26927 - Revision history

Andrei.Horvat at 08:30, 19 January 2025

2025-01-19T08:30:17Z

← Older revision		Revision as of 08:30, 19 January 2025
Line 7:		Line 7:
	Inegalitatea <math>b^2 - 4ac < ad - 4a^2</math> este echivalentă cu <math>\left(-\frac{b}{a}\right)^2 - 4\cdot \frac{c}{a}< \frac{d}{a} - 4</math>, ceea ce este echivalent cu <math>x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_1x_2x_3+4 < 2\left(x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1\right)</math>.		Inegalitatea <math>b^2 - 4ac < ad - 4a^2</math> este echivalentă cu <math>\left(-\frac{b}{a}\right)^2 - 4\cdot \frac{c}{a}< \frac{d}{a} - 4</math>, ceea ce este echivalent cu <math>x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_1x_2x_3+4 < 2\left(x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1\right)</math>.

	Presupunem prin absurd că <math>x_1, x_2, x_3 > 0</math>. Dintre numerele <math>x_1 - 2</math>, <math>x_2 - 2</math>, <math>x_3 - 2</math>, cel puțin două au același semn; fie acestea <math>x_1 - 2/<math> și <math>x_2 - 2</math>. Atunci <math>\left(x_1 - 2\right)\left(x_2 - 2\right) \ge 0</math>, de unde <math>x_3\left(x_1 - 2\right)\left(x_2 - 2\right) \ge 0</math>. Cum <math>x_1^2 + x_2^2 \ge 2x_1x_2</math> și <math>x_3^2 - 4x_3 + 4 \ge 0</math>, prin însumarea celor trei relații obținem <math>x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_1x_2x_3 \ge 2x_1x_2 + 2x_1x_3 + 2x_2x_3</math>, ceea ce duce la o contradicție.		Presupunem prin absurd că <math>x_1, x_2, x_3 > 0</math>. Dintre numerele <math>x_1 - 2</math>, <math>x_2 - 2</math>, <math>x_3 - 2</math>, cel puțin două au același semn; fie acestea <math>x_1 - 2</math> și <math>x_2 - 2</math>. Atunci <math>\left(x_1 - 2\right)\left(x_2 - 2\right) \ge 0</math>, de unde <math>x_3\left(x_1 - 2\right)\left(x_2 - 2\right) \ge 0</math>. Cum <math>x_1^2 + x_2^2 \ge 2x_1x_2</math> și <math>x_3^2 - 4x_3 + 4 \ge 0</math>, prin însumarea celor trei relații obținem <math>x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_1x_2x_3 \ge 2x_1x_2 + 2x_1x_3 + 2x_2x_3</math>, ceea ce duce la o contradicție.

Andrei.Horvat at 08:29, 19 January 2025

2025-01-19T08:29:50Z

← Older revision		Revision as of 08:29, 19 January 2025
Line 5:		Line 5:
	'''Soluție.'''		'''Soluție.'''

	Inegalitatea <math>b^2 - 4ac < ad - 4a^2</math> este echivalentă cu <math>\left(-\frac{b}{a}\right)^2 - 4\cdot \frac{c}{a}< \frac{d}{a} - 4</math>, ceea ce este echivalent cu <math>x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_1x_2x_3+4 < 2\left(x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1</math>.		Inegalitatea <math>b^2 - 4ac < ad - 4a^2</math> este echivalentă cu <math>\left(-\frac{b}{a}\right)^2 - 4\cdot \frac{c}{a}< \frac{d}{a} - 4</math>, ceea ce este echivalent cu <math>x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_1x_2x_3+4 < 2\left(x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1\right)</math>.

	Presupunem prin absurd că <math>x_1, x_2, x_3 > 0</math>. Dintre numerele <math>x_1 - 2</math>, <math>x_2 - 2</math>, <math>x_3 - 2</math>, cel puțin două au același semn; fie acestea <math>x_1 - 2/<math> și <math>x_2 - 2</math>. Atunci <math>\left(x_1 - 2\right)\left(x_2 - 2\right) \ge 0</math>, de unde <math>x_3\left(x_1 - 2\right)\left(x_2 - 2\right) \ge 0</math>. Cum <math>x_1^2 + x_2^2 \ge 2x_1x_2</math> și <math>x_3^2 - 4x_3 + 4 \ge 0</math>, prin însumarea celor trei relații obținem <math>x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_1x_2x_3 \ge 2x_1x_2 + 2x_1x_3 + 2x_2x_3</math>, ceea ce duce la o contradicție.		Presupunem prin absurd că <math>x_1, x_2, x_3 > 0</math>. Dintre numerele <math>x_1 - 2</math>, <math>x_2 - 2</math>, <math>x_3 - 2</math>, cel puțin două au același semn; fie acestea <math>x_1 - 2/<math> și <math>x_2 - 2</math>. Atunci <math>\left(x_1 - 2\right)\left(x_2 - 2\right) \ge 0</math>, de unde <math>x_3\left(x_1 - 2\right)\left(x_2 - 2\right) \ge 0</math>. Cum <math>x_1^2 + x_2^2 \ge 2x_1x_2</math> și <math>x_3^2 - 4x_3 + 4 \ge 0</math>, prin însumarea celor trei relații obținem <math>x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_1x_2x_3 \ge 2x_1x_2 + 2x_1x_3 + 2x_2x_3</math>, ceea ce duce la o contradicție.

Andrei.Horvat: Created page with "'''26927 (Radu Pop și Vasile Ienuțaș)''' ''Polinomul $f = ax^3 + bx^2 + cx + d\in \mathbb{R}\left[X\right]$ are toate rădăcinile reale și verifică inegalitatea $b^2 - 4ac < ad - 4a^2$ . Să se arate că rădăcinile nu pot fi toate strict pozitive.'' '''Soluție.''' Inegalitatea $b^2 - 4ac < ad - 4a^2$ este echivalentă cu $\left(-\frac{b}{a}\right)^2 - 4\cdot \frac{c}{a}< \frac{d}{a} - 4$ , ceea ce este echivalent..."

2025-01-19T08:28:57Z

Created page with "'''26927 (Radu Pop și Vasile Ienuțaș)''' ''Polinomul <math>f = ax^3 + bx^2 + cx + d\in \mathbb{R}\left[X\right]</math> are toate rădăcinile reale și verifică inegalitatea <math>b^2 - 4ac < ad - 4a^2</math>. Să se arate că rădăcinile nu pot fi toate strict pozitive.'' '''Soluție.''' Inegalitatea <math>b^2 - 4ac < ad - 4a^2</math> este echivalentă cu <math>\left(-\frac{b}{a}\right)^2 - 4\cdot \frac{c}{a}< \frac{d}{a} - 4</math>, ceea ce este echivalent..."

New page

'''[[26927]] (Radu Pop și Vasile Ienuțaș)'''

''Polinomul <math>f = ax^3 + bx^2 + cx + d\in \mathbb{R}\left[X\right]</math> are toate rădăcinile reale și verifică inegalitatea <math>b^2 - 4ac < ad - 4a^2</math>. Să se arate că rădăcinile nu pot fi toate strict pozitive.''

'''Soluție.'''

Inegalitatea <math>b^2 - 4ac < ad - 4a^2</math> este echivalentă cu <math>\left(-\frac{b}{a}\right)^2 - 4\cdot \frac{c}{a}< \frac{d}{a} - 4</math>, ceea ce este echivalent cu <math>x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_1x_2x_3+4 < 2\left(x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1</math>.

Presupunem prin absurd că <math>x_1, x_2, x_3 > 0</math>. Dintre numerele <math>x_1 - 2</math>, <math>x_2 - 2</math>, <math>x_3 - 2</math>, cel puțin două au același semn; fie acestea <math>x_1 - 2/<math> și <math>x_2 - 2</math>. Atunci <math>\left(x_1 - 2\right)\left(x_2 - 2\right) \ge 0</math>, de unde <math>x_3\left(x_1 - 2\right)\left(x_2 - 2\right) \ge 0</math>. Cum <math>x_1^2 + x_2^2 \ge 2x_1x_2</math> și <math>x_3^2 - 4x_3 + 4 \ge 0</math>, prin însumarea celor trei relații obținem <math>x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_1x_2x_3 \ge 2x_1x_2 + 2x_1x_3 + 2x_2x_3</math>, ceea ce duce la o contradicție.