14683 - Revision history

Andreica Dragos at 14:50, 16 January 2024

2024-01-16T14:50:53Z

← Older revision		Revision as of 14:50, 16 January 2024
Line 11:		Line 11:
	'''Soluție:'''		'''Soluție:'''

	Notăm <math>a = m(\angle ABC)</math> și <math>x = m(\angle BAM)</math>. Avem <math>m(\angle BAC) = 2a + 30^\circ</math> și <math>m(\angle CAM) = 2x</math>, din ipoteză.		Notăm <math>a = m(\angle ABC)</math> și <math>x = m(\angle BAM)</math>. Avem <math>m(\angle BAC) = 2a + 30^\circ</math> și <math>m(\angle CAM) = 2x</math>, din ipoteză. Atunci <math>3x = 2a + 30^\circ</math> de unde <math>x = \frac{2a}{3} + 10^\circ</math>. Pe de altă parte avem <math>m = (\angle AMC) = a + x = \frac{5a}{3}+ 10^\circ</math> ca unghi exterior <math>\triangle AMB</math>. Cum AM = AC vom avea <math>m(\angle ACM) = \frac {5a}{3} + 10^\circ</math>. Acum în <math>\triangle ABC</math> avem <math>a + 2a + 30^\circ + \frac{5a}{3} + 10^\circ = 180^\circ</math>, de unde <math>a = 30^\circ</math>, apoi <math>x = 30^\circ</math> și <math>m(\angle AMC) = 60^\circ</math>. Rezultă acum că triunghiul ABM este isoscel, de unde BM = AM, iar <math>\triangle AMC</math>(1) este echilateral AM = AC = CM,(2). Din (1) și (2) rezultă BM = MC.

Andreica Dragos at 14:33, 16 January 2024

2024-01-16T14:33:13Z

← Older revision		Revision as of 14:33, 16 January 2024
Line 11:		Line 11:
	'''Soluție:'''		'''Soluție:'''

	~~Relația din enunț se mai poate scrie~~ <math>~~2^x - 2^y~~ = ~~3^x - 3^y</math>. Presupunem că <math>x~~ \~~neq y~~</math>~~; atunci x < y sau x > y.~~		Notăm <math>a = m(\angle ABC)</math> și <math>x = m(\angle BAM)</math>. Avem <math>m(\angle BAC) = 2a + 30^\circ</math> și <math>m(\angle CAM) = 2x</math>, din ipoteză.

	~~Dacă x > y atunci relația se scrie~~ <math>~~2^y(2^{~~x~~-y} - 1)~~ = ~~3^y~~(~~3^{x-y} - 1~~)</math>. Avem <math>2^~~y < 3^y~~</math> și <math>~~2^{x-y} - 1 < 3^{x-y} -1 </math>, de unde <math>2^y~~(~~2^{x-y}-1) < 3^y(3^{x-y} - 1~~)</math>, ~~ceea ce este fals. Analog se procedează dacă x < y. În concluzie x = y~~.

Andreica Dragos at 14:28, 16 January 2024

2024-01-16T14:28:27Z

← Older revision		Revision as of 14:28, 16 January 2024
Line 1:		Line 1:
	'''~~14683~~ (~~Răzvan Ceuca~~)'''		'''14682 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc)'''

	'''Enunț:'''		'''Enunț:'''

	~~Fie x și y două numere naturale nenule. Demonstrați că dacă~~ <math>2^x + 3^y = 2~~^y + 3^x~~</math>, ~~atunci x~~ = y.		Se consideră triunghiul ABC în care <math>m(\angle A) = 2 \cdot m(\angle B) + 30^\circ</math>. Punctul M este situat pe segmentul (BC) astfel încât AM = AC.

			Dacă <math>m(\angle MAC) = 2 \cdot m(\angle MAB)</math>, arătați că BM = MC.

Andreica Dragos at 11:58, 16 January 2024

2024-01-16T11:58:54Z

← Older revision		Revision as of 11:58, 16 January 2024
Line 1:		Line 1:
	'''14683 (Răzvan Ceuca)'''		'''14683 (Răzvan Ceuca)'''

	'''Enunț'''		'''Enunț:'''

	Fie x și y două numere naturale nenule. Demonstrați că dacă <math>2^x + 3^y = 2^y + 3^x</math>, atunci x = y.		Fie x și y două numere naturale nenule. Demonstrați că dacă <math>2^x + 3^y = 2^y + 3^x</math>, atunci x = y.

Andreica Dragos at 11:58, 16 January 2024

2024-01-16T11:58:32Z

← Older revision		Revision as of 11:58, 16 January 2024
Line 1:		Line 1:
	'''14683 (Răzvan Ceuca)'''		'''14683 (Răzvan Ceuca)'''

	''Fie ~~matricele <math>A, B \in \mathcal{M}_3(\mathbb{C}),</math> care verifică simultan condițiile:~~		'''Enunț'''
	~~<ol style="list-style-type:lower-roman">~~		Fie x și y două numere naturale nenule. Demonstrați că dacă <math>2^x + 3^y = 2^y + 3^x</math>, atunci x = y.
	~~<li><i><math>AB = BA;</math></i></li>~~
	~~<li><i>matricea <math>A</math> este nilpotentă~~ și ~~matricea <math>B</math> este inversabilă~~.~~<br>Arătați~~ că ~~ecuația~~ <math>AX + XA = ~~B</math> nu are soluții în <math>\mathcal{M}_3(\mathbb{C})~~</math>.~~</i></li>~~
	~~</ol>~~

	'''Soluție:'''		'''Soluție:'''
Line 11:		Line 10:
	Relația din enunț se mai poate scrie <math>2^x - 2^y = 3^x - 3^y</math>. Presupunem că <math>x \neq y</math>; atunci x < y sau x > y.		Relația din enunț se mai poate scrie <math>2^x - 2^y = 3^x - 3^y</math>. Presupunem că <math>x \neq y</math>; atunci x < y sau x > y.

	Dacă x > y atunci relația se scrie <math>2^y(2^{x-y} - 1) = 3^y(3^{x-y} - 1)</math>.		Dacă x > y atunci relația se scrie <math>2^y(2^{x-y} - 1) = 3^y(3^{x-y} - 1)</math>. Avem <math>2^y < 3^y</math> și <math>2^{x-y} - 1 < 3^{x-y} -1 </math>, de unde <math>2^y(2^{x-y}-1) < 3^y(3^{x-y} - 1)</math>, ceea ce este fals. Analog se procedează dacă x < y. În concluzie x = y.

	Avem <math>2^y < 3^y</math> și <math>2^{x-y} - 1 < 3^{x-y} -1 </math>, de unde <math>2^y(2^{x-y}-1) < 3^y(3^{x-y} - 1)</math>, ceea ce este fals.


	Analog se procedează dacă x < y. În concluzie x = y.

Andreica Dragos at 11:55, 16 January 2024

2024-01-16T11:55:48Z

← Older revision		Revision as of 11:55, 16 January 2024
Line 13:		Line 13:
	Dacă x > y atunci relația se scrie <math>2^y(2^{x-y} - 1) = 3^y(3^{x-y} - 1)</math>.		Dacă x > y atunci relația se scrie <math>2^y(2^{x-y} - 1) = 3^y(3^{x-y} - 1)</math>.

	Avem <math>2^y ~~<~~ 3^y</math> și <math>2^{x-y} - 1 ~~<~~ 3^{x-y} -1 </math>, de unde <math>2^y(2^{x-y}-1) ~~<~~ 3^y(3^{x-y} - 1)</math>, ceea ce este fals.		Avem <math>2^y < 3^y</math> și <math>2^{x-y} - 1 < 3^{x-y} -1 </math>, de unde <math>2^y(2^{x-y}-1) < 3^y(3^{x-y} - 1)</math>, ceea ce este fals.


	Analog se procedează dacă x < y. În concluzie x ~~&eq;~~ y.		Analog se procedează dacă x < y. În concluzie x = y.

Andreica Dragos at 11:52, 16 January 2024

2024-01-16T11:52:42Z

← Older revision		Revision as of 11:52, 16 January 2024
Line 11:		Line 11:
	Relația din enunț se mai poate scrie <math>2^x - 2^y = 3^x - 3^y</math>. Presupunem că <math>x \neq y</math>; atunci x < y sau x > y.		Relația din enunț se mai poate scrie <math>2^x - 2^y = 3^x - 3^y</math>. Presupunem că <math>x \neq y</math>; atunci x < y sau x > y.

	Dacă x > y atunci relația se scrie <math>2^y(2^{x-y} - 1) ~~\cdot~~ 3^y(3^{x-y} - 1)</math>, ceea ce este fals. Analog se procedează dacă x < y. În concluzie x = y.		Dacă x > y atunci relația se scrie <math>2^y(2^{x-y} - 1) = 3^y(3^{x-y} - 1)</math>.

			Avem <math>2^y < 3^y</math> și <math>2^{x-y} - 1 < 3^{x-y} -1 </math>, de unde <math>2^y(2^{x-y}-1) < 3^y(3^{x-y} - 1)</math>, ceea ce este fals.


			Analog se procedează dacă x < y. În concluzie x &eq; y.

Andreica Dragos at 11:46, 16 January 2024

2024-01-16T11:46:35Z

← Older revision		Revision as of 11:46, 16 January 2024
Line 9:		Line 9:
	'''Soluție:'''		'''Soluție:'''

	Relația din enunț se mai poate scrie <math>2^x - 2^y = 3^x - 3^y</math>. Presupunem că x != y; atunci x < y sau x > y.		Relația din enunț se mai poate scrie <math>2^x - 2^y = 3^x - 3^y</math>. Presupunem că <math>x \neq y</math>; atunci x < y sau x > y.

	Dacă x > y atunci relația se scrie <math>2^y(2^{x-y} - 1) \cdot 3^y(3^{x-y} - 1)</math>, ceea ce este fals. Analog se procedează dacă x < y. În concluzie x = y.		Dacă x > y atunci relația se scrie <math>2^y(2^{x-y} - 1) \cdot 3^y(3^{x-y} - 1)</math>, ceea ce este fals. Analog se procedează dacă x < y. În concluzie x = y.

Andreica Dragos at 11:45, 16 January 2024

2024-01-16T11:45:24Z

← Older revision		Revision as of 11:45, 16 January 2024
Line 9:		Line 9:
	'''Soluție:'''		'''Soluție:'''

	Relația din enunț se mai poate scrie <math>2^x - 2^y = 3^x - 3^y)</math>. Presupunem că x != y; atunci x < y sau x > y.		Relația din enunț se mai poate scrie <math>2^x - 2^y = 3^x - 3^y</math>. Presupunem că x != y; atunci x < y sau x > y.

	Dacă x > y atunci relația se scrie 2y(2x-y - 1) 3y (3x-y - 1), ceea ce este fals. Analog se procedează dacă x < y. În concluzie x = y.		Dacă x > y atunci relația se scrie <math>2^y(2^{x-y} - 1) \cdot 3^y(3^{x-y} - 1)</math>, ceea ce este fals. Analog se procedează dacă x < y. În concluzie x = y.

Andreica Dragos at 11:44, 16 January 2024

2024-01-16T11:44:43Z

← Older revision		Revision as of 11:44, 16 January 2024
Line 9:		Line 9:
	'''Soluție:'''		'''Soluție:'''

	Relația din enunț se mai poate scrie <math>(2^{x-y~~} - 1) \cdot (~~3^{x-y~~} - 1~~)</math>. Presupunem că x != y; atunci x < y sau x > y.		Relația din enunț se mai poate scrie <math>2^x - 2^y = 3^x - 3^y)</math>. Presupunem că x != y; atunci x < y sau x > y.

	Dacă x > y atunci relația se scrie 2y(2x-y - 1) 3y (3x-y - 1), ceea ce este fals. Analog se procedează dacă x < y. În concluzie x = y.		Dacă x > y atunci relația se scrie 2y(2x-y - 1) 3y (3x-y - 1), ceea ce este fals. Analog se procedează dacă x < y. În concluzie x = y.