Editing 28251

'''28251  (Trif Flaviu) '''
<br />
<br /> 
''Fie'' <math>(n \geq 2)</math> ''un număr natural și'' <math> f:  [0,1] \longrightarrow  \mathbb{R} </math> ''o funcție continuă astfel încât'' <math>f(0) \geq 0</math> si <math>\int_{0}^{1} e^2f(x) dx = 1+\frac{2}{n^3}</math>.
<br />
a) ''Dați un exemplu de o funcție f cu proprietățile din enunț''.
<br />
b) ''Arătați că există'' <math> c \in [0,1] </math> astfel încât <math> f(c) = c^{n^{3}} - 1
</math>.

'''Soluție.''' a) Funcția <math> f: [0,1] \longrightarrow \mathbb{R}, \quad f(x) = \ln\sqrt{1 + \frac{4x}{n^3}}</math> are toate proprietățile din enunț.
<br />
b) Deoarece <math> e^t \geq t + 1</math> pentru orice <math> t \in \mathbb{R}</math>, avem

<math> 1 + \frac{2}{n^3} = \int_{0}^{1} e^{2f(x)} dx \geq \int_{0}^{1} (2f(x) + 1) dx = 2\int_{0}^{1} f(x)dx + 1</math>,
<br />
de unde rezultă că <math> \int_{0}^{1} f(x)dx\leq \frac{1}{n^3}</math>. Cum <math> \int_{0}^{1} x^{n^3-1}dx</math>, deducem că <math> \int_{0}^{1} (f(x) - x^{n^3-1}_dx \leq 0 </math>, deci există <math> a \in [0,1] </math>, astfel încât <math> f(a) - a^{n^{3}}-1 \leq 0 </math>.
<br />
Functia <math> g : [0,1] \longrightarrow \mathbb{R}, g(x) = f(x) - x^{n^{3}}</math> este continuă și <math> g(0) * g(a) \leq 0</math>.
<br />
Rezultă că exsită <math> c \in [0,a] \subseteq [0,1]</math> astfel încât <math> g(c) = 0 </math>.