Editing 28315

'''28315 (Vasile Pop și Nicolae Mușuroia)''' ‎
<br />
<br />''Fie <math>P_1P_2\ldots P_n</math> <math>(n \geq 3)</math> un poligon regulat și <math>M</math> un punct în interiorul poligonului. Notăm cu <math>M_1</math>, <math>M_2, \ldots, M_n</math> simetricele punctului <math>M</math> față de laturile poligonului. Arătați că, pentru orice alegere a punctului <math>M</math>, poligoanele <math>M_1</math><math>M_2 \ldots M_n</math> au același centru de greutate.''
<br />
<br />
'''Soluție:''' 
<br />
<br />Vom demonstra următoarea lemă: În planul complex, simetricul punctului <math>M(m)</math> față de dreapta determinată de punctele <math>A(a)</math> și <math>B(b)</math>, unde <math>|a| = |b| = 1</math>, este punctul <math>M^{\prime}
</math> de afix <math>m^{\prime} = a + b - ab\overline{m}
.</math>
<br /> Într-adevăr, din faptul că mijlocul <math>N(n)</math> al segmentului <math>[MM^{\prime}]</math> aparține dreptei <math>AB</math>, rezultă că <math>\frac{n-a}{b-a} \in \mathbb{R}</math>, adică <math display="block">\frac{n-a}{b-a}=\frac{\overline{n}-\overline{a}}{\overline{b}-\overline{a}},                    (1), </math> iar  din <math>MM^{\prime} \perp AB</math>, deducem că <math>\frac{m^{\prime}-m}{b-a} \in i\mathbb{R^*}</math>, adică <math display="block">\frac{m^{\prime}-m}{b-a} = - \frac{\overline{m^{\prime}}-\overline{m}}{\overline{b}-\overline{a}}, (2)</math>Având în vedere că <math>\overline{a} = \frac{1}{a}, \overline{b} = \frac{1}{b}</math> și <math>n = \frac{m+m^{\prime}}{2}</math>, din relația <math>(1)</math> rezultă că<math display="block">m^{\prime}+ m = 2(a + b) - ab(\overline{m^{\prime}}+\overline{m}), (3)</math>iar din relația <math>(2)</math> că <math display="block">m^{\prime}-m=ab(\overline{m^{\prime}}-\overline{m}), (4).</math>Adunând egalitățile <math>(3)</math> și <math>(4)</math> obținem <math>m^{\prime}=a+b-ab\overline{m}</math>.  



Revenind la problemă, considerăm un reper cartezian cu originea în centrul  poligonului, astfel încât afixele punctelor <math>P_n</math> și <math>P_1</math> să fie <math>1</math>, respectiv <math>\varepsilon = \cos\frac{2\pi}{n}+i\sin\frac{2\pi}{n}</math>. Ca urmare, afixul punctului <math>P_k</math> este <math>\varepsilon^k</math>, pentru orice <math>k \in \{1, 2, \ldots, n\}
</math>.

Fie <math>m</math> afixul punctului <math>M</math> și <math> m_k</math> afixul punctului <math>M_k, 1 \leq k \leq n.</math> Folosind lema, rezultă că <math> m_k=\varepsilon^k+\varepsilon^{k+1}-\varepsilon^{2k+1} \overline{m}</math>, pentru orice <math>k</math>. În consecință, <math display="block"> \sum_{k=1}^{n}m_k=(1+\varepsilon) \sum_{k=1}^{n}\varepsilon^k+\overline{m} \cdot \sum_{k=1}^{n}\varepsilon^{2k+1}= (1+\varepsilon)\cdot \varepsilon \cdot \frac{\varepsilon^n-1}{\varepsilon-1}+\overline{m}\cdot\varepsilon^3\cdot\frac{\varepsilon^{2n}-1}{\varepsilon^2-1}=0,</math>
deci centrul de greutate al poligonului <math>M_1M_2 \ldots M_n</math> este originea, indiferent de alegerea punctului <math>M</math>.