14527 - Revision history

Andrei.Horvat at 12:45, 2 January 2025

2025-01-02T12:45:45Z

← Older revision		Revision as of 12:45, 2 January 2025
Line 18:		Line 18:
	\end{align}</math>''Pe de altă parte, avem <math>2013^2 = 3^2 \cdot 11^2 \cdot 61^2 </math>.		\end{align}</math>''Pe de altă parte, avem <math>2013^2 = 3^2 \cdot 11^2 \cdot 61^2 </math>.

	Cum produsul <math>A = 61! \cdot 61</math> conține ca factori pe <math>3^2</math>, pe <math>11^2</math>, respectiv pe <math>61^2</math>, se deduce că		Cum produsul <math>A = 61! \cdot 61</math> conține ca factori pe <math>3^2</math>, pe <math>11^2</math>, respectiv pe <math>61^2</math>, se deduce că <math>A</math> se divide cu <math>2013^2</math>.

2025-01-02T12:44:52Z

@@ Line 9: / Line 9: @@
 '''Soluție'''
-Începem cu partea stângă a egalității <math>\left( n+1\right) \cdot \left(n+1\right) ! - n \cdot n !</math>
+a) Începem cu partea stângă a egalității <math>\left( n+1\right) \cdot \left(n+1\right) ! - n \cdot n !</math>
-Avem  <math> (n+ 1) ! = (n + 1) \cdot n! </math>, deci <math> (n + 1) \cdot (n + 1) ! = (n + 1)^2 \cdot n!</math>. Atunci, membrul din partea stângă a egalității devine <math>(n + 1)^2 \cdot n! − n \cdot n !</math>.
+Avem  <math> (n+ 1) ! = (n + 1) \cdot n! </math>, deci <math> (n + 1) \cdot (n + 1) ! = (n + 1)^2 \cdot n!</math>. Atunci, membrul din partea stângă a egalității devine <math>\left( n+1 \right)^2 \cdot n!  - n\cdot n! = n! \cdot \left( n^2 + 2n +1 - n\right) = \left(n^2 +n+1 \right) \cdot n!</math>.
-Factorizăm n!:
+b) Folosind egalitatea de la a), se obține ''<math display="block">\begin{align} A & =
-= n!((n + 1)² − n)
+Cum produsul <math>A = 61! \cdot 61</math> conține ca factori pe <math>3^2</math>, pe <math>11^2</math>, respectiv pe <math>61^2</math>, se deduce că

2025-01-02T12:29:05Z

← Older revision		Revision as of 12:29, 2 January 2025
Line 11:		Line 11:
	Începem cu partea stângă a egalității <math>\left( n+1\right) \cdot \left(n+1\right) ! - n \cdot n !</math>		Începem cu partea stângă a egalității <math>\left( n+1\right) \cdot \left(n+1\right) ! - n \cdot n !</math>

	Avem <math> (n+ 1) ! = (n + 1) \cdot n! </math>, deci <math> (n + 1) \cdot (n + 1) ! = (n + 1)^2 · n!</math>. Atunci, membrul din partea stângă a egalității devine <math>(n + 1)^2 \cdot n! − n \cdot n!</math>.		Avem <math> (n+ 1) ! = (n + 1) \cdot n! </math>, deci <math> (n + 1) \cdot (n + 1) ! = (n + 1)^2 \cdot n!</math>. Atunci, membrul din partea stângă a egalității devine <math>(n + 1)^2 \cdot n! − n \cdot n !</math>.

	Factorizăm n!:		Factorizăm n!:

2025-01-02T12:26:33Z

← Older revision		Revision as of 12:26, 2 January 2025
Line 11:		Line 11:
	Începem cu partea stângă a egalității <math>\left( n+1\right) \cdot \left(n+1\right) ! - n \cdot n !</math>		Începem cu partea stângă a egalității <math>\left( n+1\right) \cdot \left(n+1\right) ! - n \cdot n !</math>

	Avem <math> (n+ 1) ! = (n + 1) \cdot n! </math>, deci		Avem <math> (n+ 1) ! = (n + 1) \cdot n! </math>, deci <math> (n + 1) \cdot (n + 1) ! = (n + 1)^2 · n!</math>. Atunci, membrul din partea stângă a egalității devine <math>(n + 1)^2 \cdot n! − n \cdot n!</math>.

	(n + 1) ~~· (n + 1)! = (n + 1) ·~~ (n + 1) ~~· n~~! = (n + 1)2 · n!

	~~Deci~~, partea stângă devine:

	(n + 1)2 · n! − n · n!

	Factorizăm n!:		Factorizăm n!:

2025-01-02T12:24:07Z

← Older revision		Revision as of 12:24, 2 January 2025
Line 11:		Line 11:
	Începem cu partea stângă a egalității <math>\left( n+1\right) \cdot \left(n+1\right) ! - n \cdot n !</math>		Începem cu partea stângă a egalității <math>\left( n+1\right) \cdot \left(n+1\right) ! - n \cdot n !</math>

	Avem + 1)! = (n + 1) · n!		Avem <math> (n+ 1) ! = (n + 1) \cdot n! </math>, deci

	(n + 1) · (n + 1)! = (n + 1) · (n + 1) · n! = (n + 1)2 · n!		(n + 1) · (n + 1)! = (n + 1) · (n + 1) · n! = (n + 1)2 · n!

2025-01-02T12:22:55Z

← Older revision		Revision as of 12:22, 2 January 2025
Line 1:		Line 1:
	'''E:14527 (Cristina Vijdeluc şi Mihai Vijdeluc~~, Baia Mare~~)'''		'''E:14527 (Cristina Vijdeluc şi Mihai Vijdeluc)'''

	''Pentru orice număr natural nenul <math>n</math> , notăm <math>n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n</math> și <math>0! = 1</math>.''		''Pentru orice număr natural nenul <math>n</math> , notăm <math>n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n</math> și <math>0! = 1</math>.''
Line 9:		Line 9:
	'''Soluție'''		'''Soluție'''

	Începem cu partea stângă a ~~ecuației:~~		Începem cu partea stângă a egalității <math>\left( n+1\right) \cdot \left(n+1\right) ! - n \cdot n !</math>

	~~(n + 1) · (n + 1)! − n · n! Folosind definiția factorialului, avem:~~		Avem + 1)! = (n + 1) · n!

	~~Astfel, putem scrie:~~

	(n + 1)! = (n + 1) · n!

	(n + 1) · (n + 1)! = (n + 1) · (n + 1) · n! = (n + 1)2 · n!		(n + 1) · (n + 1)! = (n + 1) · (n + 1) · n! = (n + 1)2 · n!

2025-01-02T12:11:56Z

← Older revision		Revision as of 12:11, 2 January 2025
Line 5:		Line 5:
	''a) Arătați că <math>\left( n+1\right) \cdot \bigl(n+1\bigr) ! - n \cdot n ! = \left( n^2 + n + 1 \right) \cdot n ! </math>''		''a) Arătați că <math>\left( n+1\right) \cdot \bigl(n+1\bigr) ! - n \cdot n ! = \left( n^2 + n + 1 \right) \cdot n ! </math>''

	''b) Dacă <math>A = (60^2 + 60 + 1) \cdot 60 ! + (59^2 + 59 + 1) \cdot 59! + \ldots + (1^2 + 1 + 1) · 1! + (0^2 + 0 + 1) \cdot 0!</math>, atunci <math>A</math> se divide cu <math>2013^2</math>.		''b) Dacă <math>A = \left( 60^2 + 60 + 1\right) \cdot 60 ! + \left( 59^2 + 59 + 1\right) \cdot 59! + \ldots + \left( 1^2 + 1 + 1\right) \cdot 1! + (0^2 + 0 + 1) \cdot 0!</math>, atunci <math>A</math> se divide cu <math>2013^2</math>.''

	'''Soluție'''		'''Soluție'''

2025-01-02T12:08:44Z

← Older revision		Revision as of 12:08, 2 January 2025
Line 4:		Line 4:

	''a) Arătați că <math>\left( n+1\right) \cdot \bigl(n+1\bigr) ! - n \cdot n ! = \left( n^2 + n + 1 \right) \cdot n ! </math>''		''a) Arătați că <math>\left( n+1\right) \cdot \bigl(n+1\bigr) ! - n \cdot n ! = \left( n^2 + n + 1 \right) \cdot n ! </math>''

			''b) Dacă <math>A = (60^2 + 60 + 1) \cdot 60 ! + (59^2 + 59 + 1) \cdot 59! + \ldots + (1^2 + 1 + 1) · 1! + (0^2 + 0 + 1) \cdot 0!</math>, atunci <math>A</math> se divide cu <math>2013^2</math>.

	'''Soluție'''		'''Soluție'''

2025-01-02T12:06:27Z

← Older revision		Revision as of 12:06, 2 January 2025
Line 3:		Line 3:
	''Pentru orice număr natural nenul <math>n</math> , notăm <math>n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n</math> și <math>0! = 1</math>.''		''Pentru orice număr natural nenul <math>n</math> , notăm <math>n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n</math> și <math>0! = 1</math>.''

	''a) Arătați că <math>(n + 1) \cdot (n + 1)! − n \cdot n! = (n^2 + n + 1) \cdot n!</math>''		''a) Arătați că <math>\left( n+1\right) \cdot \bigl(n+1\bigr) ! - n \cdot n ! = \left( n^2 + n + 1 \right) \cdot n ! </math>''

	'''Soluție'''		'''Soluție'''

2025-01-02T12:02:48Z

← Older revision		Revision as of 12:02, 2 January 2025
Line 1:		Line 1:
	'''14527 (Cristina Vijdeluc şi Mihai Vijdeluc, Baia Mare)'''		'''E:14527 (Cristina Vijdeluc şi Mihai Vijdeluc, Baia Mare)'''

	''Pentru orice număr natural nenul N , notăm n! = 1 · 2 · 3 ~~· · ·~~ n și 0! = 1.''		''Pentru orice număr natural nenul <math>n</math> , notăm <math>n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n</math> și <math>0! = 1</math>.''

	''a) Arătați că (n + 1) · (n + 1)! − n · n! = (n² + n + 1) · n!''		''a) Arătați că <math>(n + 1) \cdot (n + 1)! − n \cdot n! = (n^2 + n + 1) \cdot n!</math>''

	'''Soluție'''		'''Soluție'''