Jump to content
Main menu
Main menu
move to sidebar
hide
Navigation
Main page
Recent changes
Random page
Help about MediaWiki
Bitnami MediaWiki
Search
Search
Create account
Log in
Personal tools
Create account
Log in
Pages for logged out editors
learn more
Contributions
Talk
Editing
15698
Page
Discussion
English
Read
Edit
View history
Tools
Tools
move to sidebar
hide
Actions
Read
Edit
View history
General
What links here
Related changes
Special pages
Page information
Warning:
You are not logged in. Your IP address will be publicly visible if you make any edits. If you
log in
or
create an account
, your edits will be attributed to your username, along with other benefits.
Anti-spam check. Do
not
fill this in!
'''E:15698 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc, Baia Mare)''' ''Determinați numerele naturale'' <math>a</math>'','' <math>b</math>'','' <math>c</math> ''pentru care''<math display="block">\left(2020 a \right)^2 + \left(2021 b\right)^2 = 2022 c^2</math>'''Soluție:''' Vom folosi proprietatea: ''dacă suma pătratelor a două numere naturale este divizibilă cu'' <math>3</math>'', atunci fiecare număr este divizibil cu 3.'' Această proprietate reiese din faptul că, dacă <math>n\in\mathbb{N}</math> nu este divizibil cu <math>3</math>, atunci <math>n^2 = \mathcal{M}_3+1</math>. Aici, deoarece <math>2022</math> este divizibil cu <math>3</math>, iar <math>2021</math> și <math>2020</math> nu sunt divizibile cu <math>3</math>, reiese că <math>3 | a</math> și <math>3 | b</math>. Dacă <math>a \ne 0</math> sau <math>b\ne 0</math>, atunci există <math>a_1 \in \mathbb{N}</math>, <math>b_1 \in \mathbb{N}</math> pentru care <math>a=3a_1</math> și/sau <math>b=3b_1</math>, iar <math>a_1 < a</math> sau <math>b_1 < b</math>. Rezultă <math>9\left[\left(2020 a \right)^2 + \left(2021 b\right)^2 \right]= 2022 c^2</math>, ceea ce implică <math>c=3c_1</math>, cu <math>c_1 \in \mathbb{N}</math>. Relația devine <math>\left(2020 a_1 \right)^2 + \left(2021 b_1\right)^2 = 2022 c_1^2</math>, ceea ce, ca mai sus, duce la <math>a_1 = 3a_2</math>, <math>b_1=3b_2</math>, <math>c_1 = 3c_2</math>, cu <math>a_2, b_2, c_2 \in \mathbb{N}</math>, iar <math>a_2 < a_1</math> sau <math>b_2 < b_1</math>. Repetând raționamentul obținem un șir nesfârșit de numere naturale <math>a>a_1>a_2> \ldots</math> sau un șir nesfârșit de numere naturale <math>b>b_1>b_2> \ldots</math>, ceea ce este imposibil. Astfel, presupunerea a ≠ 0 sau b ≠ 0 este falsă. Rămâne soluția <math>a=b=c=0</math>. '''Observație.''' Ideea folosită în rezolvarea de mai sus pentru a arăta că <math>a=b=c=0</math> reprezintă ''metoda coborârii infinite.''
Summary:
Please note that all contributions to Bitnami MediaWiki may be edited, altered, or removed by other contributors. If you do not want your writing to be edited mercilessly, then do not submit it here.
You are also promising us that you wrote this yourself, or copied it from a public domain or similar free resource (see
Bitnami MediaWiki:Copyrights
for details).
Do not submit copyrighted work without permission!
Cancel
Editing help
(opens in new window)
Toggle limited content width