Editing 27930

'''27930  (Nicolae Mușuroia) '''

''Fie'' <math>z_1, z_2</math> ''respectiv'' <math>z_3</math>, ''afixele vârfurilor triunghiului'' <math>A_1A_2A_3</math>, ''înscris în cercul'' <math>C(0,1)</math>. ''Arătați că triunghiul'' <math>A_1A_2A_3</math> ''este echilateral dacă și numai dacă'' <math>(z_1+z_2)(z_2+z_3)(z_3+z_1) \not= 0</math> ''și'' <math>\frac{1}{z_1+z_2} + \frac{1}{z_2+z_3} + \frac{1}{z_3+z_1} = 0</math>.

'''Soluție.''' Dacă <math>A_1A_2A_3</math> este triunghi echilateral, afixele punctelor <math> A_1, A_2, A_3</math> sunt <math>z_1, \epsilon z_1</math> și <math> \epsilon ^2 z_1</math>, unde <math>\epsilon \in \mathbb{C} </math> astfel încât <math> \epsilon ^2 + \epsilon + 1 = 0</math>, iar relația din enunț se verifică prin calcul elementar.
: Reciproc, condiția din enunț se scrie echivalent
<math display="block>(z_1+z_2)(z_2+z_3) + (z_2+z_3)(z_3+z_1) + (z_3+z_1)(z_1+z_2) = 0,</math>

iar după calcule se rescrie <math>(z_1+z_2+z_3)^2 = -(z_1z_2+z_2z_3+z_3z_1)</math>.
: Întrucât <math>|z_1| = |z_2| = |z_3| = 1</math>, deducem că
<math display="block"> \overline{z_1+z_2+z_3} = \frac{1}{z_1} + \frac{1}{z_2} + \frac{1}{z_3} = \frac{z_1z_2+z_2z_3+z_3z_1}{z_1z_2z_3} = -\frac{(z_1+z_2+z_3)^2}{z_1z_2z_3}.</math>
: Trecând la module, rezultă că <math>|z_1+z_2+z_3| = |z_1+z_2+z_3|^2</math>. Întrucât ortocentrul <math>H</math> al triunghiului <math>A_1A_2A_3</math> are afixul <math>h = z_1+z_2+z_3</math>, obținem <math>|h| \in \{0,1\}</math>.
: Dacă <math>|h| = 1</math>, atunci <math> H \in C(0,1)</math>. Rezultă că triunghiul <math>A_1A_2A_3</math> este dreptunghic și <math>z_1+z_2 = 0</math> sau <math>z_2+z_3 = 0</math> sau <math>z_3+z_1 = 0</math>, fals.
: Așadar, <math>|h| = 0</math>, deci <math> H = O</math>, adică triunghiul <math>A_1A_2A_3</math> este echilateral.