Editing S:L15.231

'''S:L15.231 (Andrei Horvat-Marc)'''

''Fie <math>\left(a_n\right)_{n\ge 1}</math> un șir crescător de numere reale strict pozitive cu <math>\lim\limits_{n\to \infty} a_n = a</math>. Arătați că <math display="block">\lim\limits_{n\to\infty} \dfrac{a-a_n}{\ln\frac{a}{a_n}} = a</math>''

'''Soluție'''

Fie <math>n \in \mathbb{N}^\ast</math>. Se consideră funcția <math>f_n:\left[a_n,a\right] \to \mathbb{R}</math>, cu <math>f_n\left(x\right) = \ln x</math>. Pentru această funcție se aplică [https://mathworld.wolfram.com/Mean-ValueTheorem.html teorema lui Lagrange], deci există <math>c_n \in \left(a_n, a\right)</math> astfel încât <math display="block">\frac{\ln a - \ln a_n}{a-a_n} = \frac{1}{c_n}.</math> Cum <math>\lim\limits_{n\to \infty} c_n = a</math> se obține <math display="block"> \lim\limits_{n\to\infty} \dfrac{a-a_n}{\ln\frac{a}{a_n}} = \lim\limits_{n\to \infty} c_n = a.</math>