AntalKrisztian: Created page with "'''16402 (Cristina Vijdeluc, Salonic și Mihai Vijdeluc, Baia Mare)''' ''Fie $n \in \mathbb{N}^*$ și numerele pozitive $x_1, x_2, \dots, x_n$ care verifică relația $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \dots + \frac{1}{x_n} = \frac{n}{n+1}.$ Arătați că $\frac{1}{x_1 + 2} + \frac{1}{x_2 + 6} + \dots + \frac{1}{x_n + n(n+1)} \leq \frac{n}{2(n+1)}.$ '' '''Soluție:''' Din inegalitatea mediilor armonică și aritmetică,..."

2024-12-11T10:18:37Z

Created page with "'''16402 (Cristina Vijdeluc, Salonic și Mihai Vijdeluc, Baia Mare)''' ''Fie <math>n \in \mathbb{N}^*</math> și numerele pozitive <math>x_1, x_2, \dots, x_n</math> care verifică relația <math>\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \dots + \frac{1}{x_n} = \frac{n}{n+1}.</math> Arătați că <math>\frac{1}{x_1 + 2} + \frac{1}{x_2 + 6} + \dots + \frac{1}{x_n + n(n+1)} \leq \frac{n}{2(n+1)}.</math>'' '''Soluție:''' Din inegalitatea mediilor armonică și aritmetică,..."

New page

'''16402 (Cristina Vijdeluc, Salonic și Mihai Vijdeluc, Baia Mare)'''

''Fie <math>n \in \mathbb{N}^*</math> și numerele pozitive <math>x_1, x_2, \dots, x_n</math> care verifică relația

<math>\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \dots + \frac{1}{x_n} = \frac{n}{n+1}.</math>

Arătați că

<math>\frac{1}{x_1 + 2} + \frac{1}{x_2 + 6} + \dots + \frac{1}{x_n + n(n+1)} \leq \frac{n}{2(n+1)}.</math>''

'''Soluție:'''

Din inegalitatea mediilor armonică și aritmetică,
<math>\frac{1}{a+b} \leq \frac{1}{4}\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\right),</math>
pentru oricare <math>a, b > 0.</math> Aplicând succesiv această inegalitate obținem
<math>\frac{1}{x_1 + 2} + \frac{1}{x_2 + 6} + \dots + \frac{1}{x_n + n(n+1)} \leq
\frac{1}{4} \left( \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \dots + \frac{1}{x_n} +
\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \dots + \frac{1}{n(n+1)} \right) =</math>
<math>\frac{1}{4} \left( \frac{n}{n+1} + 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right) =
\frac{n}{2(n+1)}.</math>

16402 - Revision history