
</tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="mw-diff-left-l21">Line 21:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">Line 21:</td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>b) Fie <math> i,j \in \{1,2,\ldots,n\}</math> și <math>a_i, a_j \in H_1^\ast</math>.</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>b) Fie <math> i,j \in \{1,2,\ldots,n\}</math> și <math>a_i, a_j \in H_1^\ast</math>.</div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br></td></tr>
<tr><td class="diff-marker" data-marker="−"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Atunci <math>H_3^\ast = \{ <del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">a_ib_1</del>, <del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">a_b_2</del>, \ldots, a_ib_n \} = \{ a_j^{-1}b_1, a_j^{-1}b_2, \ldots , a_j^{-1}b_n \}</math>, așadar există <math>s,t \in \{1,2, \ldots, n\}</math> pentru care <math>a_ib_s = a_j^{-1}b_t</math>, deci <math>a_ja_i = b_tb_s^{-1} \in H_2</math>. Dar <math>H_1 \cap H_2 = \{e\}</math>, astfel că pentru orice <math> i,j \in \{1,2,\ldots,n\}</math> avem <math>a_ja_i = e</math>. În consecință, subgrupurile <math>H_1</math>, <math>H_2</math> și <math>H_3</math> pot avea câte două sau câte trei elemente. Dacă <math> |H_1| = |H_2| = |H_3| = 3 </math>, atunci <math>G = H_1 \cup H_2 \cup H_3</math> are șapte elemente, iar <math>| H_1 | </math> nu divide <math>. | G | </math>, contradicție. Așadar, <math>H_1 = \{e,a\}</math>, <math>H_2 = \{e,b\}</math>, <math>H_3 = \{e,c\}</math>, cu <math>a^2 = b^2 = c^2 = e</math>, deci grupul <math> G = \{e,a,b,c\}</math> este de [[wikipedia:Klein_four-group|tip Klein]].</div></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Atunci <math>H_3^\ast = <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">\left</ins>\{ <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">a_i b_1</ins>, <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">a_ib_2</ins>, \ldots, a_ib_n \} = \{ a_j^{-1}b_1, a_j^{-1}b_2, \ldots , a_j^{-1}b_n <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">\right</ins>\}</math>, așadar există <math>s,t \in \{1,2, \ldots, n\}</math> pentru care <math>a_ib_s = a_j^{-1}b_t</math>, deci <math>a_ja_i = b_tb_s^{-1} \in H_2</math>. Dar <math>H_1 \cap H_2 = \{e\}</math>, astfel că pentru orice <math> i,j \in \{1,2,\ldots,n\}</math> avem <math>a_ja_i = e</math>. În consecință, subgrupurile <math>H_1</math>, <math>H_2</math> și <math>H_3</math> pot avea câte două sau câte trei elemente. Dacă <math> |H_1| = |H_2| = |H_3| = 3 </math>, atunci <math>G = H_1 \cup H_2 \cup H_3</math> are șapte elemente, iar <math>| H_1 | </math> nu divide <math>. | G | </math>, contradicție. Așadar, <math>H_1 = \{e,a\}</math>, <math>H_2 = \{e,b\}</math>, <math>H_3 = \{e,c\}</math>, cu <math>a^2 = b^2 = c^2 = e</math>, deci grupul <math> G = \{e,a,b,c\}</math> este de [[wikipedia:Klein_four-group|tip Klein]].</div></td></tr>
</table>
Andrei.Horvat
https://wiki.universitas.ro/index.php?title=28206&diff=10501&oldid=prev
Andrei.Horvat at 10:59, 3 January 2025
2025-01-03T10:59:57Z
<p></p>
<table style="background-color: #fff; color: #202122;" data-mw="interface">
<col class="diff-marker" />
<col class="diff-content" />
<col class="diff-marker" />
<col class="diff-content" />
<tr class="diff-title" lang="en">
<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #202122; text-align: center;">← Older revision</td>
<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #202122; text-align: center;">Revision as of 10:59, 3 January 2025</td>
</tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="mw-diff-left-l21">Line 21:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">Line 21:</td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>b) Fie <math> i,j \in \{1,2,\ldots,n\}</math> și <math>a_i, a_j \in H_1^\ast</math>.</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>b) Fie <math> i,j \in \{1,2,\ldots,n\}</math> și <math>a_i, a_j \in H_1^\ast</math>.</div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br></td></tr>
<tr><td class="diff-marker" data-marker="−"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Atunci <math>H_3^\ast = \{a_ib_1, a_b_2, \<del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">dots</del>, <del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">a_ibn</del>\} = \{a_j^{-1}b_1, a_j^{-1}b_2, \ldots,a_j^{-1}b_n\}</math>, așadar există <math>s,t \in \{1,2, \ldots, n\}</math> pentru care <math>a_ib_s = a_j^{-1}b_t</math>, deci <math>a_ja_i = b_tb_s^{-1} \in H_2</math>. Dar <math>H_1 \cap H_2 = \{e\}</math>, astfel că pentru orice <math> i,j \in \{1,2,\ldots,n\}</math> avem <math>a_ja_i = e</math>. În consecință, subgrupurile <math>H_1</math>, <math>H_2</math> și <math>H_3</math> pot avea câte două sau câte trei elemente. Dacă <math> |H_1| = |H_2| = |H_3| = 3 </math>, atunci <math>G = H_1 \cup H_2 \cup H_3</math> are șapte elemente, iar <math>| H_1 | </math> nu divide <math>. | G | </math>, contradicție. Așadar, <math>H_1 = \{e,a\}</math>, <math>H_2 = \{e,b\}</math>, <math>H_3 = \{e,c\}</math>, cu <math>a^2 = b^2 = c^2 = e</math>, deci grupul <math> G = \{e,a,b,c\}</math> este de tip Klein.</div></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Atunci <math>H_3^\ast = \{ a_ib_1, a_b_2, \<ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">ldots</ins>, <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">a_ib_n </ins>\} = \{ a_j^{-1}b_1, a_j^{-1}b_2, \ldots , a_j^{-1}b_n \}</math>, așadar există <math>s,t \in \{1,2, \ldots, n\}</math> pentru care <math>a_ib_s = a_j^{-1}b_t</math>, deci <math>a_ja_i = b_tb_s^{-1} \in H_2</math>. Dar <math>H_1 \cap H_2 = \{e\}</math>, astfel că pentru orice <math> i,j \in \{1,2,\ldots,n\}</math> avem <math>a_ja_i = e</math>. În consecință, subgrupurile <math>H_1</math>, <math>H_2</math> și <math>H_3</math> pot avea câte două sau câte trei elemente. Dacă <math> |H_1| = |H_2| = |H_3| = 3 </math>, atunci <math>G = H_1 \cup H_2 \cup H_3</math> are șapte elemente, iar <math>| H_1 | </math> nu divide <math>. | G | </math>, contradicție. Așadar, <math>H_1 = \{e,a\}</math>, <math>H_2 = \{e,b\}</math>, <math>H_3 = \{e,c\}</math>, cu <math>a^2 = b^2 = c^2 = e</math>, deci grupul <math> G = \{e,a,b,c\}</math> este de <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">[[wikipedia:Klein_four-group|</ins>tip Klein<ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">]]</ins>.</div></td></tr>
</table>
Andrei.Horvat
https://wiki.universitas.ro/index.php?title=28206&diff=10500&oldid=prev
Andrei.Horvat at 10:57, 3 January 2025
2025-01-03T10:57:14Z
<p></p>
<table style="background-color: #fff; color: #202122;" data-mw="interface">
<col class="diff-marker" />
<col class="diff-content" />
<col class="diff-marker" />
<col class="diff-content" />
<tr class="diff-title" lang="en">
<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #202122; text-align: center;">← Older revision</td>
<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #202122; text-align: center;">Revision as of 10:57, 3 January 2025</td>
</tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="mw-diff-left-l19">Line 19:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">Line 19:</td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Presupunem că există <math>a \in H_1 \cap H_2 </math>, cu <math> a \ne e </math>. Dacă <math> H_1</math> are cel puțin trei elemente, alegem <math> x \in H_1 \setminus \left\{e,a\right\}</math>. Cum <math>xa^{-1} \in H_1^\ast</math> și <math>a \in H_2^\ast</math>, rezultă că <math>xa^{-1}a = x \in H_3</math>, deci <math>H_1 \setminus \left\{e,a\right\} \subset H_3</math>, așadar <math>H_1 \setminus \left\{a\right\} \subset H_3</math>. Subgrupul <math>\langle H_1 \setminus \{a\}\rangle</math> generat de <math>H_1 \setminus \{a\}</math> este un grup al lui <math>H_1</math>. Deoarece ordinul lui <math>\langle H_1 \setminus \{a\}\rangle</math> este cel puțin <math>2</math> și trebuie să dividă ordinul lui <math>H_1</math>, rezultă că <math>\langle H_1 \setminus \{a\}\rangle = H_1</math>. Cum <math>H_3</math> este subgrup al lui <math>G</math>, iar <math>H_1 \setminus \left\{a\right\} \subset H_3</math>, rezultă că și <math>\langle H_1 \setminus \{a\}\rangle = H_1</math> este inclus în <math>H_3</math>, deci <math>a\in H_1 \cap H_2 \cap H_3 = \left\{e\right\}</math>, fals. Așadar, <math>H_1</math> nu poate avea cel puțin trei elemente. Dacă <math>H_1 = \{e,a\}</math>, atunci <math>H_2</math> are cel puțin trei elemente, pentru că <math> H_2 \ne H_1 </math>, și, ca mai înainte, rezultă că <math> H_2 \subset H_3</math>, așadar <math>a\in H_1 \cap H_2 \cap H_3 = \left\{e\right\}</math>, fals. În consecință, <math>H_1 \cap H_2 = \{e\} </math>. La fel se arată că <math>H_2 \cap H_3 = H_1 \cap H_3 = \left\{e\right\}</math>. Fie <math>|H_1| = m</math>, <math>|H_2| = n</math>, <math>|H_3| = p</math>, cu <math>H_1 = \{a_1, a_2, \ldots, a_m\}</math>, <math>H_2 = \{b_1, b_2, \ldots, b_n\}</math> și <math>H_3 = \{c_1, c_2, \ldots, c_p\}</math>. Cum elementele distincte <math>a_1b_1, a_2b_1, \ldots, a_mb_1 </math> aparțin mulțimii <math>H_1^\ast</math>, rezultă că <math> p \le m </math>, deci <math> m = p </math>. Analog se arată că <math> m = n </math>, deci <math> m = n = p </math>. Așadar, <math> |H_1| = |H_2| = |H_3| = n+1 </math>.</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Presupunem că există <math>a \in H_1 \cap H_2 </math>, cu <math> a \ne e </math>. Dacă <math> H_1</math> are cel puțin trei elemente, alegem <math> x \in H_1 \setminus \left\{e,a\right\}</math>. Cum <math>xa^{-1} \in H_1^\ast</math> și <math>a \in H_2^\ast</math>, rezultă că <math>xa^{-1}a = x \in H_3</math>, deci <math>H_1 \setminus \left\{e,a\right\} \subset H_3</math>, așadar <math>H_1 \setminus \left\{a\right\} \subset H_3</math>. Subgrupul <math>\langle H_1 \setminus \{a\}\rangle</math> generat de <math>H_1 \setminus \{a\}</math> este un grup al lui <math>H_1</math>. Deoarece ordinul lui <math>\langle H_1 \setminus \{a\}\rangle</math> este cel puțin <math>2</math> și trebuie să dividă ordinul lui <math>H_1</math>, rezultă că <math>\langle H_1 \setminus \{a\}\rangle = H_1</math>. Cum <math>H_3</math> este subgrup al lui <math>G</math>, iar <math>H_1 \setminus \left\{a\right\} \subset H_3</math>, rezultă că și <math>\langle H_1 \setminus \{a\}\rangle = H_1</math> este inclus în <math>H_3</math>, deci <math>a\in H_1 \cap H_2 \cap H_3 = \left\{e\right\}</math>, fals. Așadar, <math>H_1</math> nu poate avea cel puțin trei elemente. Dacă <math>H_1 = \{e,a\}</math>, atunci <math>H_2</math> are cel puțin trei elemente, pentru că <math> H_2 \ne H_1 </math>, și, ca mai înainte, rezultă că <math> H_2 \subset H_3</math>, așadar <math>a\in H_1 \cap H_2 \cap H_3 = \left\{e\right\}</math>, fals. În consecință, <math>H_1 \cap H_2 = \{e\} </math>. La fel se arată că <math>H_2 \cap H_3 = H_1 \cap H_3 = \left\{e\right\}</math>. Fie <math>|H_1| = m</math>, <math>|H_2| = n</math>, <math>|H_3| = p</math>, cu <math>H_1 = \{a_1, a_2, \ldots, a_m\}</math>, <math>H_2 = \{b_1, b_2, \ldots, b_n\}</math> și <math>H_3 = \{c_1, c_2, \ldots, c_p\}</math>. Cum elementele distincte <math>a_1b_1, a_2b_1, \ldots, a_mb_1 </math> aparțin mulțimii <math>H_1^\ast</math>, rezultă că <math> p \le m </math>, deci <math> m = p </math>. Analog se arată că <math> m = n </math>, deci <math> m = n = p </math>. Așadar, <math> |H_1| = |H_2| = |H_3| = n+1 </math>.</div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br></td></tr>
<tr><td class="diff-marker" data-marker="−"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>b) Fie</div></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>b) Fie <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;"><math> i,j \in \{1,2,\ldots,n\}</math> și <math>a_i, a_j \in H_1^\ast</math>.</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2" class="diff-side-deleted"></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div> </div></td></tr>
<tr><td colspan="2" class="diff-side-deleted"></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">Atunci <math>H_3^\ast = \{a_ib_1, a_b_2, \dots, a_ibn\} = \{a_j^{-1}b_1, a_j^{-1}b_2, \ldots,a_j^{-1}b_n\}</math>, așadar există <math>s,t \in \{1,2, \ldots, n\}</math> pentru care <math>a_ib_s = a_j^{-1}b_t</math>, deci <math>a_ja_i = b_tb_s^{-1} \in H_2</math>. Dar <math>H_1 \cap H_2 = \{e\}</math>, astfel că pentru orice <math> i,j \in \{1,2,\ldots,n\}</math> avem <math>a_ja_i = e</math>. În consecință, subgrupurile <math>H_1</math>, <math>H_2</math> și <math>H_3</math> pot avea câte două sau câte trei elemente. Dacă <math> |H_1| = |H_2| = |H_3| = 3 </math>, atunci <math>G = H_1 \cup H_2 \cup H_3</math> are șapte elemente, iar <math>| H_1 | </math> nu divide <math>. | G | </math>, contradicție. Așadar, <math>H_1 = \{e,a\}</math>, <math>H_2 = \{e,b\}</math>, <math>H_3 = \{e,c\}</math>, cu <math>a^2 = b^2 = c^2 = e</math>, deci grupul <math> G = \{e,a,b,c\}</math> este de tip Klein.</ins></div></td></tr>
</table>
Andrei.Horvat
https://wiki.universitas.ro/index.php?title=28206&diff=10499&oldid=prev
Andrei.Horvat at 10:44, 3 January 2025
2025-01-03T10:44:37Z
<p></p>
<table style="background-color: #fff; color: #202122;" data-mw="interface">
<col class="diff-marker" />
<col class="diff-content" />
<col class="diff-marker" />
<col class="diff-content" />
<tr class="diff-title" lang="en">
<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #202122; text-align: center;">← Older revision</td>
<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #202122; text-align: center;">Revision as of 10:44, 3 January 2025</td>
</tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="mw-diff-left-l17">Line 17:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">Line 17:</td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Arătăm, mai departe, că <math>H_1 \cap H_2 = H_2 \cap H_3 = H_1 \cap H_3 = \left\{e\right\}</math>.</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Arătăm, mai departe, că <math>H_1 \cap H_2 = H_2 \cap H_3 = H_1 \cap H_3 = \left\{e\right\}</math>.</div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br></td></tr>
<tr><td class="diff-marker" data-marker="−"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Presupunem că există <math>a \in H_1 \cap H_2 </math>, cu <math> a \ne e </math>. Dacă <math> H_1</math> are cel puțin trei elemente, alegem <math> x \in H_1 \setminus \left\{e,a\right\}</math>. Cum <math>xa^{-1} \in H_1^\ast</math> și <math>a \in H_2^\ast</math>, rezultă că <math>xa^{-1}a = x \in H_3</math>, deci <math>H_1 \setminus \left\{e,a\right\} \subset H_3</math>, așadar <math>H_1 \setminus \left\{a\right\} \subset H_3</math>. Subgrupul <math>\langle H_1 \setminus \{a\}\rangle</math> generat de <math>H_1 \setminus \{a\}</math> este un grup al lui <math>H_1</math>. Deoarece ordinul lui <math>\langle H_1 \setminus \{a\}\rangle</math> este cel puțin <math>2</math> și trebuie să dividă ordinul lui <math>H_1</math>, rezultă că <math>\langle H_1 \setminus \{a\}\rangle = H_1</math>. Cum <math>H_3</math> este subgrup al lui <math>G</math>, iar <math>H_1 \setminus \left\{a\right\} \subset H_3</math>, rezultă că și <math>\langle H_1 \setminus \{a\}\rangle = H_1</math> este inclus în <math>H_3</math>, deci <math>a\in H_1 \cap H_2 \cap H_3 = \left\{e\right\}</math>, fals. Așadar, <math>H_1</math> nu poate avea cel puțin trei elemente. Dacă <math>H_1 = \{e,a\}</math>, atunci <math>H_2</math> are cel puțin trei elemente, pentru că <math> H_2 \ne H_1 </math>, și, ca mai înainte, rezultă că <math> H_2 \subset H_3</math>, așadar <math>a\in H_1 \cap H_2 \cap H_3 = \left\{e\right\}</math>, fals. În consecință, <math>H_1 \cap H_2 = \{e\} </math>. La fel se arată că <math>H_2 \cap H_3 = H_1 \cap H_3 = \left\{e\right\}</math>. Fie <math>|H_1| = m</math>, <math>|H_2| = n</math>, <math>|H_3| = p</math>, cu <math>H_1 = \{a_1, a_2, \ldots, a_m\}</math>, <math>H_2 = \{b_1, b_2, \ldots, b_n\}</math> și <math>H_3 = \{c_1, c_2, \ldots, c_p\}</math>. Cum elementele distincte</div></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Presupunem că există <math>a \in H_1 \cap H_2 </math>, cu <math> a \ne e </math>. Dacă <math> H_1</math> are cel puțin trei elemente, alegem <math> x \in H_1 \setminus \left\{e,a\right\}</math>. Cum <math>xa^{-1} \in H_1^\ast</math> și <math>a \in H_2^\ast</math>, rezultă că <math>xa^{-1}a = x \in H_3</math>, deci <math>H_1 \setminus \left\{e,a\right\} \subset H_3</math>, așadar <math>H_1 \setminus \left\{a\right\} \subset H_3</math>. Subgrupul <math>\langle H_1 \setminus \{a\}\rangle</math> generat de <math>H_1 \setminus \{a\}</math> este un grup al lui <math>H_1</math>. Deoarece ordinul lui <math>\langle H_1 \setminus \{a\}\rangle</math> este cel puțin <math>2</math> și trebuie să dividă ordinul lui <math>H_1</math>, rezultă că <math>\langle H_1 \setminus \{a\}\rangle = H_1</math>. Cum <math>H_3</math> este subgrup al lui <math>G</math>, iar <math>H_1 \setminus \left\{a\right\} \subset H_3</math>, rezultă că și <math>\langle H_1 \setminus \{a\}\rangle = H_1</math> este inclus în <math>H_3</math>, deci <math>a\in H_1 \cap H_2 \cap H_3 = \left\{e\right\}</math>, fals. Așadar, <math>H_1</math> nu poate avea cel puțin trei elemente. Dacă <math>H_1 = \{e,a\}</math>, atunci <math>H_2</math> are cel puțin trei elemente, pentru că <math> H_2 \ne H_1 </math>, și, ca mai înainte, rezultă că <math> H_2 \subset H_3</math>, așadar <math>a\in H_1 \cap H_2 \cap H_3 = \left\{e\right\}</math>, fals. În consecință, <math>H_1 \cap H_2 = \{e\} </math>. La fel se arată că <math>H_2 \cap H_3 = H_1 \cap H_3 = \left\{e\right\}</math>. Fie <math>|H_1| = m</math>, <math>|H_2| = n</math>, <math>|H_3| = p</math>, cu <math>H_1 = \{a_1, a_2, \ldots, a_m\}</math>, <math>H_2 = \{b_1, b_2, \ldots, b_n\}</math> și <math>H_3 = \{c_1, c_2, \ldots, c_p\}</math>. Cum elementele distincte <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;"><math>a_1b_1, a_2b_1, \ldots, a_mb_1 </math> aparțin mulțimii <math>H_1^\ast</math>, rezultă că <math> p \le m </math>, deci <math> m = p </math>. Analog se arată că <math> m = n </math>, deci <math> m = n = p </math>. Așadar, <math> |H_1| = |H_2| = |H_3| = n+1 </math>.</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2" class="diff-side-deleted"></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div> </div></td></tr>
<tr><td colspan="2" class="diff-side-deleted"></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">b) Fie</ins></div></td></tr>
</table>
Andrei.Horvat
https://wiki.universitas.ro/index.php?title=28206&diff=10498&oldid=prev
Andrei.Horvat at 10:40, 3 January 2025
2025-01-03T10:40:33Z
<p></p>
<table style="background-color: #fff; color: #202122;" data-mw="interface">
<col class="diff-marker" />
<col class="diff-content" />
<col class="diff-marker" />
<col class="diff-content" />
<tr class="diff-title" lang="en">
<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #202122; text-align: center;">← Older revision</td>
<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #202122; text-align: center;">Revision as of 10:40, 3 January 2025</td>
</tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="mw-diff-left-l17">Line 17:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">Line 17:</td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Arătăm, mai departe, că <math>H_1 \cap H_2 = H_2 \cap H_3 = H_1 \cap H_3 = \left\{e\right\}</math>.</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Arătăm, mai departe, că <math>H_1 \cap H_2 = H_2 \cap H_3 = H_1 \cap H_3 = \left\{e\right\}</math>.</div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br></td></tr>
<tr><td class="diff-marker" data-marker="−"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Presupunem că există <math>a \in H_1 \cap H_2 </math>, cu <math> a \ne e </math>. Dacă <math> H_1</math> are cel puțin trei elemente, alegem <math> x \in H_1 \setminus \left\{e,a\right\}</math>. Cum <math>xa^{-1} \in H_1^\ast</math> și <math>a \in H_2^\ast</math>, rezultă că <math>xa^{-1}a = x \in H_3</math>, deci <math>H_1 \setminus \left\{e,a\right\} \subset H_3</math>, așadar <math>H_1 \setminus \left\{a\right\} \subset H_3</math>. Subgrupul <math>\langle H_1 \setminus \{a\}\rangle</math> generat de <math>H_1 \setminus \{a\}</math> este un grup al lui <math>H_1</math>. Deoarece ordinul lui <math>\langle H_1 \setminus \{a\}\rangle</math> este cel puțin <math>2</math> și trebuie să dividă ordinul lui <math>H_1</math>, rezultă că <math>\langle H_1 \setminus \{a\}\rangle = H_1</math>. Cum <math>H_3</math> este subgrup al lui <math>G</math>, iar <math>H_1 \setminus \left\{a\right\} \subset H_3</math>, rezultă că și <math>\langle H_1 \setminus \{a\}\rangle = H_1</math> este inclus în <math>H_3</math>, deci <math>a\in H_1 \cap H_2 \cap H_3 = \left\{e\right\}</math>, fals. Așadar, <math>H_1</math> nu poate avea cel puțin trei elemente. Dacă <math>H_1 = \{e,a\}</math>, atunci <math>H_2</math> are cel puțin trei elemente, pentru că <math> H_2 \ne H_1 </math>, și, ca mai înainte, rezultă că <math> H_2 \subset H_3</math>, așadar <math>a\in H_1 \cap H_2 \cap H_3 = \left\{e\right\}</math>, fals. În consecință, <math>H_1 \cap H_2 = \{e\} </math>. La fel se arată că <math>H_2 \cap H_3 = H_1 \cap H_3 = \left\{e\right\}</math>. Fie <math>|H_1| = m</math>, <math>|H_2| = n</math>, <math>|H_3| = p</math>, cu <math>H_1 = \{a_1, a_2, \ldots, a_m\}</math></div></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Presupunem că există <math>a \in H_1 \cap H_2 </math>, cu <math> a \ne e </math>. Dacă <math> H_1</math> are cel puțin trei elemente, alegem <math> x \in H_1 \setminus \left\{e,a\right\}</math>. Cum <math>xa^{-1} \in H_1^\ast</math> și <math>a \in H_2^\ast</math>, rezultă că <math>xa^{-1}a = x \in H_3</math>, deci <math>H_1 \setminus \left\{e,a\right\} \subset H_3</math>, așadar <math>H_1 \setminus \left\{a\right\} \subset H_3</math>. Subgrupul <math>\langle H_1 \setminus \{a\}\rangle</math> generat de <math>H_1 \setminus \{a\}</math> este un grup al lui <math>H_1</math>. Deoarece ordinul lui <math>\langle H_1 \setminus \{a\}\rangle</math> este cel puțin <math>2</math> și trebuie să dividă ordinul lui <math>H_1</math>, rezultă că <math>\langle H_1 \setminus \{a\}\rangle = H_1</math>. Cum <math>H_3</math> este subgrup al lui <math>G</math>, iar <math>H_1 \setminus \left\{a\right\} \subset H_3</math>, rezultă că și <math>\langle H_1 \setminus \{a\}\rangle = H_1</math> este inclus în <math>H_3</math>, deci <math>a\in H_1 \cap H_2 \cap H_3 = \left\{e\right\}</math>, fals. Așadar, <math>H_1</math> nu poate avea cel puțin trei elemente. Dacă <math>H_1 = \{e,a\}</math>, atunci <math>H_2</math> are cel puțin trei elemente, pentru că <math> H_2 \ne H_1 </math>, și, ca mai înainte, rezultă că <math> H_2 \subset H_3</math>, așadar <math>a\in H_1 \cap H_2 \cap H_3 = \left\{e\right\}</math>, fals. În consecință, <math>H_1 \cap H_2 = \{e\} </math>. La fel se arată că <math>H_2 \cap H_3 = H_1 \cap H_3 = \left\{e\right\}</math>. Fie <math>|H_1| = m</math>, <math>|H_2| = n</math>, <math>|H_3| = p</math>, cu <math>H_1 = \{a_1, a_2, \ldots, a_m\}</math><ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">, <math>H_2 = \{b_1, b_2, \ldots, b_n\}</math> și <math>H_3 = \{c_1, c_2, \ldots, c_p\}</math>. Cum elementele distincte</ins></div></td></tr>
</table>
Andrei.Horvat
https://wiki.universitas.ro/index.php?title=28206&diff=10497&oldid=prev
Andrei.Horvat at 10:37, 3 January 2025
2025-01-03T10:37:57Z
<p></p>
<table style="background-color: #fff; color: #202122;" data-mw="interface">
<col class="diff-marker" />
<col class="diff-content" />
<col class="diff-marker" />
<col class="diff-content" />
<tr class="diff-title" lang="en">
<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #202122; text-align: center;">← Older revision</td>
<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #202122; text-align: center;">Revision as of 10:37, 3 January 2025</td>
</tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="mw-diff-left-l17">Line 17:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">Line 17:</td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Arătăm, mai departe, că <math>H_1 \cap H_2 = H_2 \cap H_3 = H_1 \cap H_3 = \left\{e\right\}</math>.</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Arătăm, mai departe, că <math>H_1 \cap H_2 = H_2 \cap H_3 = H_1 \cap H_3 = \left\{e\right\}</math>.</div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br></td></tr>
<tr><td class="diff-marker" data-marker="−"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Presupunem că există <math>a \in H_1 \cap H_2 </math>, cu <math> a \ne e </math>. Dacă <math> H_1</math> are cel puțin trei elemente, alegem <math> x \in H_1 \setminus \left\{e,a\right\}</math>. Cum <math>xa^{-1} \in H_1^\ast</math> și <math>a \in H_2^\ast</math>, rezultă că <math>xa^{-1}a = x \in H_3</math>, deci <math>H_1 \setminus \left\{e,a\right\} \subset H_3</math>, așadar <math>H_1 \setminus \left\{a\right\} \subset H_3</math>. Subgrupul <math>\langle H_1 \setminus \{a\}\rangle</math> generat de <math>H_1 \setminus \{a\}</math> este un grup al lui <math>H_1</math>. Deoarece ordinul lui <math>\langle H_1 \setminus \{a\}\rangle</math> este cel puțin <math>2</math> și trebuie să dividă ordinul lui <math>H_1</math>, rezultă că <math>\langle H_1 \setminus \{a\}\rangle = H_1</math>. Cum <math>H_3</math> este subgrup al lui <math>G</math>, iar <math>H_1 \setminus \left\{a\right\} \subset H_3</math>, rezultă că și <math>\langle H_1 \setminus \{a\}\rangle = H_1</math> este inclus în <math>H_3</math>, deci <math>a\in H_1 \cap H_2 \cap H_3 = \left\{e\right\}</math>, fals. Așadar, <math>H_1</math> nu poate avea cel puțin trei elemente. Dacă <math>H_1 = \{e,a\}</math>, atunci <math>H_2</math> are cel puțin trei elemente, pentru că <math> H_2 \ne H_1 </math>, și, ca mai înainte, rezultă că <math> H_2 \subset H_3</math>, așadar</div></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Presupunem că există <math>a \in H_1 \cap H_2 </math>, cu <math> a \ne e </math>. Dacă <math> H_1</math> are cel puțin trei elemente, alegem <math> x \in H_1 \setminus \left\{e,a\right\}</math>. Cum <math>xa^{-1} \in H_1^\ast</math> și <math>a \in H_2^\ast</math>, rezultă că <math>xa^{-1}a = x \in H_3</math>, deci <math>H_1 \setminus \left\{e,a\right\} \subset H_3</math>, așadar <math>H_1 \setminus \left\{a\right\} \subset H_3</math>. Subgrupul <math>\langle H_1 \setminus \{a\}\rangle</math> generat de <math>H_1 \setminus \{a\}</math> este un grup al lui <math>H_1</math>. Deoarece ordinul lui <math>\langle H_1 \setminus \{a\}\rangle</math> este cel puțin <math>2</math> și trebuie să dividă ordinul lui <math>H_1</math>, rezultă că <math>\langle H_1 \setminus \{a\}\rangle = H_1</math>. Cum <math>H_3</math> este subgrup al lui <math>G</math>, iar <math>H_1 \setminus \left\{a\right\} \subset H_3</math>, rezultă că și <math>\langle H_1 \setminus \{a\}\rangle = H_1</math> este inclus în <math>H_3</math>, deci <math>a\in H_1 \cap H_2 \cap H_3 = \left\{e\right\}</math>, fals. Așadar, <math>H_1</math> nu poate avea cel puțin trei elemente. Dacă <math>H_1 = \{e,a\}</math>, atunci <math>H_2</math> are cel puțin trei elemente, pentru că <math> H_2 \ne H_1 </math>, și, ca mai înainte, rezultă că <math> H_2 \subset H_3</math>, așadar <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;"><math>a\in H_1 \cap H_2 \cap H_3 = \left\{e\right\}</math>, fals. În consecință, <math>H_1 \cap H_2 = \{e\} </math>. La fel se arată că <math>H_2 \cap H_3 = H_1 \cap H_3 = \left\{e\right\}</math>. Fie <math>|H_1| = m</math>, <math>|H_2| = n</math>, <math>|H_3| = p</math>, cu <math>H_1 = \{a_1, a_2, \ldots, a_m\}</math></ins></div></td></tr>
</table>
Andrei.Horvat
https://wiki.universitas.ro/index.php?title=28206&diff=10496&oldid=prev
Andrei.Horvat at 10:24, 3 January 2025
2025-01-03T10:24:46Z
<p></p>
<table style="background-color: #fff; color: #202122;" data-mw="interface">
<col class="diff-marker" />
<col class="diff-content" />
<col class="diff-marker" />
<col class="diff-content" />
<tr class="diff-title" lang="en">
<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #202122; text-align: center;">← Older revision</td>
<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #202122; text-align: center;">Revision as of 10:24, 3 January 2025</td>
</tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="mw-diff-left-l17">Line 17:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">Line 17:</td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Arătăm, mai departe, că <math>H_1 \cap H_2 = H_2 \cap H_3 = H_1 \cap H_3 = \left\{e\right\}</math>.</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Arătăm, mai departe, că <math>H_1 \cap H_2 = H_2 \cap H_3 = H_1 \cap H_3 = \left\{e\right\}</math>.</div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br></td></tr>
<tr><td class="diff-marker" data-marker="−"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Presupunem că există <math>a \in H_1 \cap H_2 </math>, cu <math> a \ne e </math>. Dacă <math> H_1</math> are cel puțin trei elemente, alegem <math> x \in H_1 \setminus \left\{e,a\right\}</math>. Cum <math>xa^{-1} \in H_1^\ast</math> și <math>a \in H_2^\ast</math>, rezultă că <math>xa^{-1}a = x \in H_3</math>, deci <math>H_1 \setminus \left\{e,a\right\} \subset H_3</math>, așadar <math>H_1 \setminus \left\{a\right\} \subset H_3</math>. Subgrupul <math>\langle H_1 \setminus \{a\}\rangle</math> generat de <math>H_1 \setminus \{a\}</math> este un grup al lui <math>H_1</math>. Deoarece ordinul lui <math>\langle H_1 \setminus \{a\}\rangle</math> este cel puțin <math>2</math> și trebuie să dividă ordinul lui <math>H_1</math>, rezultă că <math>\langle H_1 \setminus \{a\}\rangle = H_1</math>. Cum <math>H_3</math> este subgrup al lui <math>G</math>, iar <math>H_1 \setminus \left\{a\right\} \subset H_3</math>, rezultă că și <math>\langle H_1 \setminus \{a\}\rangle = H_1</math> este inclus în <math>H_3</math>, deci <math>a\in H_1 \cap H_2 \cap H_3 = \left\{e\right\}</math>, fals. Așadar, <math>H_1</math> nu poate avea cel puțin trei elemente. Dacă <math>H_1 = \{e,a\}</math>, atunci <math>H_2</math> are cel puțin trei elemente, pentru că</div></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Presupunem că există <math>a \in H_1 \cap H_2 </math>, cu <math> a \ne e </math>. Dacă <math> H_1</math> are cel puțin trei elemente, alegem <math> x \in H_1 \setminus \left\{e,a\right\}</math>. Cum <math>xa^{-1} \in H_1^\ast</math> și <math>a \in H_2^\ast</math>, rezultă că <math>xa^{-1}a = x \in H_3</math>, deci <math>H_1 \setminus \left\{e,a\right\} \subset H_3</math>, așadar <math>H_1 \setminus \left\{a\right\} \subset H_3</math>. Subgrupul <math>\langle H_1 \setminus \{a\}\rangle</math> generat de <math>H_1 \setminus \{a\}</math> este un grup al lui <math>H_1</math>. Deoarece ordinul lui <math>\langle H_1 \setminus \{a\}\rangle</math> este cel puțin <math>2</math> și trebuie să dividă ordinul lui <math>H_1</math>, rezultă că <math>\langle H_1 \setminus \{a\}\rangle = H_1</math>. Cum <math>H_3</math> este subgrup al lui <math>G</math>, iar <math>H_1 \setminus \left\{a\right\} \subset H_3</math>, rezultă că și <math>\langle H_1 \setminus \{a\}\rangle = H_1</math> este inclus în <math>H_3</math>, deci <math>a\in H_1 \cap H_2 \cap H_3 = \left\{e\right\}</math>, fals. Așadar, <math>H_1</math> nu poate avea cel puțin trei elemente. Dacă <math>H_1 = \{e,a\}</math>, atunci <math>H_2</math> are cel puțin trei elemente, pentru că <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;"><math> H_2 \ne H_1 </math>, și, ca mai înainte, rezultă că <math> H_2 \subset H_3</math>, așadar</ins></div></td></tr>
</table>
Andrei.Horvat
https://wiki.universitas.ro/index.php?title=28206&diff=10495&oldid=prev
Andrei.Horvat at 10:21, 3 January 2025
2025-01-03T10:21:51Z
<p></p>
<table style="background-color: #fff; color: #202122;" data-mw="interface">
<col class="diff-marker" />
<col class="diff-content" />
<col class="diff-marker" />
<col class="diff-content" />
<tr class="diff-title" lang="en">
<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #202122; text-align: center;">← Older revision</td>
<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #202122; text-align: center;">Revision as of 10:21, 3 January 2025</td>
</tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="mw-diff-left-l17">Line 17:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">Line 17:</td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Arătăm, mai departe, că <math>H_1 \cap H_2 = H_2 \cap H_3 = H_1 \cap H_3 = \left\{e\right\}</math>.</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Arătăm, mai departe, că <math>H_1 \cap H_2 = H_2 \cap H_3 = H_1 \cap H_3 = \left\{e\right\}</math>.</div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br></td></tr>
<tr><td class="diff-marker" data-marker="−"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Presupunem că există <math>a \in H_1 \cap H_2 </math>, cu <math> a \ne e </math>. Dacă <math> H_1</math> are cel puțin trei elemente, alegem <math> x \in H_1 \setminus \left\{e,a\right\}</math>. Cum <math>xa^{-1} \in H_1^\ast</math> și <math>a \in H_2^\ast</math>, rezultă că <math>xa^{-1}a = x \in H_3</math>, deci <math>H_1 \setminus \left\{e,a\right\} \subset H_3</math>, așadar <math>H_1 \setminus \left\{a\right\} \subset H_3</math>. Subgrupul <math>\langle H_1 \setminus \{a\}\rangle</math> generat de <math>H_1 \setminus \{a\}</math> este un grup al lui <math>H_1</math>. Deoarece ordinul lui <math>\langle H_1 \setminus \{a\}\rangle</math> este cel puțin <math>2</math> și trebuie să dividă ordinul lui <math>H_1</math>, rezultă că <math>\langle H_1 \setminus \{a\}\rangle = H_1</math>. Cum <math>H_3</math> este subgrup al lui <math>G</math>, iar <math>H_1 \setminus \left\{a\right\} \subset H_3</math>, rezultă că și <math>\langle H_1 \setminus \{a\}\rangle = H_1</math> este inclus în <math>H_3</math>, deci <math>a\in H_1 \cap H_2 \cap H_3 = \left\{e\right\}</math></div></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Presupunem că există <math>a \in H_1 \cap H_2 </math>, cu <math> a \ne e </math>. Dacă <math> H_1</math> are cel puțin trei elemente, alegem <math> x \in H_1 \setminus \left\{e,a\right\}</math>. Cum <math>xa^{-1} \in H_1^\ast</math> și <math>a \in H_2^\ast</math>, rezultă că <math>xa^{-1}a = x \in H_3</math>, deci <math>H_1 \setminus \left\{e,a\right\} \subset H_3</math>, așadar <math>H_1 \setminus \left\{a\right\} \subset H_3</math>. Subgrupul <math>\langle H_1 \setminus \{a\}\rangle</math> generat de <math>H_1 \setminus \{a\}</math> este un grup al lui <math>H_1</math>. Deoarece ordinul lui <math>\langle H_1 \setminus \{a\}\rangle</math> este cel puțin <math>2</math> și trebuie să dividă ordinul lui <math>H_1</math>, rezultă că <math>\langle H_1 \setminus \{a\}\rangle = H_1</math>. Cum <math>H_3</math> este subgrup al lui <math>G</math>, iar <math>H_1 \setminus \left\{a\right\} \subset H_3</math>, rezultă că și <math>\langle H_1 \setminus \{a\}\rangle = H_1</math> este inclus în <math>H_3</math>, deci <math>a\in H_1 \cap H_2 \cap H_3 = \left\{e\right\}</math><ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">, fals. Așadar, <math>H_1</math> nu poate avea cel puțin trei elemente. Dacă <math>H_1 = \{e,a\}</math>, atunci <math>H_2</math> are cel puțin trei elemente, pentru că</ins></div></td></tr>
</table>
Andrei.Horvat
https://wiki.universitas.ro/index.php?title=28206&diff=10494&oldid=prev
Andrei.Horvat at 10:19, 3 January 2025
2025-01-03T10:19:24Z
<p></p>
<table style="background-color: #fff; color: #202122;" data-mw="interface">
<col class="diff-marker" />
<col class="diff-content" />
<col class="diff-marker" />
<col class="diff-content" />
<tr class="diff-title" lang="en">
<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #202122; text-align: center;">← Older revision</td>
<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #202122; text-align: center;">Revision as of 10:19, 3 January 2025</td>
</tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="mw-diff-left-l17">Line 17:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">Line 17:</td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Arătăm, mai departe, că <math>H_1 \cap H_2 = H_2 \cap H_3 = H_1 \cap H_3 = \left\{e\right\}</math>.</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Arătăm, mai departe, că <math>H_1 \cap H_2 = H_2 \cap H_3 = H_1 \cap H_3 = \left\{e\right\}</math>.</div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br></td></tr>
<tr><td class="diff-marker" data-marker="−"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Presupunem că există <math>a \in H_1 \cap H_2 </math>, cu <math> a \ne e </math>. Dacă <math> H_1</math> are cel puțin trei elemente, alegem <math> x \in H_1 \setminus \left\{e,a\right\}</math>. Cum <math>xa^{-1} \in H_1^\ast</math> și <math>a \in H_2^\ast</math>, rezultă că <math>xa^{-1}a = x \in H_3</math>, deci <math>H_1 \setminus \left\{e,a\right\} \subset H_3</math>, așadar <math>H_1 \setminus \left\{a\right\} \subset H_3</math>. Subgrupul</div></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Presupunem că există <math>a \in H_1 \cap H_2 </math>, cu <math> a \ne e </math>. Dacă <math> H_1</math> are cel puțin trei elemente, alegem <math> x \in H_1 \setminus \left\{e,a\right\}</math>. Cum <math>xa^{-1} \in H_1^\ast</math> și <math>a \in H_2^\ast</math>, rezultă că <math>xa^{-1}a = x \in H_3</math>, deci <math>H_1 \setminus \left\{e,a\right\} \subset H_3</math>, așadar <math>H_1 \setminus \left\{a\right\} \subset H_3</math>. Subgrupul <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;"><math>\langle H_1 \setminus \{a\}\rangle</math> generat de <math>H_1 \setminus \{a\}</math> este un grup al lui <math>H_1</math>. Deoarece ordinul lui <math>\langle H_1 \setminus \{a\}\rangle</math> este cel puțin <math>2</math> și trebuie să dividă ordinul lui <math>H_1</math>, rezultă că <math>\langle H_1 \setminus \{a\}\rangle = H_1</math>. Cum <math>H_3</math> este subgrup al lui <math>G</math>, iar <math>H_1 \setminus \left\{a\right\} \subset H_3</math>, rezultă că și <math>\langle H_1 \setminus \{a\}\rangle = H_1</math> este inclus în <math>H_3</math>, deci <math>a\in H_1 \cap H_2 \cap H_3 = \left\{e\right\}</math></ins></div></td></tr>
</table>
Andrei.Horvat
https://wiki.universitas.ro/index.php?title=28206&diff=10493&oldid=prev
Andrei.Horvat at 10:13, 3 January 2025
2025-01-03T10:13:29Z
<p></p>
<table style="background-color: #fff; color: #202122;" data-mw="interface">
<col class="diff-marker" />
<col class="diff-content" />
<col class="diff-marker" />
<col class="diff-content" />
<tr class="diff-title" lang="en">
<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #202122; text-align: center;">← Older revision</td>
<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #202122; text-align: center;">Revision as of 10:13, 3 January 2025</td>
</tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="mw-diff-left-l17">Line 17:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">Line 17:</td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Arătăm, mai departe, că <math>H_1 \cap H_2 = H_2 \cap H_3 = H_1 \cap H_3 = \left\{e\right\}</math>.</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Arătăm, mai departe, că <math>H_1 \cap H_2 = H_2 \cap H_3 = H_1 \cap H_3 = \left\{e\right\}</math>.</div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br></td></tr>
<tr><td class="diff-marker" data-marker="−"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Presupunem că există <math>a \in H_1 \cap H_2 </math>, cu <math> a \ne e </math>. Dacă <math> H_1</math> are cel puțin trei elemente, alegem</div></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Presupunem că există <math>a \in H_1 \cap H_2 </math>, cu <math> a \ne e </math>. Dacă <math> H_1</math> are cel puțin trei elemente, alegem <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;"><math> x \in H_1 \setminus \left\{e,a\right\}</math>. Cum <math>xa^{-1} \in H_1^\ast</math> și <math>a \in H_2^\ast</math>, rezultă că <math>xa^{-1}a = x \in H_3</math>, deci <math>H_1 \setminus \left\{e,a\right\} \subset H_3</math>, așadar <math>H_1 \setminus \left\{a\right\} \subset H_3</math>. Subgrupul</ins></div></td></tr>
</table>
Andrei.Horvat