Editing 26713

'''28354 (Radu Pop și Vasile Ienuțaș)'''
<br />
''<br />Se consideră șirul de numere reale <math>(x_n)_{n \geq 0}</math> și <math>(y_n)_{n \geq 0}</math> cu <math>x_n \geq 1</math>, <math>y_n \geq 1</math>, pentru orice <math>n \in \mathbb{N}</math>, și <math>\lim_{{n \to \infty}} (x_n^2 + y_n^2) = 2</math>. Să se calculeze <math>\lim_{{n \to \infty}} x_n</math> și <math>\lim_{{n \to \infty}} y_n</math>.''
<br />
'''Soluție:''' 
<br />
<br />
Avem <math> 2 \leq x_n - y_n \leq \sqrt{2(x_n^2 + y_n^2)} </math> și cum <math> \lim_{{n \to \infty}} \sqrt{2(x_n^2 + y_n^2)} = 2 </math>, rezultă că <math> \lim_{{n \to \infty}} (x_n + y_n) = 2 </math>. Cum <math> 1 \leq x_n \leq x_n + y_n - 1 </math> și <math> \lim_{{n \to \infty}} (x_n + y_n - 1) = 1 </math>, obținem <math> \lim_{{n \to \infty}} x_n = 1 </math>. Analog, <math> \lim_{{n \to \infty}} y_n = 1 </math>.