Editing 15685

'''E:15685 (Cristina Vijdeliuc și Mihai Vijdeliuc, Baia Mare)'''

''Se consideră triunghiul dreptunghic <math> ABC </math>, cu <math> \angle A\ = 90^\circ </math> și <math> \angle B\ = 30^\circ </math>. Punctul <math>D</math> aparține laturii <math> BC </math> astfel încât <math> AD \perp BC </math>, punctul <math> M </math> este mijlocul segmentului <math> BC </math>, iar punctul <math> E </math> aparține laturii <math> AB </math> astfel încât <math> ME \perp AB </math>. Arătați că <math> DE \perp AM </math>.''

'''Soluție'''
Deoarece <math> AM </math> este mediana în triunghiul dreptunghic <math> ABC </math> avem <math> AM = BM = CM </math>. Din <math> AM = BM </math> rezultă că <math> \triangle AMB\ </math> este isoscel și, cum <math>ME \perp AB</math>, <math>ME</math> este bisectoarea unghiului <math> AMB </math>. Cum <math> \angle B\ = 30^\circ </math> și <math> ME \perp AB </math> obținem <math> \angle EMB\ = 60^\circ </math>, de unde <math> \angle AME\ = 60^\circ, (1) </math>. Pe de  altă parte <math> \angle AMC\ </math> este unghi exterior triunghiului <math> AMB </math> și atunci <math> \angle AMC\ = 60^\circ, (2) </math>. Din <math> (1) </math> și <math> (2) </math> deducem că <math> MA </math> este bisectoarea unghiului <math> DME, (3) </math>.


Din <math> AM = CM </math> și <math> \angle AMC\ = 60^\circ </math> rezultă că <math> \triangle AMC\ </math> este echilateral și, cum <math> AD \perp BC </math>, deducem că <math> D </math> este mijlocul segmentului <math> CM </math>, deci <math> DM = CM/2, (4) </math>. Din <math> \triangle BEM\ </math> este dreptunghic și  <math> \angle B\ = 30^\circ </math> obținem <math> ME = BM/2, (5) </math>. Cum <math> CM = BM </math>, din <math> (4) </math> și <math> (5) </math> rezultă <math> DM = EM </math>, adică <math> \triangle DME\ </math> este isoscel. De aici și din <math> (3) </math> rezultă <math> MA \perp DE </math>.