Editing 28163

'''28163 (Dana Heuberger)'''
<br />
<br />
''Aflați șirul de numere naturale nenule <math>(a_n)_{n\geq1}</math> pentru care
<math>\frac{1}{{(1+a_1) \cdot a_{a_1}}} + \frac{1}{{(1+a_2) \cdot a_{a_2}}} + \ldots + \frac{1}{{(1+a_n) \cdot a_{a_n}}} = \frac{n}{{n+1}}</math>, pentru orice <math>n \geq 1</math>.''
<br />
<br />
'''Soluție:''' 

Dacă <math>n = 1</math>, egalitatea din enunț devine <math>(1+a_1) \cdot a_{a_1} = 2</math>, de unde obținem <math>a_1 = 1</math>.
</br>
</br>
Dacă <math>n \geq 2</math>, scriind egalitatea din enunț pentru <math>n-1</math> și scăzând-o din relația inițială, obținem 
</br>
</br>
<math>\frac{1}{{(1+a_n) \cdot a_{a_n}}} = \frac{n}{{n+1}} - \frac{n-1}{n} = \frac{1}{{n(n+1)}}</math>, deci </br></br>
<math>(1+a_n) \cdot a_{a_n} = n(n+1)</math> pentru orice <math>n \in \mathbb{N}</math>, <math>n \geq 2</math>.    (1)

Demonstrăm, folosind inducția ''tare'', că <math>a_n = n</math>, pentru orice număr natural nenul <math>n</math>. Etapa de verificare este evidentă.
<br />
Fie <math>k \in \mathbb{N}</math>, <math>k \geq 2</math>. Presupunem că <math>a_t = t</math>, pentru orice număr natural <math>t</math> cu <math>t \in \{1,2,...,k-1\}</math> și arătăm că <math>a_k = k</math>.
<br />
'''I.''' Dacă <math>a_k = s < k</math>, din ipoteza de inducție rezultă <math>a_{a_k} = a_s = s < k</math>. Din relația (1) obținem <math>k(k+1) = (1+a_k) \cdot a_{a_k} = s(s+1) < k(k+1)</math>, fals.
</br>
</br>
'''II.''' Dacă <math>a_k = s > k</math>, din (1) deducem:
</br>
<math>
a_s = a_{a_k} = \frac{k(k+1)}{1+a_k} = \frac{k(k+1)}{s+1},
</math>
deci <math>a_s = k \cdot \frac{k+1}{s+1} < k</math>. (2)
<br />
</br>
Din ipoteza de inducție rezultă că <math>a_{a_s} = a_s = \frac{k(k+1)}{s+1}</math>.
</br>
Din relația (1) obținem că <math>a_{a_s} = \frac{s(s+1)}{a_s+1}</math>, deci <math>\frac{k(k+1)}{s+1} = \frac{s(s+1)}{1+a_s}</math>.
</br>
Așadar, <math>1+a_s = \frac{s(s+1)}{k(k+1)} \cdot (s+1) > s+1</math>, adică <math>a_s > s > k</math>, contradicție cu inegalitatea (2).
<br />
Din '''I''' și '''II''' deducem că <math>a_k = k</math>. Conform principiului inducției, rezultă că <math>a_n = n</math>, pentru orice număr natural <math>n</math>. Pentru acest șir, egalitatea din enunț devine o identitate, așadar soluția problemei este șirul cu termenul general <math>a_n = n</math>.

</br></br></br>