2015-12-4 - Revision history

Andrei.Horvat at 11:36, 3 September 2023

2023-09-03T11:36:26Z

← Older revision		Revision as of 11:36, 3 September 2023
Line 5:		Line 5:
	<math>(ii)</math> Pentru orice <math>a \in K^*</math> avem <math>f(X)=f(aX)</math>.		<math>(ii)</math> Pentru orice <math>a \in K^*</math> avem <math>f(X)=f(aX)</math>.

	<~~math~~>~~Solutie~~</~~math~~>		'''<big>Soluție.</big>'''

	<math>(i) \rightarrow (ii)</math>		<math>(i) \rightarrow (ii)</math>

Andrei.Horvat at 11:34, 3 September 2023

2023-09-03T11:34:31Z

← Older revision		Revision as of 11:34, 3 September 2023
Line 1:		Line 1:
	<~~math~~>~~Problema:~~</~~math~~> Fie <math>K</math> un corp cu <math>m \geq 2</math> elemente si <math>f \in K[X]</math>. ~~Aratati ca urmatoarele afirmatii~~ sunt echivalente:		'''<big>Enunț</big>''' Fie <math>K</math> un corp cu <math>m \geq 2</math> elemente și <math>f \in K[X]</math>. Arătați că următoarele afirmații sunt echivalente:

	<math>(i)</math> ~~Exista~~ <math>g \in K[X]</math> astfel ~~incat~~ <math>f(X)=g(X^{m-1})</math>;		<math>(i)</math> Există <math>g \in K[X]</math> astfel încât <math>f(X)=g(X^{m-1})</math>;

	<math>(ii)</math> Pentru orice <math>a \in K^*</math> avem <math>f(X)=f(aX)</math>.		<math>(ii)</math> Pentru orice <math>a \in K^*</math> avem <math>f(X)=f(aX)</math>.
Line 8:		Line 8:

	<math>(i) \rightarrow (ii)</math>		<math>(i) \rightarrow (ii)</math>
	Din teorema lui Lagrange ~~aplicata~~ grupului <math>(K^,\cdot)</math> avem ca <math>x^{m-1}=1, \forall x \in K^</math>, deci <math>f(aX)=g((aX)^{m-1})=g(a^{m-1}X^{m-1})=g(X^{m-1})=f(X)</math>.		Din teorema lui Lagrange aplicată grupului <math>(K^,\cdot)</math> avem că <math>x^{m-1}=1, \forall x \in K^</math>, deci <math display="block">f(aX)=g((aX)^{m-1})=g(a^{m-1}X^{m-1})=g(X^{m-1})=f(X)</math><math>(ii) \rightarrow (i)</math> <math>(Robert \ Rogozsan)</math>

	~~<math>(ii) \rightarrow (i)</math> <math>(Robert \ Rogozsan)</math>~~		Ne folosim de următorul rezultat

	~~Ne folosim de urmatoarea~~		'''Lemă:''' Fie <math>F</math> un corp finit cu <math>n</math> elemente. Atunci <math display="block">\sum_{a \in F}a^k=

	~~<math>Lema~~:~~</math>~~ Fie <math>F</math> un corp finit cu <math>n</math> elemente. Atunci <math>\sum_{a \in F}a^k=
	\begin{cases}		\begin{cases}
			0, & \text{dacă } n \text{ nu divide pe } k \\
	0 & \text{, dacă } n \text{nu divide pe} k		-1, & \text{dacă } n \text{ divide pe } k

	-1 & \text{, dacă } n \text{divide pe} k

	\end{cases}</math>		\end{cases}</math>

RobertRogo at 16:34, 2 September 2023

2023-09-02T16:34:38Z

← Older revision		Revision as of 16:34, 2 September 2023
Line 17:		Line 17:
	\begin{cases}		\begin{cases}

	0 & \text{, dacă } n \text{divide pe} k		0 & \text{, dacă } n \text{nu divide pe} k

	~~f(c)~~ & \text{, dacă } n \text{nu divide pe} k		-1 & \text{, dacă } n \text{divide pe} k

	\end{cases}</math>		\end{cases}</math>

RobertRogo at 16:34, 2 September 2023

2023-09-02T16:34:10Z

← Older revision		Revision as of 16:34, 2 September 2023
Line 17:		Line 17:
	\begin{cases}		\begin{cases}

	0 & \text{, dacă } n \ \text{divide pe} \ k		0 & \text{, dacă } n \text{divide pe} k

	f(c) & \text{, dacă } n \ \text{nu divide pe} \		f(c) & \text{, dacă } n \text{nu divide pe} k

	\end{cases}</math>		\end{cases}</math>

RobertRogo at 16:33, 2 September 2023

2023-09-02T16:33:47Z

← Older revision		Revision as of 16:33, 2 September 2023
Line 16:		Line 16:
	<math>Lema:</math> Fie <math>F</math> un corp finit cu <math>n</math> elemente. Atunci <math>\sum_{a \in F}a^k=		<math>Lema:</math> Fie <math>F</math> un corp finit cu <math>n</math> elemente. Atunci <math>\sum_{a \in F}a^k=
	\begin{cases}		\begin{cases}
	~~0 & \text{, dacă } n \text{divide pe} k~~

	f(c) & \text{, dacă } n \text{nu divide pe}		0 & \text{, dacă } n \ \text{divide pe} \ k

			f(c) & \text{, dacă } n \ \text{nu divide pe} \

	\end{cases}</math>		\end{cases}</math>

RobertRogo at 16:33, 2 September 2023

2023-09-02T16:33:12Z

← Older revision		Revision as of 16:33, 2 September 2023
Line 17:		Line 17:
	\begin{cases}		\begin{cases}
	0 & \text{, dacă } n \text{divide pe} k		0 & \text{, dacă } n \text{divide pe} k

	f(c) & \text{, dacă } n \text{nu divide pe}		f(c) & \text{, dacă } n \text{nu divide pe}
	\end{cases}</math>		\end{cases}</math>

RobertRogo at 16:32, 2 September 2023

2023-09-02T16:32:57Z

← Older revision		Revision as of 16:32, 2 September 2023
Line 10:		Line 10:
	Din teorema lui Lagrange aplicata grupului <math>(K^,\cdot)</math> avem ca <math>x^{m-1}=1, \forall x \in K^</math>, deci <math>f(aX)=g((aX)^{m-1})=g(a^{m-1}X^{m-1})=g(X^{m-1})=f(X)</math>.		Din teorema lui Lagrange aplicata grupului <math>(K^,\cdot)</math> avem ca <math>x^{m-1}=1, \forall x \in K^</math>, deci <math>f(aX)=g((aX)^{m-1})=g(a^{m-1}X^{m-1})=g(X^{m-1})=f(X)</math>.

	<math>(ii) \rightarrow (i)</math>		<math>(ii) \rightarrow (i)</math> <math>(Robert \ Rogozsan)</math>

			Ne folosim de urmatoarea

			<math>Lema:</math> Fie <math>F</math> un corp finit cu <math>n</math> elemente. Atunci <math>\sum_{a \in F}a^k=
			\begin{cases}
			0 & \text{, dacă } n \text{divide pe} k
			f(c) & \text{, dacă } n \text{nu divide pe}
			\end{cases}</math>

RobertRogo at 16:27, 2 September 2023

2023-09-02T16:27:51Z

← Older revision		Revision as of 16:27, 2 September 2023
Line 1:		Line 1:
	<math>Problema:</math> Fie <math>K</math> un corp cu <math>m \geq 2</math> elemente si <math>f \in K[X]</math>. Aratati ca urmatoarele afirmatii sunt echivalente:		<math>Problema:</math> Fie <math>K</math> un corp cu <math>m \geq 2</math> elemente si <math>f \in K[X]</math>. Aratati ca urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

	(i) Exista <math>g \in K[X]</math> astfel incat <math>f(X)=g(X^{m-1})</math>;		<math>(i)</math> Exista <math>g \in K[X]</math> astfel incat <math>f(X)=g(X^{m-1})</math>;

	(ii) Pentru orice <math>a \in K^*</math> avem <math>f(X)=f(aX)</math>.		<math>(ii)</math> Pentru orice <math>a \in K^*</math> avem <math>f(X)=f(aX)</math>.

	<math>Solutie</math>		<math>Solutie</math>

	<math>(i) \rightarrow (ii)</math>		<math>(i) \rightarrow (ii)</math>
	Din teorema lui Lagrange aplicata grupului <math>(K^,\cdot)</math> avem ca <math>x^{m-1}=1, \forall x \in K^</math>, deci <math>f(aX)=g((aX)^{m-1}=g(a^{m-1}X^{m-1})=g(X^{m-1})=f(X)</math>.		Din teorema lui Lagrange aplicata grupului <math>(K^,\cdot)</math> avem ca <math>x^{m-1}=1, \forall x \in K^</math>, deci <math>f(aX)=g((aX)^{m-1})=g(a^{m-1}X^{m-1})=g(X^{m-1})=f(X)</math>.

			<math>(ii) \rightarrow (i)</math>

RobertRogo at 16:27, 2 September 2023

2023-09-02T16:27:08Z

← Older revision		Revision as of 16:27, 2 September 2023
Line 7:		Line 7:
	<math>Solutie</math>		<math>Solutie</math>
	<math>(i) \rightarrow (ii)</math>		<math>(i) \rightarrow (ii)</math>
	Din teorema lui Lagrange aplicata grupului <math>(K^*,\cdot)</math> avem ca		Din teorema lui Lagrange aplicata grupului <math>(K^,\cdot)</math> avem ca <math>x^{m-1}=1, \forall x \in K^</math>, deci <math>f(aX)=g((aX)^{m-1}=g(a^{m-1}X^{m-1})=g(X^{m-1})=f(X)</math>.

RobertRogo at 14:34, 2 September 2023

2023-09-02T14:34:07Z

← Older revision		Revision as of 14:34, 2 September 2023
Line 4:		Line 4:

	(ii) Pentru orice <math>a \in K^*</math> avem <math>f(X)=f(aX)</math>.		(ii) Pentru orice <math>a \in K^*</math> avem <math>f(X)=f(aX)</math>.
	\~~end{enumerate}~~</math>
			<math>Solutie</math>
			<math>(i) \rightarrow (ii)</math>
			Din teorema lui Lagrange aplicata grupului <math>(K^*,\cdot)</math> avem ca