Vizualizare sursă pentru „S:L22.108”

'''[[S:L22.108]]. (Nicolae Mușuroia)'''

''Fie <math>A, B \in \mathcal{M}_3 \left( \mathbb{R}\right)</math> cu <math>AB = BA</math>, <math>A^2+B^2</math> neinversabilă și <math>\det(A) = \alpha \cdot \det(B) \ne 0</math>, unde <math>\alpha \ne 1</math>.  Arătați  că <math display="block">\frac{\det \left(A+B\right)}{\det \left(A+B\right)} = \frac{\det(A) + \det(B)}{\det(A)-\det(B)}. </math>''

'''Soluție.'''

Ipotezele <math>\det(A^2+B^2) = 0</math> și <math>AB=BA</math>, cu ''<math>A, B \in \mathcal{M}_3 \left( \mathbb{R}\right)</math>'', implică <math display="block">\det \left( A+iB \right) \cdot \det\left( A- iB\right) =0</math>

Fie polinomul <math>f = \det \left( A+X\cdot B\right) \in \mathbb{R}\left[X\right]</math>. Atunci, există <math>m, n \in \mathbb{R}</math> pentru care <math display="block">f\left( x\right) = \det\left(B\right) \cdot x^3 + mx^2 + nx +\det(A), \forall x\in \mathbb{C}.</math> 
Cum <math>f\left( i\right) \cdot f\left( -i \right)=0</math> , avem  <math>f\left( i\right) = f\left( -i \right) = 0</math> , deci <math>x_1 = i</math> și <math>x_2 = -i</math> sunt rădăcini ale polinomului <math>f</math>. 

Dacă <math>x_1, x_2, x_3 \in \mathbb{C}</math> sunt rădăcinile polinomului <math>f</math>, atunci din [https://ro.wikipedia.org/wiki/Formulele_lui_Vi%C3%A8te relațiile lui Viete] avem <math display="block">x_1x_2x_3 = - \frac{\det(A)}{\det(B)} = - \alpha.</math> Se obține <math>x_3 = -\alpha</math>, ceea ce implică <math display="block">f = \det(B) \cdot \left(X^2 + 1 \right) \cdot \left( X + \alpha \right).</math> Atunci <math display="block">f\left( 1 \right) = \det \left( A + B \right) = 2\left( \alpha +1 \right) \cdot \det(B)</math> și <math display="block">f\left( -1 \right) = \det \left( A - B \right) = 2\left( \alpha - 1 \right) \cdot \det(B).</math> Avem'' <math display="block">\frac{\det \left(A+B\right)}{\det \left(A+B\right)} = \frac{\alpha +1}{\alpha -1}. </math>''Cum <math>\alpha = \frac{\det(A)}{\det(B)} </math> se obține <math display="block">\frac{\alpha+1}{\alpha -1} = \frac{\det(A) + \det(B)}{\det(A) - \det(B)} </math> În concluzie, are loc egalitatea''<math display="block">\frac{\det \left(A+B\right)}{\det \left(A+B\right)} = \frac{\det(A) + \det(B)}{\det(A)-\det(B)}. </math>''