Vizualizare sursă pentru „27022”

'''27022 (Guntter Gotha)'''

''Fie <math>f:\left[a,b\right] \to \mathbb{R}</math> o funcție cu proprietatea lui Darboux și cu <math>f\left(a\right) \cdot f\left( b \right) >0</math>. Mulțimea <math>M = \left\{ x \in \left[ a, b \right] \, | \, f\left(x\right) =0 \right\}</math> este finită și are un număr impar de elemente. Demonstrați că <math>f</math> are un punct de extrem local ce aparține mulțimii <math>M</math>.''

'''Soluție.'''

Presupunem prin absurd contrariul. Rezultă că ''<math>f</math>'' își schimbă semnul de fiecare dată când se anulează, adică de <math>2n+1</math> ori. Atunci <math>f(a)</math> și <math>f(b)</math> au semne contrare, în contradicție cu ''<math>f\left(a\right) \cdot f\left( b \right) >0</math>''.