Editing E:16380

'''E:16380 (Cristina Vijdeluc, Salonic şi Mihai Vijdeluc, Baia Mare)'''

''Aflaţi numerele naturale ''<math>a,b,c,d</math>'' pentru care are loc relaţia ''<math>2(3^{a + 1} + 3^{b + 1} + 3^{c + 1}) = 3 \cdot 6 \cdot 9 \cdot \ldots \cdot d.</math>

'''Soluție:'''

Egalitatea din enunţul se poate scrie <math>6(3^a + 3^b +3^c) = 3 \cdot 6 \cdot 9 \cdot \ldots \cdot d.</math> Trebuie ca <math>d \geqslant 6</math> şi <math>d</math> să fie divizibil cu <math>3.</math>

Dacă <math>d = 6,</math> atunci <math>3^a + 3^b +3^c = 3,</math> ceea ce înseamnă <math>a = b = c = 0.</math>

Dacă <math>d = 9,</math> atunci <math>3^a + 3^b +3^c = 27,</math> de unde rezultă că <math>a = b = c = 2.</math>

Dacă <math>d = 12,</math> obţinem <math>3^a + 3^b +3^c = 3^4 \cdot 4,</math> adică <math>3^{a - 4} + 3^{b - 4} + 3^{c - 4} = 4,</math> ecuaţie care nu are soluţii.

Pentru <math>d \geqslant 15,</math> ultima cifră a produsului din membrul drept este zero. Dar <math>u(3^n) \in \{1,3,7,9\},</math> deci o sumă de trei puteri ale lui <math>3</math> nu are niciodată ultima cifră zero.

Aşadar, soluţiile căutate sunt <math>(a, b, c, d) \in \{(0, 0, 0, 6),(2, 2, 2, 9)\}.</math>