Vizualizare sursă pentru „15678”

'''15678 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc)'''

''Aflați toate numerele de forma ''<math>\overline{abcd}</math>''pentru care<math display="block">\overline{abcd} = 2021+5(a-c+b-d+1).</math>

'''Soluție:'''

Ultima cifră numărului <math>5(a-c+b-d+1)</math> poate fi <math>0</math> sau <math>5</math>. Atunci ultima cifră a numărului <math>2021+5(a-c+b-d+1)</math> poate fi <math>1</math> sau <math>6</math>,de unde deducem că <math>d=1</math> sau <math>d=6</math>.

'''1.''' Pentru <math>d=1</math> relația devine <math>\overline{abcd} = 2021+5(a-c+b)</math>. Deoarece <math>a-c+b \le 18</math> avem <math>2021+5(a-c+b) \le 2111</math> și, cum <math>\overline{abcd}= 2021+5(a-c+b)</math>, obținem <math>a \le 2</math>. 

Pentru <math>a=2</math> relația dată devine <math>\overline{2bc1} = 2021+5(2-c+b)</math> sau <math>2001+100b+10c=2031-5c+5b</math>, de unde <math>95b+15c=30</math>. 

De aici <math>b=0</math> și <math>c=2</math>. Numărul căutat este <math>2021</math>.

Pentru <math>a=1</math> nu obținem nicio soluție.

'''2.''' Pentru <math>d=6</math> relația dată devine <math>\overline{abc6} = 2021+5(a-c+b-5)</math>. Deoarece <math>a-c+b-5 \le 13</math> avem <math>2021+5(a-c+b) \le 2086</math> și cum <math>\overline{abc6} = 2021+5(a-c+b-5)</math>, obținem <math>a \le 2</math>.

Pentru <math>a=2</math> relația dată devine <math>\overline{2bc6} = 2021+5(2-c+b-5)</math> sau <math>2006+100b+10c=2006-5c+5b</math>, de unde <math>95b+15c=0</math>. De aici <math>b=0</math> și <math>c=0</math>.
Numărul căutat este <math>2006</math>.

Pentru <math>a=1</math> nu obținem nicio soluție.