27795 - Revision history

Andrei.Horvat at 10:13, 16 January 2024

2024-01-16T10:13:32Z

← Older revision		Revision as of 10:13, 16 January 2024
Line 1:		Line 1:
	'''S:27795 (Adrian Boroica și Florin Bojor)'''		'''27795 (Adrian Boroica și Florin Bojor)'''

	''Fie'' <math>n</math> ''un număr natural care nu este multiplu de <math>4</math> și <math>G</math> un grup necomutativ de ordin <math>n</math>. Să se demonstreze că există două automorfisme ale lui <math>G</math> care au aceleași puncte fixe.''		''Fie'' <math>n</math> ''un număr natural care nu este multiplu de <math>4</math> și <math>G</math> un grup necomutativ de ordin <math>n</math>. Să se demonstreze că există două automorfisme ale lui <math>G</math> care au aceleași puncte fixe.''
Line 5:		Line 5:
	'''Soluție:'''		'''Soluție:'''

	''~~Pentru orice~~ <math>a \in G</math>, funcția'' '''<math>f_a : G \rightarrow G, f_a(x) = axa^{-1} </math>'''este un automorfism. Un element '''<math>x_0 \in G</math>''' este punct fix al automorfismului <math>f_a</math> dacă și numai dacă '''<math>f_a(x_0)</math>''', echivalent cu '''<math>x_0a = ax_0</math>''' sau, cu alte cuvinte, cu '''<math>x_0 \in C(a)</math>''' (centralizatorul lui a).		Pentru orice ''<math>a \in G</math>'', funcția '''<math>f_a : G \rightarrow G, f_a(x) = axa^{-1} </math>'''este un automorfism. Un element '''<math>x_0 \in G</math>''' este punct fix al automorfismului <math>f_a</math> dacă și numai dacă '''<math>f_a(x_0)</math>''', echivalent cu '''<math>x_0a = ax_0</math>''' sau, cu alte cuvinte, cu '''<math>x_0 \in C(a)</math>''' (centralizatorul lui a).

	În particular, deoarece <math>C(a) = C(a^{-1})</math>, pentru orice <math>a \in G</math>, automorfismele <math>f_a		În particular, deoarece <math>C(a) = C(a^{-1})</math>, pentru orice <math>a \in G</math>, automorfismele <math>f_a
	</math> și au aceleași puncte fixe, deci este suficient să arătăm că există <math>a \in G</math> astfe încât <math>f_a \~~neq~~ f_{a^{-1}}</math>.		</math> și <math>f_{a^{-1}}
			</math> au aceleași puncte fixe, deci este suficient să arătăm că există <math>a \in G</math> astfe încât <math>f_a \ne f_{a^{-1}}</math>.

	Dacă <math>f_a ~~\neq~~ f_{a^{-1}}</math>, atunci, pentru orice <math>x \in G</math> avem <math>axa^{-1} = a^{-1}xa</math>, adică <math>a^2x = xa^2</math>, ceea ce revine la <math>a^2 \in Z(G)</math>. Cum <math>a^2 \in Z(G)</math> pentru orice <math>a \in Z(G)</math>, iar <math>Z(G) \neq G</math>, vom demonstra că există <math>a \in G \backslash Z(G)</math> astfel încât <math>a^2 \notin Z(G)</math>. Să observăm că dacă ordinul <math>p</math> al unui element <math>a \in G \backslash Z(G)</math> este număr impar, atunci <math>a^2 \neq Z(G)</math>, deoarece, presupunând contrariul, din <math>a^2 \in Z(G)</math> și <math>a^p = e \in Z(G)</math>, ar rezulta că <math>a^{(2, p)} \in Z(G)</math>, adică <math>a \in Z(G)</math>, contradicție. Așadar, este suficient să arătăm că <math>G \backslash Z(G)</math> conține cel puțin un element de ordin impar.		Dacă <math>f_a = f_{a^{-1}}</math>, atunci, pentru orice <math>x \in G</math> avem <math>axa^{-1} = a^{-1}xa</math>, adică <math>a^2x = xa^2</math>, ceea ce revine la <math>a^2 \in Z(G)</math>. Cum <math>a^2 \in Z(G)</math> pentru orice <math>a \in Z(G)</math>, iar <math>Z(G) \neq G</math>, vom demonstra că există <math>a \in G \backslash Z(G)</math> astfel încât <math>a^2 \notin Z(G)</math>. Să observăm că dacă ordinul <math>p</math> al unui element <math>a \in G \backslash Z(G)</math> este număr impar, atunci <math>a^2 \neq Z(G)</math>, deoarece, presupunând contrariul, din <math>a^2 \in Z(G)</math> și <math>a^p = e \in Z(G)</math>, ar rezulta că <math>a^{(2, p)} \in Z(G)</math>, adică <math>a \in Z(G)</math>, contradicție. Așadar, este suficient să arătăm că <math>G \backslash Z(G)</math> conține cel puțin un element de ordin impar.

	Dacă <math>\|G\|</math> este număr impar, atunci orice element din <math>G</math>, implicit și din <math>G \backslash Z(G)</math>, are ordin impar. Dacă <math>\|G\|</math> este număr par, atunci<math>\|G\| =4n +2</math>, cu <math>n \in \N^*</math>. Notând <math>A = \{x \in G \| x^{2n+1} = e\}</math>, se știe că <math>\|A\| = 2n +1</math>. Elementele lui A au ordin impar și, cum <math>G</math> este necomutativ, avem <math>\|Z(G)\| \leq \frac{1}{4} \|G\| < \|A\|</math>, deci eistă elemente de ordin impar care nu aparțin lui <math>Z(G)</math>.		Dacă <math>\|G\|</math> este număr impar, atunci orice element din <math>G</math>, implicit și din <math>G \backslash Z(G)</math>, are ordin impar. Dacă <math>\|G\|</math> este număr par, atunci<math>\|G\| =4n +2</math>, cu <math>n \in \N^*</math>. Notând <math>A = \{x \in G \| x^{2n+1} = e\}</math>, se știe că <math>\|A\| = 2n +1</math>. Elementele lui A au ordin impar și, cum <math>G</math> este necomutativ, avem <math>\|Z(G)\| \leq \frac{1}{4} \|G\| < \|A\|</math>, deci eistă elemente de ordin impar care nu aparțin lui <math>Z(G)</math>.

Andrei.Horvat at 10:06, 16 January 2024

2024-01-16T10:06:35Z

← Older revision		Revision as of 10:06, 16 January 2024
Line 1:		Line 1:
	'''S:27795 (Adrian Boroica și Florin Bojor)'''		'''S:27795 (Adrian Boroica și Florin Bojor)'''

	''Fie n un număr natural care nu este multiplu de 4 și G un grup necomutativ de ordin n. Să se demonstreze că există două automorfisme ale lui G care au aceleași puncte fixe.''		''Fie'' <math>n</math> ''un număr natural care nu este multiplu de <math>4</math> și <math>G</math> un grup necomutativ de ordin <math>n</math>. Să se demonstreze că există două automorfisme ale lui <math>G</math> care au aceleași puncte fixe.''

	'''Soluție:'''		'''Soluție:'''

	''Pentru orice ~~'''~~a Є G~~'''~~, funcția'' '''<math>f_a : G \rightarrow G, f_a(x) = axa^{-1} </math>'''este un automorfism. Un element '''<math>x_0 \in G</math>''' este punct fix al automorfismului <math>f_a</math> dacă și numai dacă '''<math>f_a(x_0)</math>''', echivalent cu '''<math>x_0a = ax_0</math>''' sau, cu alte cuvinte, cu '''<math>x_0 \in C(a)</math>''' (centralizatorul lui a).		''Pentru orice <math>a \in G</math>, funcția'' '''<math>f_a : G \rightarrow G, f_a(x) = axa^{-1} </math>'''este un automorfism. Un element '''<math>x_0 \in G</math>''' este punct fix al automorfismului <math>f_a</math> dacă și numai dacă '''<math>f_a(x_0)</math>''', echivalent cu '''<math>x_0a = ax_0</math>''' sau, cu alte cuvinte, cu '''<math>x_0 \in C(a)</math>''' (centralizatorul lui a).

	În particular, deoarece <math>C(a) = C(a^{-1})</math>, pentru orice <math>a \in G</math>, automorfismele <math>f_a		În particular, deoarece <math>C(a) = C(a^{-1})</math>, pentru orice <math>a \in G</math>, automorfismele <math>f_a

Natanael Balogh: Pagină nouă: '''S:27795 (Adrian Boroica și Florin Bojor)''' ''Fie n un număr natural care nu este multiplu de 4 și G un grup necomutativ de ordin n. Să se demonstreze că există două automorfisme ale lui G care au aceleași puncte fixe.'' '''Soluție:''' ''Pentru orice '''a Є G''', funcția'' ''' $f_a : G \rightarrow G, f_a(x) = axa^{-1}$ '''este un automorfism. Un element ''' $x_0 \in G$ ''' este punct fix al automorfismului $f_a$ dacă și numai d...

2024-01-16T09:32:54Z

Pagină nouă: '''S:27795 (Adrian Boroica și Florin Bojor)''' ''Fie n un număr natural care nu este multiplu de 4 și G un grup necomutativ de ordin n. Să se demonstreze că există două automorfisme ale lui G care au aceleași puncte fixe.'' '''Soluție:''' ''Pentru orice '''a Є G''', funcția'' '''<math>f_a : G \rightarrow G, f_a(x) = axa^{-1} </math>'''este un automorfism. Un element '''<math>x_0 \in G</math>''' este punct fix al automorfismului <math>f_a</math> dacă și numai d...

New page

'''S:27795 (Adrian Boroica și Florin Bojor)'''

''Fie n un număr natural care nu este multiplu de 4 și G un grup necomutativ de ordin n. Să se demonstreze că există două automorfisme ale lui G care au aceleași puncte fixe.''

'''Soluție:'''

''Pentru orice '''a Є G''', funcția'' '''<math>f_a : G \rightarrow G, f_a(x) = axa^{-1} </math>'''este un automorfism. Un element '''<math>x_0 \in G</math>''' este punct fix al automorfismului <math>f_a</math> dacă și numai dacă '''<math>f_a(x_0)</math>''', echivalent cu '''<math>x_0a = ax_0</math>''' sau, cu alte cuvinte, cu '''<math>x_0 \in C(a)</math>''' (centralizatorul lui a).

În particular, deoarece <math>C(a) = C(a^{-1})</math>, pentru orice <math>a \in G</math>, automorfismele <math>f_a
</math> și au aceleași puncte fixe, deci este suficient să arătăm că există <math>a \in G</math> astfe încât <math>f_a \neq f_{a^{-1}}</math>.

Dacă <math>f_a \neq f_{a^{-1}}</math>, atunci, pentru orice <math>x \in G</math> avem <math>axa^{-1} = a^{-1}xa</math>, adică <math>a^2x = xa^2</math>, ceea ce revine la <math>a^2 \in Z(G)</math>. Cum <math>a^2 \in Z(G)</math> pentru orice <math>a \in Z(G)</math>, iar <math>Z(G) \neq G</math>, vom demonstra că există <math>a \in G \backslash Z(G)</math> astfel încât <math>a^2 \notin Z(G)</math>. Să observăm că dacă ordinul <math>p</math> al unui element <math>a \in G \backslash Z(G)</math> este număr impar, atunci <math>a^2 \neq Z(G)</math>, deoarece, presupunând contrariul, din <math>a^2 \in Z(G)</math> și <math>a^p = e \in Z(G)</math>, ar rezulta că <math>a^{(2, p)} \in Z(G)</math>, adică <math>a \in Z(G)</math>, contradicție. Așadar, este suficient să arătăm că <math>G \backslash Z(G)</math> conține cel puțin un element de ordin impar.

Dacă <math>|G|</math> este număr impar, atunci orice element din <math>G</math>, implicit și din <math>G \backslash Z(G)</math>, are ordin impar. Dacă <math>|G|</math> este număr par, atunci<math>|G| =4n +2</math>, cu <math>n \in \N^*</math>. Notând <math>A = \{x \in G | x^{2n+1} = e\}</math>, se știe că <math>|A| = 2n +1</math>. Elementele lui A au ordin impar și, cum <math>G</math> este necomutativ, avem <math>|Z(G)| \leq \frac{1}{4} |G| < |A|</math>, deci eistă elemente de ordin impar care nu aparțin lui <math>Z(G)</math>.