Editing 28203

'''28203 (Dana Heuberger, Baia Mare)'''

''Fie <math> f:  \mathbb{R} \longrightarrow  \mathbb{R} </math> o funcție cu proprietatea''

<math>\mathcal{P}: f(f(x)-e^x)=e^{f(x)-e^x} + x</math>, pentru orice <math>x\in \mathbb{R}.</math>

<ol type="a"><li> ''Dați un exemplu de funcție cu proprietatea <math> \mathcal{P}</math>  care nu este monotonă.''</li>
<li> ''Dați un exemplu de funcție cu proprietatea <math> \mathcal{P}</math>  care nu este continuă.''</li>

<li> ''Fie <math>f</math> o funcție care admite primitive și are proprietatea <math> \mathcal{P}</math>. Arătați că, dacă <math>f(x)\ge e^x</math>, pentru orice <math>x\ge 0</math>, atunci <math>f</math> este surjectivă.</li></ol>''

'''Soluție:'''

Considerând funcția <math>g: \mathbb{R} \longrightarrow  \mathbb{R}, g(x) = f(x) - e^x </math>, relația din enunț are forma echivalentă <math>g(g(x)) = x</math>, pentru orice <math>x\in \mathbb{R}, (1).</math>

a) Alegem <math>g(x)=-x</math> care verifică <math>(1)</math>, și obținem <math>f(x)=e^x-x</math>, care nu este monotonă, întrucât  <math>f'(x)=e^x-1</math> își schimbă semnul pe <math> \mathbb{R}</math>.

b) Alegem <math> g(x) = \begin{cases} x,  & x\in \mathbb{Q} \\-x, & x\in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \end{cases} </math>, care verifică <math>(1)</math> și obținem

<math>f(x)= e^x + g(x) = \begin{cases} e^x,  & x\in \mathbb{Q} \\e^x-x, & x\in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \end{cases} </math>. Deoarece <math>f</math> este suma dintre o funcție continuă și alta discontinuă (în orice punct din <math>\mathbb{R}^\ast</math> ), rezultă că <math>f</math> este discontinuă.

c) Pe baza ipotezelor asupra funcției <math>f</math>, rezultă că <math>g(x)\ge 0</math>, pentru orice <math>x\ge 0</math>, iar <math>g</math> admite primitive, deci are proprietatea lui Darboux. Combinând această proprietate cu injectivitatea funcției <math>g</math>, obținută din <math>(1)</math>, rezultă că <math>g</math> este strict monotonă și continuă.

În cazul în care <math>g</math> ar fi strict descrescătoare, pe baza surjectivității funcției <math>g</math>, ce se obține din <math>(1)</math>, am avea că <math>\lim_{x \to \infty}g(x) =-\infty </math>, ceea ce contrazice că <math>g(x)\ge 0</math> pentru orice <math>x\ge 0.</math> Prin urmare, <math>g</math> este strict crescătoare, <math>\lim_{x \to -\infty}g(x) =-\infty </math>, <math>\lim_{x \to \infty}g(x) =\infty </math>, ceea ce conduce la <math>\lim_{x \to -\infty}f(x) =-\infty </math>, <math>\lim_{x \to \infty}f(x) =\infty </math>, iar surjectivitatea funcției <math>f</math> este o consecință a proprietății lui Darboux, în particular a continuității.