27036 - Revision history

Andrei.Horvat at 17:11, 20 November 2023

2023-11-20T17:11:44Z

← Older revision		Revision as of 17:11, 20 November 2023
Line 56:		Line 56:
	</math> și cum <math>b> 0		</math> și cum <math>b> 0
	</math>, rezultă <math>b = \frac{3}{4}.		</math>, rezultă <math>b = \frac{3}{4}.
	</math>		</math> Obținem <math display="block">f(x) = \frac{3}{4}x^2, x \in \mathbb{R}

	Obținem <math display="block">f(x) = \frac{3}{4}x^2, x \in \mathbb{R}
	</math>funcție care verifică ipotezele din enunț.		</math>funcție care verifică ipotezele din enunț.

Andrei.Horvat at 13:18, 21 October 2023

2023-10-21T13:18:44Z

← Older revision		Revision as of 13:18, 21 October 2023
Line 43:		Line 43:
	</math>, atunci <math>yf'(x)\geq 0, xf'(y)\geq0		</math>, atunci <math>yf'(x)\geq 0, xf'(y)\geq0
	</math> și ca mai sus avem <math>yf'(x)=xf'(y)		</math> și ca mai sus avem <math>yf'(x)=xf'(y)
	</math>.		</math>.

	În particular <math>f'(x)=-f'(-1)x		În particular <math>f'(x)=-f'(-1)x
	</math>, deci <math>f(x)=bx^2 + d,		</math>, deci <math>f(x)=bx^2 + d,
	</math> cu <math>b>0		</math> cu <math>b>0
	</math> și d <math>\in		</math> și <math>d \in \mathbb{R}
	</math> ℝ . Cum <math>0 = f(0) = d,		</math>. Cum <math>0 = f(0) = d,
	</math> rezultă că <math display="block">f(x) = bx^2, \, x \in \left(-\infty, 0\right].		</math> rezultă că <math display="block">f(x) = bx^2, \, x \in \left(-\infty, 0\right].
	</math> Pentru <math>x = -1, y = 1		</math> Pentru <math>x = -1, y = 1
	</math>, avem <math>f(-3b)+\frac{3}{4}b = 3b		</math>, avem <math>f(-3b)+\frac{3}{4}b = 3b
	</math>, deci <math>4b^3 = \frac{9}{4}b		</math>, deci <math>4b^3 = \frac{9}{4}b
			</math> și cum <math>b> 0
			</math>, rezultă <math>b = \frac{3}{4}.
	</math>		</math>

	~~și cum~~ <math~~>b> 0~~		Obținem <math display="block">f(x) = \frac{3}{4}x^2, x \in \mathbb{R}
	~~</math>, rezultă <math>b~~ = ~~\frac{3}{4}.~~		</math>funcție care verifică ipotezele din enunț.
	~~</math>~~

	~~Obținem <math~~>f(x) = \frac{3}{4}x^2, x \in
	</math>~~ℝ ,~~ funcție care verifică ipotezele din enunț.

Andrei.Horvat at 13:14, 21 October 2023

2023-10-21T13:14:40Z

← Older revision		Revision as of 13:14, 21 October 2023
Line 1:		Line 1:
	'''27036 (Radu Pop)'''		'''27036 (Radu Pop)'''

	''Să se determine funcțiile derivabile <math>f		''Să se determine funcțiile derivabile <math>f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}
	</math> ~~: ℝ -> ℝ~~ cu proprietățile:''		</math>'' ''cu proprietățile:''

	''a) <math>f'		''a) <math>f'
Line 11:		Line 11:

	''c) <math>f(yf'(x)) + f(x)f(y) = xy f'(x)f'(y)		''c) <math>f(yf'(x)) + f(x)f(y) = xy f'(x)f'(y)
	</math> , oricare ar fi x, y ~~∈ ℝ;''~~		</math> , oricare ar fi'' <math>x,y \in \mathbb{R}
			</math>.


Line 19:		Line 20:
	</math>, rezultă că <math>f		</math>, rezultă că <math>f
	</math> este strict crescătoare, deci injectivă pe <math>[0, \infty)		</math> este strict crescătoare, deci injectivă pe <math>[0, \infty)
	</math>. Deoarece expresia <math>xyf'(x)f'(y)-f(x)f(y)		</math>.
	</math> simetrică in x și y, din c) rezultă că <math>f(yf'(x))=f(xf'(y))
	</math>. Din injectivitatea ~~lui~~ <math>f		Deoarece expresia <math>xyf'(x)f'(y)-f(x)f(y)
			</math> este simetrică în variabilele <math>x
			</math> și <math>y
			</math>, din ipoteza c) rezultă că <math>f(yf'(x))=f(xf'(y))
			</math>. Din injectivitatea funcției <math>f
	</math> obținem <math>yf'(x)=xf'(y)		</math> obținem <math>yf'(x)=xf'(y)
	</math>, pentru orice <math>x,y \in [0, \infty)		</math>, pentru orice <math>x,y \in [0, \infty)
	</math>. În particular, <math>f'(x) = f'(1)x		</math>.

			În particular, <math>f'(x) = f'(1)x
	</math> , deci <math>f(x) = ax^2 +c		</math> , deci <math>f(x) = ax^2 +c
	</math> , unde <math>a = ~~\left (~~ \frac{f'(1)}{2} ~~\right )~~ > 0		</math> , unde <math>a = \frac{f'(1)}{2} > 0
	</math> și <math>c \in		</math> și <math>c \in
	</math> ℝ . Pentru <math>x, y \in [0, \infty)		</math> ℝ . Pentru <math>x, y \in [0, \infty)
Line 32:		Line 39:
	</math> , deci <math>4a^3x^2y^2+a^2x^2y^2=4a^2x^2y^2		</math> , deci <math>4a^3x^2y^2+a^2x^2y^2=4a^2x^2y^2
	</math>. Rezultă <math>a = \frac{3}{4}		</math>. Rezultă <math>a = \frac{3}{4}
	</math> , deci <math>f(x) = \frac{3}{4}x^2, x \in [0, \infty)		</math> , deci <math display="block">f(x) = \frac{3}{4}x^2, x \in \left[0, \infty\right).
	</math>. Dacă <math>x, y \in (-\infty, 0]		</math>Dacă <math>x, y \in (-\infty, 0]
	</math>, atunci <math>yf'(x)\geq 0, xf'(y)\geq0		</math>, atunci <math>yf'(x)\geq 0, xf'(y)\geq0
	</math> și că mai sus avem <math>yf'(x)=xf'(y)		</math> și ca mai sus avem <math>yf'(x)=xf'(y)
	</math>. În particular <math>f'(x)=-f'(-1)x		</math>.

			În particular <math>f'(x)=-f'(-1)x
	</math>, deci <math>f(x)=bx^2 + d,		</math>, deci <math>f(x)=bx^2 + d,
	</math> cu <math>b>0		</math> cu <math>b>0
	</math> și d <math>\in		</math> și d <math>\in
	</math> ℝ . Cum <math>0 = f(0) = d,		</math> ℝ . Cum <math>0 = f(0) = d,
	</math> rezultă că <math>f(x) = bx^2, x \in (-\infty, 0]		</math> rezultă că <math display="block">f(x) = bx^2, \, x \in \left(-\infty, 0\right].
	</math> Pentru <math>x = -1, y = 1		</math> Pentru <math>x = -1, y = 1
	</math>, avem <math>f(-3b)+\frac{3}{4}b = 3b		</math>, avem <math>f(-3b)+\frac{3}{4}b = 3b

Carla Chereji: Pagină nouă: '''27036 (Radu Pop)''' ''Să se determine funcțiile derivabile $f$ : ℝ -> ℝ cu proprietățile:'' ''a) $f'$ este funcție strict crescătoare;'' ''b) $f'(0) = 0;$ '' ''c) $f(yf'(x)) + f(x)f(y) = xy f'(x)f'(y)$ , oricare ar fi x, y ∈ ℝ;'' '''Soluție:''' Cum $f' (x) > 0, x \in (0, \infty)$ , rezultă că $f$ este strict crescătoare, deci injectivă pe $[0, \infty)$ . Deoarece e...

2023-10-20T11:54:57Z

Pagină nouă: '''27036 (Radu Pop)''' ''Să se determine funcțiile derivabile <math>f </math> : ℝ -> ℝ cu proprietățile:'' ''a) <math>f' </math> este funcție strict crescătoare;'' ''b) <math>f'(0) = 0; </math>'' ''c) <math>f(yf'(x)) + f(x)f(y) = xy f'(x)f'(y) </math> , oricare ar fi x, y ∈ ℝ;'' '''Soluție:''' Cum <math>f' (x) > 0, x \in (0, \infty) </math>, rezultă că <math>f </math> este strict crescătoare, deci injectivă pe <math>[0, \infty) </math>. Deoarece e...

New page

'''27036 (Radu Pop)'''

''Să se determine funcțiile derivabile <math>f
</math> : ℝ -> ℝ cu proprietățile:''

''a) <math>f'
</math> este funcție strict crescătoare;''

''b) <math>f'(0) = 0;
</math>''

''c) <math>f(yf'(x)) + f(x)f(y) = xy f'(x)f'(y)
</math> , oricare ar fi x, y ∈ ℝ;''

'''Soluție:'''

Cum <math>f' (x) > 0, x \in (0, \infty)
</math>, rezultă că <math>f
</math> este strict crescătoare, deci injectivă pe <math>[0, \infty)
</math>. Deoarece expresia <math>xyf'(x)f'(y)-f(x)f(y)
</math> simetrică in x și y, din c) rezultă că <math>f(yf'(x))=f(xf'(y))
</math>. Din injectivitatea lui <math>f
</math> obținem <math>yf'(x)=xf'(y)
</math>, pentru orice <math>x,y \in [0, \infty)
</math>. În particular, <math>f'(x) = f'(1)x
</math> , deci <math>f(x) = ax^2 +c
</math> , unde <math>a = \left ( \frac{f'(1)}{2} \right ) > 0
</math> și <math>c \in
</math> ℝ . Pentru <math>x, y \in [0, \infty)
</math> avem <math>f(2axy)+a^2 x^2 y^2 = 4a^2 x^2y^2
</math> , deci <math>4a^3x^2y^2+a^2x^2y^2=4a^2x^2y^2
</math>. Rezultă <math>a = \frac{3}{4}
</math> , deci <math>f(x) = \frac{3}{4}x^2, x \in [0, \infty)
</math>. Dacă <math>x, y \in (-\infty, 0]
</math>, atunci <math>yf'(x)\geq 0, xf'(y)\geq0
</math> și că mai sus avem <math>yf'(x)=xf'(y)
</math>. În particular <math>f'(x)=-f'(-1)x
</math>, deci <math>f(x)=bx^2 + d,
</math> cu <math>b>0
</math> și d <math>\in
</math> ℝ . Cum <math>0 = f(0) = d,
</math> rezultă că <math>f(x) = bx^2, x \in (-\infty, 0]
</math> Pentru <math>x = -1, y = 1
</math>, avem <math>f(-3b)+\frac{3}{4}b = 3b
</math>, deci <math>4b^3 = \frac{9}{4}b
</math>

și cum <math>b> 0
</math>, rezultă <math>b = \frac{3}{4}.
</math>

Obținem <math>f(x) = \frac{3}{4}x^2, x \in
</math>ℝ , funcție care verifică ipotezele din enunț.