14383 - Revision history

Andrei.Horvat at 13:20, 30 December 2023

2023-12-30T13:20:44Z

← Older revision		Revision as of 13:20, 30 December 2023
Line 1:		Line 1:
	'''14383 (Gheorghe Gherasim)'''		'''E:14383 (Gheorghe Gherasim)'''

	''Numerele naturale distincte'' <math>a</math>'','' <math>b</math> ''verifică <math>9 \cdot [\,a, b]\,=a \cdot b \cdot (\,a \cdot b)\,</math>.''		''Numerele naturale distincte'' <math>a</math>'','' <math>b</math> ''verifică <math>9 \cdot [\,a, b]\,=a \cdot b \cdot (\,a \cdot b)\,</math>.''

Andrei.Horvat: Aranjare și completare

2023-12-05T12:17:21Z

Aranjare și completare

← Older revision		Revision as of 12:17, 5 December 2023
Line 1:		Line 1:
	'''14383 (Gheorghe Gherasim)'''		'''14383 (Gheorghe Gherasim)'''

	''Numerele naturale distincte a, b verifică <math>9 \cdot [\,a, b]\,=a \cdot b \cdot (\,a \cdot b)\,</math>.''		''Numerele naturale distincte'' <math>a</math>'','' <math>b</math> ''verifică <math>9 \cdot [\,a, b]\,=a \cdot b \cdot (\,a \cdot b)\,</math>.''

	i) ''Arătați că a și b nu sunt prime între ele.''		i) ''Arătați că'' <math>a</math> ''și'' <math>b</math> ''nu sunt prime între ele.''

	ii) ''Arătați că diferența numerelor este cel puțin 3.''		ii) ''Arătați că diferența numerelor este cel puțin'' <math>3</math>''.''

	''([a, b] reprezintă cel mai mic multiplu comun al numerelor a și b, iar (a, b) este cel mai mare divizor comun al numerelor a și b).''		''Se consideră că'' <math>[a,b]</math> ''reprezintă cel mai mic multiplu comun al numerelor <math>a</math> și <math>b</math>, iar'' <math>(a,b)</math> ''este cel mai mare divizor comun al numerelor <math>a</math> și <math>b</math>.''

	'''Soluție.'''		'''Soluție.'''

	i) Se știe că <math>a \cdot b= [\,a, b]\, \cdot (\,a, b)\,</math> și relația devine <math>9 \cdot [\,a, b]\,=[\,a, b]\, \cdot {\{(\,a, b)\,\}}^2</math>. De aici obținem <math>{\{(\,a, b)\,\}}^2=9</math>, de unde <math>(\,a, b)\,=3</math>, ceea ce arată că a și b nu sunt prime între ele.		i) Se știe că <math>a \cdot b= [\,a, b]\, \cdot (\,a, b)\,</math> și relația devine <math>9 \cdot [\,a, b]\,=[\,a, b]\, \cdot {\{(\,a, b)\,\}}^2</math>. De aici obținem <math>{\{(a, b)\}}^2=9</math>, de unde <math>(a, b)=3</math>, ceea ce arată că <math>a</math> ''și'' <math>b</math> nu sunt prime între ele.

	ii) Din <math>(\,a, b)\,=3</math> rezultă <math>a=3x</math> și <math>b=3y</math> cu <math>(\,x, y)\,=1</math>. Deoarece <math>a<b</math> avem <math>x<y</math>. Cum x și y sunt numere naturale avem <math>y-x \geq 1</math>. Atunci <math>b-a=3(\,y-x)\, \geq 3 \cdot 1=3</math>, de unde <math>b \geq a+3</math>.		ii) Din <math>(a, b)= 3</math> rezultă <math>a=3x</math> și <math>b=3y</math> cu <math>(x, y)\,=1</math>. Deoarece <math>a<b</math> avem <math>x<y</math>. Cum <math>x</math> și <math>y</math> sunt numere naturale avem <math>y-x \geq 1</math>.

			Atunci <math>b-a=3(\,y-x)\, \geq 3 \cdot 1=3</math>, de unde <math>b \geq a+3</math>.

Diana Butuza: Pagină nouă: '''14383 (Gheorghe Gherasim)''' ''Numerele naturale distincte a, b verifică $9 \cdot [\,a, b]\,=a \cdot b \cdot (\,a \cdot b)\,$ .'' i) ''Arătați că a și b nu sunt prime între ele.'' ii) ''Arătați că diferența numerelor este cel puțin 3.'' ''([a, b] reprezintă cel mai mic multiplu comun al numerelor a și b, iar (a, b) este cel mai mare divizor comun al numerelor a și b).'' '''Soluție.''' i) Se știe că $a \cdot b= [\,a, b]\, \cdot (\,a, b)...$

2023-12-04T13:46:50Z

Pagină nouă: '''14383 (Gheorghe Gherasim)''' ''Numerele naturale distincte a, b verifică <math>9 \cdot [\,a, b]\,=a \cdot b \cdot (\,a \cdot b)\,</math>.'' i) ''Arătați că a și b nu sunt prime între ele.'' ii) ''Arătați că diferența numerelor este cel puțin 3.'' ''([a, b] reprezintă cel mai mic multiplu comun al numerelor a și b, iar (a, b) este cel mai mare divizor comun al numerelor a și b).'' '''Soluție.''' i) Se știe că <math>a \cdot b= [\,a, b]\, \cdot (\,a, b)...

New page

'''14383 (Gheorghe Gherasim)'''

''Numerele naturale distincte a, b verifică <math>9 \cdot [\,a, b]\,=a \cdot b \cdot (\,a \cdot b)\,</math>.''

i) ''Arătați că a și b nu sunt prime între ele.''

ii) ''Arătați că diferența numerelor este cel puțin 3.''

''([a, b] reprezintă cel mai mic multiplu comun al numerelor a și b, iar (a, b) este cel mai mare divizor comun al numerelor a și b).''

'''Soluție.'''

i) Se știe că <math>a \cdot b= [\,a, b]\, \cdot (\,a, b)\,</math> și relația devine <math>9 \cdot [\,a, b]\,=[\,a, b]\, \cdot {\{(\,a, b)\,\}}^2</math>. De aici obținem <math>{\{(\,a, b)\,\}}^2=9</math>, de unde <math>(\,a, b)\,=3</math>, ceea ce arată că a și b nu sunt prime între ele.

ii) Din <math>(\,a, b)\,=3</math> rezultă <math>a=3x</math> și <math>b=3y</math> cu <math>(\,x, y)\,=1</math>. Deoarece <math>a<b</math> avem <math>x<y</math>. Cum x și y sunt numere naturale avem <math>y-x \geq 1</math>. Atunci <math>b-a=3(\,y-x)\, \geq 3 \cdot 1=3</math>, de unde <math>b \geq a+3</math>.