15698 - Revision history

Andrei.Horvat at 08:43, 19 December 2023

2023-12-19T08:43:40Z

← Older revision		Revision as of 08:43, 19 December 2023
Line 8:		Line 8:
	Această proprietate reiese din faptul că, dacă <math>n\in\mathbb{N}</math> nu este divizibil cu <math>3</math>, atunci <math>n^2 = \mathcal{M}_3+1</math>.		Această proprietate reiese din faptul că, dacă <math>n\in\mathbb{N}</math> nu este divizibil cu <math>3</math>, atunci <math>n^2 = \mathcal{M}_3+1</math>.

	Aici, deoarece <math>2022</math> este divizibil cu <math>3</math>, iar <math>2021</math> și <math>2020</math> nu sunt divizibile cu <math>3</math>, reiese că <math>3 \| a</math> și <math>3 \| b</math>. Dacă <math>a \ne 0</math> sau <math>b\ne 0</math>, atunci există ~~a = 3a<sub>1</sub> și b = 3b<sub>1</sub>, cu a<sub>1</sub>b<sub>1</sub> ϵ ℕ, iar a<sub>1</sub> < a sau b<sub>1</sub> < b. Rezultă 9~~ <math>\~~bigl(~~\~~bigl(~~</math>~~2020a<sub>1</sub>~~<math>\~~bigr)</math><sup>2</sup> + <math>~~\~~bigl(~~</math>~~2021b<sub>1</sub>~~<math>~~\bigr)</math><sup>2</sup>~~ = ~~2022c<sup>2~~</~~sup>, ceea ce implică c = 3c<sub>1,</sub> cu c<sub>1</sub> ϵ ℕ. Relația devine <~~math>~~\bigl(<~~/~~math>2020a<sub>1</sub>~~<math>~~\bigr)</math><sup>2</sup> + <math>\bigl(</math>2021b<sub>1</sub><math>\bigr)</math><sup>2</sup> = 2022c<sub>1</sub><sup>2</sup>, ceea ce, ca mai sus, duce la a<sub>1</sub> = 3a<sub>2</sub>,~~ b~~<sub>1</sub>~~ = ~~3b<sub>2~~</~~sub>, c<sub>1</sub> = 3c<sub>2</sub>, cu a<sub>2</sub~~>~~, b<sub>2</sub>, c<sub>2</sub> ϵ ℕ~~, iar a<~~sub>2</sub~~> < a~~<sub>1~~</~~sub~~> sau b<~~sub>2</sub~~> < b~~<sub>1~~</~~sub>. Repetând raționamentul obținem un șir nesfârșit de numere naturale a > a<sub~~>~~1</sub> > a<sub>2</sub> > . . . sau un șir nesfârșit de numere naturale b > b<sub>1</sub> > b<sub>2</sub> > . . . - imposibil. Astfel, presupunerea a ≠ 0 sau b ≠ 0 este falsă~~.		Aici, deoarece <math>2022</math> este divizibil cu <math>3</math>, iar <math>2021</math> și <math>2020</math> nu sunt divizibile cu <math>3</math>, reiese că <math>3 \| a</math> și <math>3 \| b</math>. Dacă <math>a \ne 0</math> sau <math>b\ne 0</math>, atunci există <math>a_1 \in \mathbb{N}</math>, <math>b_1 \in \mathbb{N}</math> pentru care <math>a=3a_1</math> și/sau <math>b=3b_1</math>, iar <math>a_1 < a</math> sau <math>b_1 < b</math>.

	~~Rămâne soluția~~ a = b = c = 0.		Rezultă <math>9\left[\left(2020 a \right)^2 + \left(2021 b\right)^2 \right]= 2022 c^2</math>, ceea ce implică <math>c=3c_1</math>, cu <math>c_1 \in \mathbb{N}</math>.

	''Observație''. Ideea folosită în rezolvarea de mai sus pentru a arăta că a = b= 0 reprezintă ''metoda coborârii infinite.''		Relația devine <math>\left(2020 a_1 \right)^2 + \left(2021 b_1\right)^2 = 2022 c_1^2</math>, ceea ce, ca mai sus, duce la <math>a_1 = 3a_2</math>, <math>b_1=3b_2</math>, <math>c_1 = 3c_2</math>, cu

			<math>a_2, b_2, c_2 \in \mathbb{N}</math>, iar <math>a_2 < a_1</math> sau <math>b_2 < b_1</math>.

			Repetând raționamentul obținem un șir nesfârșit de numere naturale <math>a>a_1>a_2> \ldots</math> sau un șir nesfârșit de numere naturale <math>b>b_1>b_2> \ldots</math>, ceea ce este imposibil. Astfel, presupunerea a ≠ 0 sau b ≠ 0 este falsă.

			Rămâne soluția <math>a=b=c=0</math>.

			'''Observație.''' Ideea folosită în rezolvarea de mai sus pentru a arăta că <math>a=b=c=0</math> reprezintă ''metoda coborârii infinite.''

Andrei.Horvat at 08:27, 19 December 2023

2023-12-19T08:27:19Z

← Older revision		Revision as of 08:27, 19 December 2023
Line 8:		Line 8:
	Această proprietate reiese din faptul că, dacă <math>n\in\mathbb{N}</math> nu este divizibil cu <math>3</math>, atunci <math>n^2 = \mathcal{M}_3+1</math>.		Această proprietate reiese din faptul că, dacă <math>n\in\mathbb{N}</math> nu este divizibil cu <math>3</math>, atunci <math>n^2 = \mathcal{M}_3+1</math>.

	Aici, deoarece <math>2022</math> este divizibil cu <math>3</math>, iar <math>2021</math> și <math>2020</math> nu sunt divizibile cu 3, reiese că 3 ا a și 3 ا b. Dacă a ≠ 0 sau b ≠ 0, atunci a = 3a<sub>1</sub> și b = 3b<sub>1</sub>, cu a<sub>1</sub>b<sub>1</sub> ϵ ℕ, iar a<sub>1</sub> < a sau b<sub>1</sub> < b. Rezultă 9 <math>\bigl(\bigl(</math>2020a<sub>1</sub><math>\bigr)</math><sup>2</sup> + <math>\bigl(</math>2021b<sub>1</sub><math>\bigr)</math><sup>2</sup> = 2022c<sup>2</sup>, ceea ce implică c = 3c<sub>1,</sub> cu c<sub>1</sub> ϵ ℕ. Relația devine <math>\bigl(</math>2020a<sub>1</sub><math>\bigr)</math><sup>2</sup> + <math>\bigl(</math>2021b<sub>1</sub><math>\bigr)</math><sup>2</sup> = 2022c<sub>1</sub><sup>2</sup>, ceea ce, ca mai sus, duce la a<sub>1</sub> = 3a<sub>2</sub>, b<sub>1</sub> = 3b<sub>2</sub>, c<sub>1</sub> = 3c<sub>2</sub>, cu a<sub>2</sub>, b<sub>2</sub>, c<sub>2</sub> ϵ ℕ, iar a<sub>2</sub> < a<sub>1</sub> sau b<sub>2</sub> < b<sub>1</sub>. Repetând raționamentul obținem un șir nesfârșit de numere naturale a > a<sub>1</sub> > a<sub>2</sub> > . . . sau un șir nesfârșit de numere naturale b > b<sub>1</sub> > b<sub>2</sub> > . . . - imposibil. Astfel, presupunerea a ≠ 0 sau b ≠ 0 este falsă.		Aici, deoarece <math>2022</math> este divizibil cu <math>3</math>, iar <math>2021</math> și <math>2020</math> nu sunt divizibile cu <math>3</math>, reiese că <math>3 \| a</math> și <math>3 \| b</math>. Dacă <math>a \ne 0</math> sau <math>b\ne 0</math>, atunci există a = 3a<sub>1</sub> și b = 3b<sub>1</sub>, cu a<sub>1</sub>b<sub>1</sub> ϵ ℕ, iar a<sub>1</sub> < a sau b<sub>1</sub> < b. Rezultă 9 <math>\bigl(\bigl(</math>2020a<sub>1</sub><math>\bigr)</math><sup>2</sup> + <math>\bigl(</math>2021b<sub>1</sub><math>\bigr)</math><sup>2</sup> = 2022c<sup>2</sup>, ceea ce implică c = 3c<sub>1,</sub> cu c<sub>1</sub> ϵ ℕ. Relația devine <math>\bigl(</math>2020a<sub>1</sub><math>\bigr)</math><sup>2</sup> + <math>\bigl(</math>2021b<sub>1</sub><math>\bigr)</math><sup>2</sup> = 2022c<sub>1</sub><sup>2</sup>, ceea ce, ca mai sus, duce la a<sub>1</sub> = 3a<sub>2</sub>, b<sub>1</sub> = 3b<sub>2</sub>, c<sub>1</sub> = 3c<sub>2</sub>, cu a<sub>2</sub>, b<sub>2</sub>, c<sub>2</sub> ϵ ℕ, iar a<sub>2</sub> < a<sub>1</sub> sau b<sub>2</sub> < b<sub>1</sub>. Repetând raționamentul obținem un șir nesfârșit de numere naturale a > a<sub>1</sub> > a<sub>2</sub> > . . . sau un șir nesfârșit de numere naturale b > b<sub>1</sub> > b<sub>2</sub> > . . . - imposibil. Astfel, presupunerea a ≠ 0 sau b ≠ 0 este falsă.

	Rămâne soluția a = b = c = 0.		Rămâne soluția a = b = c = 0.

	''Observație''. Ideea folosită în rezolvarea de mai sus pentru a arăta că a = b= 0 reprezintă ''metoda coborârii infinite.''		''Observație''. Ideea folosită în rezolvarea de mai sus pentru a arăta că a = b= 0 reprezintă ''metoda coborârii infinite.''

Andrei.Horvat at 08:23, 19 December 2023

2023-12-19T08:23:42Z

← Older revision		Revision as of 08:23, 19 December 2023
Line 1:		Line 1:
	'''E:15698 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc, Baia Mare)'''		'''E:15698 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc, Baia Mare)'''

	''Determinați numerele naturale a, b, c pentru care''<math display="block">\left(2020 a \right)^2 + \left(2021 b\right)^2 = 2022 c^2</math>'''Soluție:'''		''Determinați numerele naturale'' <math>a</math>'','' <math>b</math>'','' <math>c</math> ''pentru care''<math display="block">\left(2020 a \right)^2 + \left(2021 b\right)^2 = 2022 c^2</math>'''Soluție:'''
			Vom folosi proprietatea:

	~~Vom folosi proprietatea:~~ dacă suma pătratelor a două numere naturale este divizibilă cu ~~3, atunci fiecare număr este divizibil cu 3. Această proprietate reiese din faptul că, dacă~~ <math>~~n\in\mathbb{N}~~</math> nu este divizibil cu 3~~, atunci n<sup>2</sup> = ''M<sub>3</sub>~~'' ~~+ 1.~~		''dacă suma pătratelor a două numere naturale este divizibilă cu'' <math>3</math>'', atunci fiecare număr este divizibil cu 3.''

	Aici, deoarece 2022 este divizibil cu 3 iar 2021 și 2020 sunt divizibile cu 3, reiese că 3 ا a și 3 ا b. Dacă a ≠ 0 sau b ≠ 0, atunci a = 3a<sub>1</sub> și b = 3b<sub>1</sub>, cu a<sub>1</sub>b<sub>1</sub> ϵ ℕ, iar a<sub>1</sub> < a sau b<sub>1</sub> < b. Rezultă 9 <math>\bigl(\bigl(</math>2020a<sub>1</sub><math>\bigr)</math><sup>2</sup> + <math>\bigl(</math>2021b<sub>1</sub><math>\bigr)</math><sup>2</sup> = 2022c<sup>2</sup>, ceea ce implică c = 3c<sub>1,</sub> cu c<sub>1</sub> ϵ ℕ. Relația devine <math>\bigl(</math>2020a<sub>1</sub><math>\bigr)</math><sup>2</sup> + <math>\bigl(</math>2021b<sub>1</sub><math>\bigr)</math><sup>2</sup> = 2022c<sub>1</sub><sup>2</sup>, ceea ce, ca mai sus, duce la a<sub>1</sub> = 3a<sub>2</sub>, b<sub>1</sub> = 3b<sub>2</sub>, c<sub>1</sub> = 3c<sub>2</sub>, cu a<sub>2</sub>, b<sub>2</sub>, c<sub>2</sub> ϵ ℕ, iar a<sub>2</sub> < a<sub>1</sub> sau b<sub>2</sub> < b<sub>1</sub>. Repetând raționamentul obținem un șir nesfârșit de numere naturale a > a<sub>1</sub> > a<sub>2</sub> > . . . sau un șir nesfârșit de numere naturale b > b<sub>1</sub> > b<sub>2</sub> > . . . - imposibil. Astfel, presupunerea a ≠ 0 sau b ≠ 0 este falsă.		Această proprietate reiese din faptul că, dacă <math>n\in\mathbb{N}</math> nu este divizibil cu <math>3</math>, atunci <math>n^2 = \mathcal{M}_3+1</math>.

			Aici, deoarece <math>2022</math> este divizibil cu <math>3</math>, iar <math>2021</math> și <math>2020</math> nu sunt divizibile cu 3, reiese că 3 ا a și 3 ا b. Dacă a ≠ 0 sau b ≠ 0, atunci a = 3a<sub>1</sub> și b = 3b<sub>1</sub>, cu a<sub>1</sub>b<sub>1</sub> ϵ ℕ, iar a<sub>1</sub> < a sau b<sub>1</sub> < b. Rezultă 9 <math>\bigl(\bigl(</math>2020a<sub>1</sub><math>\bigr)</math><sup>2</sup> + <math>\bigl(</math>2021b<sub>1</sub><math>\bigr)</math><sup>2</sup> = 2022c<sup>2</sup>, ceea ce implică c = 3c<sub>1,</sub> cu c<sub>1</sub> ϵ ℕ. Relația devine <math>\bigl(</math>2020a<sub>1</sub><math>\bigr)</math><sup>2</sup> + <math>\bigl(</math>2021b<sub>1</sub><math>\bigr)</math><sup>2</sup> = 2022c<sub>1</sub><sup>2</sup>, ceea ce, ca mai sus, duce la a<sub>1</sub> = 3a<sub>2</sub>, b<sub>1</sub> = 3b<sub>2</sub>, c<sub>1</sub> = 3c<sub>2</sub>, cu a<sub>2</sub>, b<sub>2</sub>, c<sub>2</sub> ϵ ℕ, iar a<sub>2</sub> < a<sub>1</sub> sau b<sub>2</sub> < b<sub>1</sub>. Repetând raționamentul obținem un șir nesfârșit de numere naturale a > a<sub>1</sub> > a<sub>2</sub> > . . . sau un șir nesfârșit de numere naturale b > b<sub>1</sub> > b<sub>2</sub> > . . . - imposibil. Astfel, presupunerea a ≠ 0 sau b ≠ 0 este falsă.

	Rămâne soluția a = b = c = 0.		Rămâne soluția a = b = c = 0.

	''Observație''. Ideea folosită în rezolvarea de mai sus pentru a arăta că a = b= 0 reprezintă ''metoda coborârii infinite.''		''Observație''. Ideea folosită în rezolvarea de mai sus pentru a arăta că a = b= 0 reprezintă ''metoda coborârii infinite.''

Vancea Denisa at 21:05, 18 December 2023

2023-12-18T21:05:14Z

← Older revision		Revision as of 21:05, 18 December 2023
Line 3:		Line 3:
	''Determinați numerele naturale a, b, c pentru care''<math display="block">\left(2020 a \right)^2 + \left(2021 b\right)^2 = 2022 c^2</math>'''Soluție:'''		''Determinați numerele naturale a, b, c pentru care''<math display="block">\left(2020 a \right)^2 + \left(2021 b\right)^2 = 2022 c^2</math>'''Soluție:'''

	Vom folosi proprietatea: dacă suma pătratelor a două numere naturale este divizibilă cu 3, atunci fiecare număr este divizibil cu 3. Această proprietate reiese din faptul că, ~~daca~~ n ~~ϵ ℕ~~ nu este divizibil cu 3, atunci n<sup>2</sup> = ''M<sub>3</sub>'' + 1.		Vom folosi proprietatea: dacă suma pătratelor a două numere naturale este divizibilă cu 3, atunci fiecare număr este divizibil cu 3. Această proprietate reiese din faptul că, dacă <math>n\in\mathbb{N}</math> nu este divizibil cu 3, atunci n<sup>2</sup> = ''M<sub>3</sub>'' + 1.

	Aici, deoarece 2022 este divizibil cu 3 iar 2021 și 2020 sunt divizibile cu 3, reiese că 3 ا a și 3 ا b. Dacă a ≠ 0 sau b ≠ 0, atunci a = 3a<sub>1</sub> și b = 3b<sub>1</sub>, cu a<sub>1</sub>b<sub>1</sub> ϵ ℕ, iar a<sub>1</sub> < a sau b<sub>1</sub> < b. Rezultă 9 <math>\bigl(\bigl(</math>2020a<sub>1</sub><math>\bigr)</math><sup>2</sup> + <math>\bigl(</math>2021b<sub>1</sub><math>\bigr)</math><sup>2</sup> = 2022c<sup>2</sup>, ceea ce implică c = 3c<sub>1,</sub> cu c<sub>1</sub> ϵ ℕ. Relația devine <math>\bigl(</math>2020a<sub>1</sub><math>\bigr)</math><sup>2</sup> + <math>\bigl(</math>2021b<sub>1</sub><math>\bigr)</math><sup>2</sup> = 2022c<sub>1</sub><sup>2</sup>, ceea ce, ca mai sus, duce la a<sub>1</sub> = 3a<sub>2</sub>, b<sub>1</sub> = 3b<sub>2</sub>, c<sub>1</sub> = 3c<sub>2</sub>, cu a<sub>2</sub>, b<sub>2</sub>, c<sub>2</sub> ϵ ℕ, iar a<sub>2</sub> < a<sub>1</sub> sau b<sub>2</sub> < b<sub>1</sub>. Repetând raționamentul obținem un șir nesfârșit de numere naturale a > a<sub>1</sub> > a<sub>2</sub> > . . . sau un șir nesfârșit de numere naturale b > b<sub>1</sub> > b<sub>2</sub> > . . . - imposibil. Astfel, presupunerea a ≠ 0 sau b ≠ 0 este falsă.		Aici, deoarece 2022 este divizibil cu 3 iar 2021 și 2020 sunt divizibile cu 3, reiese că 3 ا a și 3 ا b. Dacă a ≠ 0 sau b ≠ 0, atunci a = 3a<sub>1</sub> și b = 3b<sub>1</sub>, cu a<sub>1</sub>b<sub>1</sub> ϵ ℕ, iar a<sub>1</sub> < a sau b<sub>1</sub> < b. Rezultă 9 <math>\bigl(\bigl(</math>2020a<sub>1</sub><math>\bigr)</math><sup>2</sup> + <math>\bigl(</math>2021b<sub>1</sub><math>\bigr)</math><sup>2</sup> = 2022c<sup>2</sup>, ceea ce implică c = 3c<sub>1,</sub> cu c<sub>1</sub> ϵ ℕ. Relația devine <math>\bigl(</math>2020a<sub>1</sub><math>\bigr)</math><sup>2</sup> + <math>\bigl(</math>2021b<sub>1</sub><math>\bigr)</math><sup>2</sup> = 2022c<sub>1</sub><sup>2</sup>, ceea ce, ca mai sus, duce la a<sub>1</sub> = 3a<sub>2</sub>, b<sub>1</sub> = 3b<sub>2</sub>, c<sub>1</sub> = 3c<sub>2</sub>, cu a<sub>2</sub>, b<sub>2</sub>, c<sub>2</sub> ϵ ℕ, iar a<sub>2</sub> < a<sub>1</sub> sau b<sub>2</sub> < b<sub>1</sub>. Repetând raționamentul obținem un șir nesfârșit de numere naturale a > a<sub>1</sub> > a<sub>2</sub> > . . . sau un șir nesfârșit de numere naturale b > b<sub>1</sub> > b<sub>2</sub> > . . . - imposibil. Astfel, presupunerea a ≠ 0 sau b ≠ 0 este falsă.

Andrei.Horvat at 18:17, 18 December 2023

2023-12-18T18:17:26Z

← Older revision		Revision as of 18:17, 18 December 2023
Line 1:		Line 1:
	'''E:15698 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc, Baia Mare)'''		'''E:15698 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc, Baia Mare)'''

	''Determinați numerele naturale a, b, c pentru care''		''Determinați numerele naturale a, b, c pentru care''<math display="block">\left(2020 a \right)^2 + \left(2021 b\right)^2 = 2022 c^2</math>'''Soluție:'''

	''(~~2020a~~)~~<sup>~~2 +~~</sup>~~ (~~2021b~~)~~<sup>~~2~~</sup>~~ = ~~2022c<sup>~~2</~~sup~~> ~~.''~~

	'''Soluție:'''

	Vom folosi proprietatea: dacă suma pătratelor a două numere naturale este divizibilă cu 3, atunci fiecare număr este divizibil cu 3. Această proprietate reiese din faptul că, daca n ϵ ℕ nu este divizibil cu 3, atunci n<sup>2</sup> = ''M<sub>3</sub>'' + 1.		Vom folosi proprietatea: dacă suma pătratelor a două numere naturale este divizibilă cu 3, atunci fiecare număr este divizibil cu 3. Această proprietate reiese din faptul că, daca n ϵ ℕ nu este divizibil cu 3, atunci n<sup>2</sup> = ''M<sub>3</sub>'' + 1.

Vancea Denisa at 19:52, 15 December 2023

2023-12-15T19:52:46Z

← Older revision		Revision as of 19:52, 15 December 2023
Line 1:		Line 1:
	'''E:15698 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc, Baia Mare)'''		'''E:15698 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc, Baia Mare)'''

	''Determinați numerele naturale a, b, c pentru care''		''Determinați numerele naturale a, b, c pentru care''

	''(2020a)<sup>2 +</sup> (2021b)<sup>2</sup> = 2022c<sup>2</sup> .''		''(2020a)<sup>2 +</sup> (2021b)<sup>2</sup> = 2022c<sup>2</sup> .''

Vancea Denisa at 19:43, 15 December 2023

2023-12-15T19:43:58Z

← Older revision		Revision as of 19:43, 15 December 2023
Line 7:		Line 7:
	'''Soluție:'''		'''Soluție:'''

	Vom folosi proprietatea: dacă suma pătratelor a două numere naturale este divizibilă cu 3, atunci fiecare număr este divizibil cu 3. Această proprietate reiese din faptul că, daca n ϵ ℕ nu este divizibil cu 3, atunci n<sup>2</sup> =		Vom folosi proprietatea: dacă suma pătratelor a două numere naturale este divizibilă cu 3, atunci fiecare număr este divizibil cu 3. Această proprietate reiese din faptul că, daca n ϵ ℕ nu este divizibil cu 3, atunci n<sup>2</sup> = ''M<sub>3</sub>'' + 1.

			Aici, deoarece 2022 este divizibil cu 3 iar 2021 și 2020 sunt divizibile cu 3, reiese că 3 ا a și 3 ا b. Dacă a ≠ 0 sau b ≠ 0, atunci a = 3a<sub>1</sub> și b = 3b<sub>1</sub>, cu a<sub>1</sub>b<sub>1</sub> ϵ ℕ, iar a<sub>1</sub> < a sau b<sub>1</sub> < b. Rezultă 9 <math>\bigl(\bigl(</math>2020a<sub>1</sub><math>\bigr)</math><sup>2</sup> + <math>\bigl(</math>2021b<sub>1</sub><math>\bigr)</math><sup>2</sup> = 2022c<sup>2</sup>, ceea ce implică c = 3c<sub>1,</sub> cu c<sub>1</sub> ϵ ℕ. Relația devine <math>\bigl(</math>2020a<sub>1</sub><math>\bigr)</math><sup>2</sup> + <math>\bigl(</math>2021b<sub>1</sub><math>\bigr)</math><sup>2</sup> = 2022c<sub>1</sub><sup>2</sup>, ceea ce, ca mai sus, duce la a<sub>1</sub> = 3a<sub>2</sub>, b<sub>1</sub> = 3b<sub>2</sub>, c<sub>1</sub> = 3c<sub>2</sub>, cu a<sub>2</sub>, b<sub>2</sub>, c<sub>2</sub> ϵ ℕ, iar a<sub>2</sub> < a<sub>1</sub> sau b<sub>2</sub> < b<sub>1</sub>. Repetând raționamentul obținem un șir nesfârșit de numere naturale a > a<sub>1</sub> > a<sub>2</sub> > . . . sau un șir nesfârșit de numere naturale b > b<sub>1</sub> > b<sub>2</sub> > . . . - imposibil. Astfel, presupunerea a ≠ 0 sau b ≠ 0 este falsă.

			Rămâne soluția a = b = c = 0.

			''Observație''. Ideea folosită în rezolvarea de mai sus pentru a arăta că a = b= 0 reprezintă ''metoda coborârii infinite.''

Vancea Denisa: Pagină nouă: '''E:15698 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc, Baia Mare)''' ''Determinați numerele naturale a, b, c pentru care'' ''(2020a)^{2 +} (2021b)² = 2022c² .'' '''Soluție:''' Vom folosi proprietatea: dacă suma pătratelor a două numere naturale este divizibilă cu 3, atunci fiecare număr este divizibil cu 3. Această proprietate reiese din faptul că, daca n ϵ ℕ nu este divizibil cu 3, atunci n² =

2023-12-11T22:23:37Z

Pagină nouă: '''E:15698 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc, Baia Mare)''' ''Determinați numerele naturale a, b, c pentru care'' ''(2020a)2 + (2021b)2 = 2022c2 .'' '''Soluție:''' Vom folosi proprietatea: dacă suma pătratelor a două numere naturale este divizibilă cu 3, atunci fiecare număr este divizibil cu 3. Această proprietate reiese din faptul că, daca n ϵ ℕ nu este divizibil cu 3, atunci n2 =

New page

'''E:15698 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc, Baia Mare)'''

''Determinați numerele naturale a, b, c pentru care''

''(2020a)2 + (2021b)2 = 2022c2 .''

'''Soluție:'''

Vom folosi proprietatea: dacă suma pătratelor a două numere naturale este divizibilă cu 3, atunci fiecare număr este divizibil cu 3. Această proprietate reiese din faptul că, daca n ϵ ℕ nu este divizibil cu 3, atunci n2 =