Andrei.Horvat at 08:01, 3 January 2025

2025-01-03T08:01:16Z

← Older revision		Revision as of 08:01, 3 January 2025
Line 1:		Line 1:
	'''15348 (Gheorghe Boroica, Baia Mare)'''		'''E:15348 (Gheorghe Boroica, Baia Mare)'''

	''Determinați valorile naturale ale numărului <math>a</math> pentru care există <math>x, y \in \mathbb{N}^*</math> astfel încât <math>x^3 + 2y^3 = a \cdot (2x^2y + xy^2)</math>.''		''Determinați valorile naturale ale numărului <math>a</math> pentru care există <math>x, y \in \mathbb{N}^*</math> astfel încât <math>x^3 + 2y^3 = a \cdot (2x^2y + xy^2)</math>.''

Zmicala Narcis: Created page with "'''15348 (Gheorghe Boroica, Baia Mare)''' ''Determinați valorile naturale ale numărului $a$ pentru care există $x, y \in \mathbb{N}^*$ astfel încât $x^3 + 2y^3 = a \cdot (2x^2y + xy^2)$ .'' '''Soluție.''' Fie $d = (x, y)$ . Atunci $x = dp$ și $y = dq$ , unde $p$ și $q$ sunt numere naturale prime între ele. Cu aceasta relația dată devine $p^3 + 2q^3 = a(2p^2q + pq^2)<..."$

2025-01-02T16:49:14Z

Created page with "'''15348 (Gheorghe Boroica, Baia Mare)''' ''Determinați valorile naturale ale numărului <math>a</math> pentru care există <math>x, y \in \mathbb{N}^*</math> astfel încât <math>x^3 + 2y^3 = a \cdot (2x^2y + xy^2)</math>.'' '''Soluție.''' Fie <math>d = (x, y)</math>. Atunci <math>x = dp</math> și <math>y = dq</math>, unde <math>p</math> și <math>q</math> sunt numere naturale prime între ele. Cu aceasta relația dată devine <math>p^3 + 2q^3 = a(2p^2q + pq^2)<..."

New page

'''15348 (Gheorghe Boroica, Baia Mare)'''

''Determinați valorile naturale ale numărului <math>a</math> pentru care există <math>x, y \in \mathbb{N}^*</math> astfel încât <math>x^3 + 2y^3 = a \cdot (2x^2y + xy^2)</math>.''

'''Soluție.'''

Fie <math>d = (x, y)</math>. Atunci <math>x = dp</math> și <math>y = dq</math>, unde <math>p</math> și <math>q</math> sunt numere naturale prime între ele. Cu aceasta relația dată devine <math>p^3 + 2q^3 = a(2p^2q + pq^2)</math> sau <math>p^3 = aq(2p^2 + pq) - 2q^3</math>, <math>(1)</math>, de unde rezultă <math>q \mid p^3</math>.

Cum <math>(p, q) = 1</math>, obținem <math>q = 1</math>. Relația <math>(1)</math> devine <math>p^3 = a(2p^2 + p) - 2</math>, <math>(2)</math>. Din <math>(2)</math> deducem că <math>p \mid 2</math>, adică <math>p = 1</math> sau <math>p = 2</math>.

Înlocuind în <math>(2)</math> <math>p = 1</math> sau <math>p = 2</math> obținem, de fiecare dată, <math>a = 1</math>.

15348 - Revision history

Andrei.Horvat at 08:01, 3 January 2025