28203 - Revision history

Andrei.Horvat at 07:35, 18 December 2023

2023-12-18T07:35:56Z

← Older revision		Revision as of 07:35, 18 December 2023
Line 5:		Line 5:
	<math>\mathcal{P}: f(f(x)-e^x)=e^{f(x)-e^x} + x</math>, pentru orice <math>x\in \mathbb{R}.</math>		<math>\mathcal{P}: f(f(x)-e^x)=e^{f(x)-e^x} + x</math>, pentru orice <math>x\in \mathbb{R}.</math>

	<ol type="a"><li> Dați exemplu de funcție cu proprietatea <math> \mathcal{P}</math> care nu este monotonă. </li>		<ol type="a"><li> Dați un exemplu de funcție cu proprietatea <math> \mathcal{P}</math> care nu este monotonă. </li>
	<li> Dați exemplu de funcție cu proprietatea <math> \mathcal{P}</math> care nu este continuă.</li>		<li> Dați un exemplu de funcție cu proprietatea <math> \mathcal{P}</math> care nu este continuă.</li>

	<li> Fie f o funcție care admite primitive și are proprietatea <math> \mathcal{P}</math> . Arătați că, dacă <math>f(x)\ge e^x</math>, pentru orice <math>x\ge 0</math>, atunci <math>f</math> este surjectivă.</li></ol>''		<li> Fie <math>f</math> o funcție care admite primitive și are proprietatea <math> \mathcal{P}</math> . Arătați că, dacă <math>f(x)\ge e^x</math>, pentru orice <math>x\ge 0</math>, atunci <math>f</math> este surjectivă.</li></ol>''

	'''Soluție:'''		'''Soluție:'''

	Considerând funcția <math>g: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, g(x) = f(x) - e^x </math>, relația din enunț are forma echivalentă <math>g(g(x)) = x</math>, pentru orice <math>x\in \mathbb{R}, (1).</math>		Considerând funcția <math>g: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, g(x) = f(x) - e^x </math>, relația din enunț are forma echivalentă <math>g(g(x)) = x</math>, pentru orice <math>x\in \mathbb{R}, (1).</math>

	a) Alegem <math>g(x)=-x</math> care verifică <math>(1)</math>, și obținem <math>f(x)=e^x-x</math>, care nu este monotonă,, întrucât <math>f'(x)=e^x-1</math> își schimbă semnul pe <math> \mathbb{R}</math>.		a) Alegem <math>g(x)=-x</math> care verifică <math>(1)</math>, și obținem <math>f(x)=e^x-x</math>, care nu este monotonă, întrucât <math>f'(x)=e^x-1</math> își schimbă semnul pe <math> \mathbb{R}</math>.

	b) Alegem <math> g(x) = \begin{cases} x, & x\in \mathbb{Q} \\-x, & x\in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \end{cases} </math>, care verifică <math>(1)</math> și obținem		b) Alegem <math> g(x) = \begin{cases} x, & x\in \mathbb{Q} \\-x, & x\in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \end{cases} </math>, care verifică <math>(1)</math> și obținem
Line 21:		Line 22:
	c) Pe baza ipotezelor asupra funcției <math>f</math>, rezultă că <math>g(x)\ge 0</math>, pentru orice <math>x\ge 0</math>, iar <math>g</math> admite primitive, deci are proprietatea lui Darboux. Combinând această proprietate cu injectivitatea funcției <math>g</math>, obținută din <math>(1)</math>, rezultă că <math>g</math> este strict monotonă și continuă.		c) Pe baza ipotezelor asupra funcției <math>f</math>, rezultă că <math>g(x)\ge 0</math>, pentru orice <math>x\ge 0</math>, iar <math>g</math> admite primitive, deci are proprietatea lui Darboux. Combinând această proprietate cu injectivitatea funcției <math>g</math>, obținută din <math>(1)</math>, rezultă că <math>g</math> este strict monotonă și continuă.

	În cazul în care <math>g</math> ar fi strict descrescătoare, pe baza surjectivității funcției <math>g</math>, ce se obține din <math>(1)</math>, am avea că <math>\lim_{x \to \infty}g(x) =-\infty </math>, ceea ce contrazice că <math>g(x)\ge 0</math> pentru orice <math>x\ge 0</math>. Prin urmare, <math>g</math> este strict crescătoare, <math>\lim_{x \to -\infty}g(x) =-\infty </math>, <math>\lim_{x \to \infty}g(x) =\infty </math>, ceea ce conduce la <math>\lim_{x \to -\infty}f(x) =-\infty </math>, <math>\lim_{x \to \infty}f(x) =\infty </math>, iar surjectivitatea funcției <math>f</math> este o consecință a proprietății lui Darboux, în particular a continuității.		În cazul în care <math>g</math> ar fi strict descrescătoare, pe baza surjectivității funcției <math>g</math>, ce se obține din <math>(1)</math>, am avea că <math>\lim_{x \to \infty}g(x) =-\infty </math>, ceea ce contrazice că <math>g(x)\ge 0</math> pentru orice <math>x\ge 0.</math> Prin urmare, <math>g</math> este strict crescătoare, <math>\lim_{x \to -\infty}g(x) =-\infty </math>, <math>\lim_{x \to \infty}g(x) =\infty </math>, ceea ce conduce la <math>\lim_{x \to -\infty}f(x) =-\infty </math>, <math>\lim_{x \to \infty}f(x) =\infty </math>, iar surjectivitatea funcției <math>f</math> este o consecință a proprietății lui Darboux, în particular a continuității.

Tamas Claudia at 12:11, 17 December 2023

2023-12-17T12:11:09Z

← Older revision		Revision as of 12:11, 17 December 2023
Line 13:		Line 13:
	Considerând funcția <math>g: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, g(x) = f(x) - e^x </math>, relația din enunț are forma echivalentă <math>g(g(x)) = x</math>, pentru orice <math>x\in \mathbb{R}, (1).</math>		Considerând funcția <math>g: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, g(x) = f(x) - e^x </math>, relația din enunț are forma echivalentă <math>g(g(x)) = x</math>, pentru orice <math>x\in \mathbb{R}, (1).</math>

	a) Alegem <math>g(x)=-x</math> care verifică (1), și obținem <math>f(x)=e^x-x</math>, care nu este monotonă,, întrucât <math>f'(x)=e^x-1</math> își schimbă semnul pe <math> \mathbb{R}</math>.		a) Alegem <math>g(x)=-x</math> care verifică <math>(1)</math>, și obținem <math>f(x)=e^x-x</math>, care nu este monotonă,, întrucât <math>f'(x)=e^x-1</math> își schimbă semnul pe <math> \mathbb{R}</math>.

	b) Alegem <math> g(x) = \begin{cases} x, & x\in \mathbb{Q} \\-x, & x\in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \end{cases} </math>, care verifică (1) și obținem		b) Alegem <math> g(x) = \begin{cases} x, & x\in \mathbb{Q} \\-x, & x\in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \end{cases} </math>, care verifică <math>(1)</math> și obținem

	<math>f(x)= e^x + g(x) = \begin{cases} e^x, & x\in \mathbb{Q} \\e^x-x, & x\in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \end{cases} </math>. Deoarece <math>f</math> este suma dintre o funcție continuă și alta discontinuă (în orice punct din <math>\mathbb{R}\ast</math> ), rezultă că <math>f</math> este discontinuă.		<math>f(x)= e^x + g(x) = \begin{cases} e^x, & x\in \mathbb{Q} \\e^x-x, & x\in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \end{cases} </math>. Deoarece <math>f</math> este suma dintre o funcție continuă și alta discontinuă (în orice punct din <math>\mathbb{R}^\ast</math> ), rezultă că <math>f</math> este discontinuă.

			c) Pe baza ipotezelor asupra funcției <math>f</math>, rezultă că <math>g(x)\ge 0</math>, pentru orice <math>x\ge 0</math>, iar <math>g</math> admite primitive, deci are proprietatea lui Darboux. Combinând această proprietate cu injectivitatea funcției <math>g</math>, obținută din <math>(1)</math>, rezultă că <math>g</math> este strict monotonă și continuă.

			În cazul în care <math>g</math> ar fi strict descrescătoare, pe baza surjectivității funcției <math>g</math>, ce se obține din <math>(1)</math>, am avea că <math>\lim_{x \to \infty}g(x) =-\infty </math>, ceea ce contrazice că <math>g(x)\ge 0</math> pentru orice <math>x\ge 0</math>. Prin urmare, <math>g</math> este strict crescătoare, <math>\lim_{x \to -\infty}g(x) =-\infty </math>, <math>\lim_{x \to \infty}g(x) =\infty </math>, ceea ce conduce la <math>\lim_{x \to -\infty}f(x) =-\infty </math>, <math>\lim_{x \to \infty}f(x) =\infty </math>, iar surjectivitatea funcției <math>f</math> este o consecință a proprietății lui Darboux, în particular a continuității.

Tamas Claudia at 11:59, 17 December 2023

2023-12-17T11:59:05Z

← Older revision		Revision as of 11:59, 17 December 2023
Line 1:		Line 1:
	'''28203 (Dana Heuberger, Baia Mare)'''		'''28203 (Dana Heuberger, Baia Mare)'''

	''Fie'' <math>		''Fie <math> f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} </math> o funcție cu proprietatea
	</math>''

	~~''a) Dați exemplu de funcție cu proprietatea~~ <math> P</math> ~~care nu este monotonă~~.''		<math>\mathcal{P}: f(f(x)-e^x)=e^{f(x)-e^x} + x</math>, pentru orice <math>x\in \mathbb{R}.</math>

	~~''b)~~ Dați exemplu de funcție cu proprietatea <math> P</math> care nu este continuă.''		<ol type="a"><li> Dați exemplu de funcție cu proprietatea <math> \mathcal{P}</math> care nu este monotonă. </li>
			<li> Dați exemplu de funcție cu proprietatea <math> \mathcal{P}</math> care nu este continuă.</li>

	~~''c)~~ Fie f o funcție care admite primitive și are proprietatea <math> P</math> . Arătați că, dacă f(x)''		<li> Fie f o funcție care admite primitive și are proprietatea <math> \mathcal{P}</math> . Arătați că, dacă <math>f(x)\ge e^x</math>, pentru orice <math>x\ge 0</math>, atunci <math>f</math> este surjectivă.</li></ol>''

	'''Soluție:'''		'''Soluție:'''
			Considerând funcția <math>g: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, g(x) = f(x) - e^x </math>, relația din enunț are forma echivalentă <math>g(g(x)) = x</math>, pentru orice <math>x\in \mathbb{R}, (1).</math>

			a) Alegem <math>g(x)=-x</math> care verifică (1), și obținem <math>f(x)=e^x-x</math>, care nu este monotonă,, întrucât <math>f'(x)=e^x-1</math> își schimbă semnul pe <math> \mathbb{R}</math>.

			b) Alegem <math> g(x) = \begin{cases} x, & x\in \mathbb{Q} \\-x, & x\in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \end{cases} </math>, care verifică (1) și obținem

			<math>f(x)= e^x + g(x) = \begin{cases} e^x, & x\in \mathbb{Q} \\e^x-x, & x\in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \end{cases} </math>. Deoarece <math>f</math> este suma dintre o funcție continuă și alta discontinuă (în orice punct din <math>\mathbb{R}\ast</math> ), rezultă că <math>f</math> este discontinuă.

Tamas Claudia at 11:17, 17 December 2023

2023-12-17T11:17:21Z

← Older revision		Revision as of 11:17, 17 December 2023
Line 4:		Line 4:
	</math>''		</math>''

	''a) Dați exemplu de funcție cu proprietatea P care nu este monotonă.''		''a) Dați exemplu de funcție cu proprietatea <math> P</math> care nu este monotonă.''

	''b) Dați exemplu de funcție cu proprietatea P care nu este continuă.''		''b) Dați exemplu de funcție cu proprietatea <math> P</math> care nu este continuă.''

	''c) Fie f o funcție care admite primitive și are proprietatea P. Arătați că, dacă f(x)''		''c) Fie f o funcție care admite primitive și are proprietatea <math> P</math> . Arătați că, dacă f(x)''

	'''Soluție:'''		'''Soluție:'''

Tamas Claudia at 06:44, 15 December 2023

2023-12-15T06:44:25Z

← Older revision		Revision as of 06:44, 15 December 2023
Line 5:		Line 5:

	''a) Dați exemplu de funcție cu proprietatea P care nu este monotonă.''		''a) Dați exemplu de funcție cu proprietatea P care nu este monotonă.''

	''b) Dați exemplu de funcție cu proprietatea P care nu este continuă.''		''b) Dați exemplu de funcție cu proprietatea P care nu este continuă.''

	''c) Fie f o funcție care admite primitive și are proprietatea P. Arătați că, dacă f(x)''		''c) Fie f o funcție care admite primitive și are proprietatea P. Arătați că, dacă f(x)''

	'''Soluție:'''		'''Soluție:'''

Tamas Claudia at 06:44, 15 December 2023

2023-12-15T06:44:10Z

← Older revision		Revision as of 06:44, 15 December 2023
Line 4:		Line 4:
	</math>''		</math>''

	a) Dați exemplu de funcție cu proprietatea P care nu este monotonă.		''a) Dați exemplu de funcție cu proprietatea P care nu este monotonă.''
	b) Dați exemplu de funcție cu proprietatea P care nu este continuă.		''b) Dați exemplu de funcție cu proprietatea P care nu este continuă.''
	c) Fie f o funcție care admite primitive și are proprietatea P. Arătați că, dacă f(x)		''c) Fie f o funcție care admite primitive și are proprietatea P. Arătați că, dacă f(x)''

	'''Soluție:'''		'''Soluție:'''

Tamas Claudia: Pagină nouă: '''28203 (Dana Heuberger, Baia Mare)''' ''Fie'' '' a) Dați exemplu de funcție cu proprietatea P care nu este monotonă. b) Dați exemplu de funcție cu proprietatea P care nu este continuă. c) Fie f o funcție care admite primitive și are proprietatea P. Arătați că, dacă f(x) '''Soluție:'''

2023-12-15T06:43:00Z

Pagină nouă: '''28203 (Dana Heuberger, Baia Mare)''' ''Fie'' <math> </math>'' a) Dați exemplu de funcție cu proprietatea P care nu este monotonă. b) Dați exemplu de funcție cu proprietatea P care nu este continuă. c) Fie f o funcție care admite primitive și are proprietatea P. Arătați că, dacă f(x) '''Soluție:'''

New page

'''28203 (Dana Heuberger, Baia Mare)'''

''Fie'' <math>
</math>''

a) Dați exemplu de funcție cu proprietatea P care nu este monotonă.
b) Dați exemplu de funcție cu proprietatea P care nu este continuă.
c) Fie f o funcție care admite primitive și are proprietatea P. Arătați că, dacă f(x)

'''Soluție:'''