15678 - Revision history

Andrei.Horvat at 08:40, 1 December 2024

2024-12-01T08:40:57Z

← Older revision		Revision as of 08:40, 1 December 2024
Line 1:		Line 1:
	'''15678 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc)'''		'''15678 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc)'''

	''Aflați toate numerele de forma ''<math>\overline{abcd}</math> ''pentru care<math display="block">\overline{abcd} = 2021+5(a-c+b-d+1).</math>~~'''Soluție:'''~~		''Aflați toate numerele de forma ''<math>\overline{abcd}</math> ''pentru care<math display="block">\overline{abcd} = 2021+5(a-c+b-d+1).</math>


			'''Soluție:'''
	Ultima cifră numărului <math>5(a-c+b-d+1)</math> poate fi <math>0</math> sau <math>5</math>. Atunci ultima cifră a numărului <math>2021+5(a-c+b-d+1)</math> poate fi <math>1</math> sau <math>6</math>, de unde deducem că <math>d=1</math> sau <math>d=6</math>.		Ultima cifră numărului <math>5(a-c+b-d+1)</math> poate fi <math>0</math> sau <math>5</math>. Atunci ultima cifră a numărului <math>2021+5(a-c+b-d+1)</math> poate fi <math>1</math> sau <math>6</math>, de unde deducem că <math>d=1</math> sau <math>d=6</math>.

Andrei.Horvat at 10:42, 16 January 2024

2024-01-16T10:42:14Z

← Older revision		Revision as of 10:42, 16 January 2024
Line 1:		Line 1:
	'''15678 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc)'''		'''15678 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc)'''

	''Aflați toate numerele de forma ''<math>\overline{abcd}</math>''pentru care<math display="block">\overline{abcd} = 2021+5(a-c+b-d+1).</math>		''Aflați toate numerele de forma ''<math>\overline{abcd}</math> ''pentru care<math display="block">\overline{abcd} = 2021+5(a-c+b-d+1).</math>'''Soluție:'''

	~~'''Soluție:'''~~

	Ultima cifră numărului <math>5(a-c+b-d+1)</math> poate fi <math>0</math> sau <math>5</math>. Atunci ultima cifră a numărului <math>2021+5(a-c+b-d+1)</math> poate fi <math>1</math> sau <math>6</math>,de unde deducem că <math>d=1</math> sau <math>d=6</math>.		Ultima cifră numărului <math>5(a-c+b-d+1)</math> poate fi <math>0</math> sau <math>5</math>. Atunci ultima cifră a numărului <math>2021+5(a-c+b-d+1)</math> poate fi <math>1</math> sau <math>6</math>, de unde deducem că <math>d=1</math> sau <math>d=6</math>.

	'''1.''' Pentru <math>d=1</math> relația devine <math>\overline{abcd} = 2021+5(a-c+b)</math>. Deoarece <math>a-c+b \le 18</math> avem <math>2021+5(a-c+b) \le 2111</math> și, cum <math>\overline{abcd}= 2021+5(a-c+b)</math>, obținem <math>a \le 2</math>.		'''1.''' Pentru <math>d=1</math> relația devine <math>\overline{abcd} = 2021+5(a-c+b)</math>. Deoarece <math>a-c+b \le 18</math> avem <math>2021+5(a-c+b) \le 2111</math> și, cum <math>\overline{abcd}= 2021+5(a-c+b)</math>, obținem <math>a \le 2</math>.

Andrei.Horvat at 10:40, 16 January 2024

2024-01-16T10:40:52Z

← Older revision		Revision as of 10:40, 16 January 2024
Line 15:		Line 15:
	Pentru <math>a=1</math> nu obținem nicio soluție.		Pentru <math>a=1</math> nu obținem nicio soluție.

	'''2.''' Pentru <math>d=6</math> relația dată devine <math>\overline{abc6} = 2021+5(a-c+b-5)</math>. Deoarece <math>a-c+b-5 \le 13/<math> avem <math>2021+5(a-c+b) \le 2086</math> și cum <math>\overline{abc6} = 2021+5(a-c+b-5)</math>, obținem <math>a \le 2</math>.		'''2.''' Pentru <math>d=6</math> relația dată devine <math>\overline{abc6} = 2021+5(a-c+b-5)</math>. Deoarece <math>a-c+b-5 \le 13</math> avem <math>2021+5(a-c+b) \le 2086</math> și cum <math>\overline{abc6} = 2021+5(a-c+b-5)</math>, obținem <math>a \le 2</math>.

	Pentru <math>a=2</math> relația dată devine <math>\overline{2bc6} = 2021+5(2-c+b-5)</math> sau <math>2006+100b+10c=2006-5c+5b</math>, de unde <math>95b+15c=0</math>. De aici <math>b=0</math> și <math>c=0</math>.		Pentru <math>a=2</math> relația dată devine <math>\overline{2bc6} = 2021+5(2-c+b-5)</math> sau <math>2006+100b+10c=2006-5c+5b</math>, de unde <math>95b+15c=0</math>. De aici <math>b=0</math> și <math>c=0</math>.

Andrei.Horvat at 10:40, 16 January 2024

2024-01-16T10:40:24Z

← Older revision		Revision as of 10:40, 16 January 2024
Line 7:		Line 7:
	Ultima cifră numărului <math>5(a-c+b-d+1)</math> poate fi <math>0</math> sau <math>5</math>. Atunci ultima cifră a numărului <math>2021+5(a-c+b-d+1)</math> poate fi <math>1</math> sau <math>6</math>,de unde deducem că <math>d=1</math> sau <math>d=6</math>.		Ultima cifră numărului <math>5(a-c+b-d+1)</math> poate fi <math>0</math> sau <math>5</math>. Atunci ultima cifră a numărului <math>2021+5(a-c+b-d+1)</math> poate fi <math>1</math> sau <math>6</math>,de unde deducem că <math>d=1</math> sau <math>d=6</math>.

	Pentru <math>d=1</math> relația devine <math>\overline{abcd} = 2021+5(a-c+b)</math>. Deoarece <math>a-c+b \le 18</math> avem <math>2021+5(a-c+b) \le 2111</math> și, cum <math>\overline{abcd}= 2021+5(a-c+b)</math>, obținem <math>a \le 2<math>.		'''1.''' Pentru <math>d=1</math> relația devine <math>\overline{abcd} = 2021+5(a-c+b)</math>. Deoarece <math>a-c+b \le 18</math> avem <math>2021+5(a-c+b) \le 2111</math> și, cum <math>\overline{abcd}= 2021+5(a-c+b)</math>, obținem <math>a \le 2</math>.

	Pentru <math>a=2</math> relația dată devine <math>\overline{2bc1} = 2021+5(2-c+b)</math> sau <math>2001+100b+10c=2031-5c+5b</math>, de unde <math>95b+15c=30</math>.		Pentru <math>a=2</math> relația dată devine <math>\overline{2bc1} = 2021+5(2-c+b)</math> sau <math>2001+100b+10c=2031-5c+5b</math>, de unde <math>95b+15c=30</math>.
Line 15:		Line 15:
	Pentru <math>a=1</math> nu obținem nicio soluție.		Pentru <math>a=1</math> nu obținem nicio soluție.

	Pentru <math>d=6</math> relația dată devine <math>\overline{abc6} = 2021+5(a-c+b-5)</math>. Deoarece <math>a-c+b-5 \le 13/<math> avem <math>2021+5(a-c+b) \le 2086</math> și cum <math>\overline{abc6} = 2021+5(a-c+b-5)</math>, obținem <math>a \le 2</math>.		'''2.''' Pentru <math>d=6</math> relația dată devine <math>\overline{abc6} = 2021+5(a-c+b-5)</math>. Deoarece <math>a-c+b-5 \le 13/<math> avem <math>2021+5(a-c+b) \le 2086</math> și cum <math>\overline{abc6} = 2021+5(a-c+b-5)</math>, obținem <math>a \le 2</math>.

	Pentru <math>a=2</math> relația dată devine <math>\overline{2bc6} = 2021+5(2-c+b-5)</math> sau <math>2006+100b+10c=2006-5c+5b</math>, de unde <math>95b+15c=0</math>. De aici <math>b=0</math> și <math>c=0</math>.		Pentru <math>a=2</math> relația dată devine <math>\overline{2bc6} = 2021+5(2-c+b-5)</math> sau <math>2006+100b+10c=2006-5c+5b</math>, de unde <math>95b+15c=0</math>. De aici <math>b=0</math> și <math>c=0</math>.

Andrei.Horvat at 10:38, 16 January 2024

2024-01-16T10:38:18Z

← Older revision		Revision as of 10:38, 16 January 2024
Line 7:		Line 7:
	Ultima cifră numărului <math>5(a-c+b-d+1)</math> poate fi <math>0</math> sau <math>5</math>. Atunci ultima cifră a numărului <math>2021+5(a-c+b-d+1)</math> poate fi <math>1</math> sau <math>6</math>,de unde deducem că <math>d=1</math> sau <math>d=6</math>.		Ultima cifră numărului <math>5(a-c+b-d+1)</math> poate fi <math>0</math> sau <math>5</math>. Atunci ultima cifră a numărului <math>2021+5(a-c+b-d+1)</math> poate fi <math>1</math> sau <math>6</math>,de unde deducem că <math>d=1</math> sau <math>d=6</math>.

	Pentru <math>d=1<math> relația devine <math>\overline{abcd} = 2021+5(a-c+b)</math>. Deoarece <math>a-c+b \le 18</math> avem <math>2021+5(a-c+b) \le 2111</math> și, cum <math>\overline{abcd}= 2021+5(a-c+b)</math>, obținem <math>a \le 2<math>.		Pentru <math>d=1</math> relația devine <math>\overline{abcd} = 2021+5(a-c+b)</math>. Deoarece <math>a-c+b \le 18</math> avem <math>2021+5(a-c+b) \le 2111</math> și, cum <math>\overline{abcd}= 2021+5(a-c+b)</math>, obținem <math>a \le 2<math>.

	Pentru <math>a=2</math> relația dată devine <math>\overline{2bc1} = 2021+5(2-c+b)</math> sau <math>2001+100b+10c=2031-5c+5b</math>, de unde <math>95b+15c=30</math>.		Pentru <math>a=2</math> relația dată devine <math>\overline{2bc1} = 2021+5(2-c+b)</math> sau <math>2001+100b+10c=2031-5c+5b</math>, de unde <math>95b+15c=30</math>.
Line 15:		Line 15:
	Pentru <math>a=1</math> nu obținem nicio soluție.		Pentru <math>a=1</math> nu obținem nicio soluție.

	Pentru <math>d=6</math> relația dată devine <math>\overline{abc6} = 2021+5(a-c+b-5)<math>. Deoarece <math>a-c+b-5 \le 13/<math> avem <math>2021+5(a-c+b) \le 2086<math> și cum <math>\overline{abc6} = 2021+5(a-c+b-5)</math>, obținem <math>a \le 2</math>.		Pentru <math>d=6</math> relația dată devine <math>\overline{abc6} = 2021+5(a-c+b-5)</math>. Deoarece <math>a-c+b-5 \le 13/<math> avem <math>2021+5(a-c+b) \le 2086</math> și cum <math>\overline{abc6} = 2021+5(a-c+b-5)</math>, obținem <math>a \le 2</math>.

	Pentru <math>a=2</math> relația dată devine <math>\overline{2bc6} = 2021+5(2-c+b-5)</math> sau <math>2006+100b+10c=2006-5c+5b</math>, de unde <math>95b+15c=0</math>. De aici <math>b=0</math> și <math>c=0</math>.		Pentru <math>a=2</math> relația dată devine <math>\overline{2bc6} = 2021+5(2-c+b-5)</math> sau <math>2006+100b+10c=2006-5c+5b</math>, de unde <math>95b+15c=0</math>. De aici <math>b=0</math> și <math>c=0</math>.

Andrei.Horvat at 10:37, 16 January 2024

2024-01-16T10:37:00Z

← Older revision		Revision as of 10:37, 16 January 2024
Line 5:		Line 5:
	'''Soluție:'''		'''Soluție:'''

	Ultima cifră numărului <math>5(a-c+b-d+1)</math> poate fi <math>0</math> sau <math>5</math>. Atunci ultima cifră a numărului <math>2021+5(a-c+b-d+1)</math> poate fi <math>1<math> sau <math>6</math>,de unde deducem că <math>d=1</math> sau <math>d=6</math>.		Ultima cifră numărului <math>5(a-c+b-d+1)</math> poate fi <math>0</math> sau <math>5</math>. Atunci ultima cifră a numărului <math>2021+5(a-c+b-d+1)</math> poate fi <math>1</math> sau <math>6</math>,de unde deducem că <math>d=1</math> sau <math>d=6</math>.

	Pentru <math>d=1<math> relația devine <math>\overline{abcd} = 2021+5(a-c+b)</math>. Deoarece <math>a-c+b \le 18</math> avem <math>2021+5(a-c+b) \le 2111</math> și, cum <math>\overline{abcd}= 2021+5(a-c+b)</math>, obținem <math>a \le 2<math>.		Pentru <math>d=1<math> relația devine <math>\overline{abcd} = 2021+5(a-c+b)</math>. Deoarece <math>a-c+b \le 18</math> avem <math>2021+5(a-c+b) \le 2111</math> și, cum <math>\overline{abcd}= 2021+5(a-c+b)</math>, obținem <math>a \le 2<math>.

Andrei.Horvat at 10:36, 16 January 2024

2024-01-16T10:36:22Z

@@ Line 1: / Line 1: @@
 '''15678 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc)'''
-''Aflați toate numerele de forma ''<math>\overline{abcd}</math>''pentru care<math display="block">\overline{abcd} = 2021+5(a-c+b-d+1).</math>'''Soluție:'''
+''Aflați toate numerele de forma ''<math>\overline{abcd}</math>''pentru care<math display="block">\overline{abcd} = 2021+5(a-c+b-d+1).</math>
-Ultima cifră numărului <math>5(a-c+b-d+1)</math> poate fi 0 sau 5.Atunci ultima cifră a numărului 2021+5(a-c+b-d+1) poate fi 1 sau 6,de unde deducem că d=1 sau d=6.Pentru d=1 relația devine <math>\overline{abcd}</math>= 2021+5(a-c+b).Deoarece a-c+b≤18 avem 2021+5(a-c+b)≤2111 și, cum <math>\overline{abcd}</math>= 2021+5(a-c+b), obținem a≤2.Pentru a=2 relația dată devine <math>\overline{2bc1}</math>= 2021+5(2-c+b)sau 2001+100b+10c=2031-5c+5b,de unde 95b+15c=30.De aici b=0 și c=2.Numărul căutat este 2021.Pentru a=1 nu obținem nicio soluție.Pentru d=6 relația dată devine <math>\overline{abc6}</math>= 2021+5(a-c+b-5).Deoarece a-c+b-5≤13 avem 2021+5(a-c+b)≤2086 și cum <math>\overline{abc6}</math>= 2021+5(a-c+b-5),obținem a≤2.Pentru a=2 relația dată devine <math>\overline{2bc6}</math>= 2021+5(2-c+b-5) sau 2006+100b+10c=2006-5c+5b,de unde 95b+15c=0.De aici b=0 și c=0.Numărul căutat este 2006.Pentru a=1 nu obținem nicio soluție.
+Ultima cifră numărului <math>5(a-c+b-d+1)</math> poate fi <math>0</math> sau <math>5</math>. Atunci ultima cifră a numărului <math>2021+5(a-c+b-d+1)</math> poate fi <math>1<math> sau <math>6</math>,de unde deducem că <math>d=1</math> sau <math>d=6</math>.

Andrei.Horvat at 10:29, 16 January 2024

2024-01-16T10:29:18Z

← Older revision		Revision as of 10:29, 16 January 2024
Line 1:		Line 1:
	'''15678 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc~~, Baia Mare~~)'''		'''15678 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc)'''

	''Aflați toate numerele de forma ''<math>\overline{abcd}</math>''pentru care<math display="block">\overline{abcd} = 2021+5(a-c+b-d+1).</math>''		''Aflați toate numerele de forma ''<math>\overline{abcd}</math>''pentru care<math display="block">\overline{abcd} = 2021+5(a-c+b-d+1).</math>'''Soluție:'''

	~~'''Soluție:'''~~

	''Ultima cifră numărului 5(a-c+b-d+1) poate fi 0 sau 5.Atunci ultima cifră a numărului 2021+5(a-c+b-d+1) poate fi 1 sau 6,de unde deducem că d=1 sau d=6.Pentru d=1 relația devine ''<math>\overline{abcd}</math>''= 2021+5(a-c+b).Deoarece a-c+b≤18 avem 2021+5(a-c+b)≤2111 și, cum ''<math>\overline{abcd}</math>''= 2021+5(a-c+b), obținem a≤2.Pentru a=2 relația dată devine ''<math>\overline{2bc1}</math>''= 2021+5(2-c+b)sau 2001+100b+10c=2031-5c+5b,de unde 95b+15c=30.De aici b=0 și c=2.Numărul căutat este 2021.Pentru a=1 nu obținem nicio soluție.Pentru d=6 relația dată devine ''<math>\overline{abc6}</math>''= 2021+5(a-c+b-5).Deoarece a-c+b-5≤13 avem 2021+5(a-c+b)≤2086 și cum ''<math>\overline{abc6}</math>''= 2021+5(a-c+b-5),obținem a≤2.Pentru a=2 relația dată devine ''<math>\overline{2bc6}</math>''= 2021+5(2-c+b-5) sau 2006+100b+10c=2006-5c+5b,de unde 95b+15c=0.De aici b=0 și c=0.Numărul căutat este 2006.Pentru a=1 nu obținem nicio soluție.''		Ultima cifră numărului <math>5(a-c+b-d+1)</math> poate fi 0 sau 5.Atunci ultima cifră a numărului 2021+5(a-c+b-d+1) poate fi 1 sau 6,de unde deducem că d=1 sau d=6.Pentru d=1 relația devine <math>\overline{abcd}</math>= 2021+5(a-c+b).Deoarece a-c+b≤18 avem 2021+5(a-c+b)≤2111 și, cum <math>\overline{abcd}</math>= 2021+5(a-c+b), obținem a≤2.Pentru a=2 relația dată devine <math>\overline{2bc1}</math>= 2021+5(2-c+b)sau 2001+100b+10c=2031-5c+5b,de unde 95b+15c=30.De aici b=0 și c=2.Numărul căutat este 2021.Pentru a=1 nu obținem nicio soluție.Pentru d=6 relația dată devine <math>\overline{abc6}</math>= 2021+5(a-c+b-5).Deoarece a-c+b-5≤13 avem 2021+5(a-c+b)≤2086 și cum <math>\overline{abc6}</math>= 2021+5(a-c+b-5),obținem a≤2.Pentru a=2 relația dată devine <math>\overline{2bc6}</math>= 2021+5(2-c+b-5) sau 2006+100b+10c=2006-5c+5b,de unde 95b+15c=0.De aici b=0 și c=0.Numărul căutat este 2006.Pentru a=1 nu obținem nicio soluție.

Paul Matei at 08:42, 16 January 2024

2024-01-16T08:42:38Z

← Older revision		Revision as of 08:42, 16 January 2024
Line 5:		Line 5:
	'''Soluție:'''		'''Soluție:'''

	''Ultima cifră numărului 5(a-c+b-d+1) poate fi 0 sau 5.Atunci ultima cifră a numărului 2021+5(a-c+b-d+1) poate fi 1 sau 6,de unde deducem că d=1 sau d=6.''		''Ultima cifră numărului 5(a-c+b-d+1) poate fi 0 sau 5.Atunci ultima cifră a numărului 2021+5(a-c+b-d+1) poate fi 1 sau 6,de unde deducem că d=1 sau d=6.Pentru d=1 relația devine ''<math>\overline{abcd}</math>''= 2021+5(a-c+b).Deoarece a-c+b≤18 avem 2021+5(a-c+b)≤2111 și, cum ''<math>\overline{abcd}</math>''= 2021+5(a-c+b), obținem a≤2.Pentru a=2 relația dată devine ''<math>\overline{2bc1}</math>''= 2021+5(2-c+b)sau 2001+100b+10c=2031-5c+5b,de unde 95b+15c=30.De aici b=0 și c=2.Numărul căutat este 2021.Pentru a=1 nu obținem nicio soluție.Pentru d=6 relația dată devine ''<math>\overline{abc6}</math>''= 2021+5(a-c+b-5).Deoarece a-c+b-5≤13 avem 2021+5(a-c+b)≤2086 și cum ''<math>\overline{abc6}</math>''= 2021+5(a-c+b-5),obținem a≤2.Pentru a=2 relația dată devine ''<math>\overline{2bc6}</math>''= 2021+5(2-c+b-5) sau 2006+100b+10c=2006-5c+5b,de unde 95b+15c=0.De aici b=0 și c=0.Numărul căutat este 2006.Pentru a=1 nu obținem nicio soluție.''

Paul Matei at 07:47, 16 January 2024

2024-01-16T07:47:49Z

← Older revision		Revision as of 07:47, 16 January 2024
Line 1:		Line 1:
	'''~~14441~~ (~~Constantin Apostol~~, ~~Rm. Sărat~~)'''		'''15678 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc, Baia Mare)'''

	''~~Arătați că oricare ar fi cifrele~~ '' <math>a</math> '' ~~și <math>b</math>, numărul~~ <math>\overline{~~ab15~~}</math> ~~are un număr par de divizori naturali.~~''		''Aflați toate numerele de forma ''<math>\overline{abcd}</math>''pentru care<math display="block">\overline{abcd} = 2021+5(a-c+b-d+1).</math>''

	'''Soluție:'''		'''Soluție:'''

	''~~Se știe că un număr natural cu un număr impar de divizori este pătrat perfect~~.~~De asemenea, un pătrat perfect care are cifra unităților~~ 5 ~~are cifra zecilor 2.Cu acestea~~, ~~dacă presupunem~~ că ~~numărul <math>\overline{ab15}</math> are un număr impar de divizori, atunci el este pătrat perfect-fals~~.''		''Ultima cifră numărului 5(a-c+b-d+1) poate fi 0 sau 5.Atunci ultima cifră a numărului 2021+5(a-c+b-d+1) poate fi 1 sau 6,de unde deducem că d=1 sau d=6.''