View source for E:14892

'''E:14892 (Radu Pop & Ienuțaș Vasile)'''

''Fie triunghiul'' <math>ABC</math> ''cu'' <math>m\left(\sphericalangle C\right) > 30^\circ</math> ''și punctele'' <math>M</math>, <math>P</math>, <math>R</math>, <math>T</math>. ''Punctul'' <math>M</math> ''este situat în interiorul triunghiului'' <math>ABC</math> ''astfel încât'' <math>m\left(\sphericalangle BMA\right) = 120^\circ</math> ''și <math>m\left(\sphericalangle BCM\right) = 30^\circ</math>, punctul <math>P\in \left(MD\right.</math> astfel încât <math>\left[MP\right] \equiv \left[MB\right]</math> cu <math>AM \cap BC = \left\{D\right\}</math>, iar <math>R\in \left(AB\right)</math> și <math>T \in \left(AC\right)</math> astfel încât <math>m\left(\sphericalangle RBM\right) = \frac{1}{2} \cdot m\left(\sphericalangle RPM\right)</math> și <math>m\left(\sphericalangle TPM\right) = 2 \cdot m\left(\sphericalangle TCM\right)</math>.''

# ''Arătați că'' <math>\frac{1}{2} \cdot m\left(\sphericalangle RPT\right) = m\left(\sphericalangle MRT\right) + m\left(\sphericalangle MTR\right)</math>
# ''Determinați măsura unghiului'' <math>\sphericalangle ARM</math>
# ''Arătați că'' <math> m\left(\sphericalangle MRT\right) + m\left(\sphericalangle MAT\right) = m\left(\sphericalangle DMC\right)</math>

'''Soluție'''
[[Fișier:E-14892 a.png|miniatura]]

Folosim notațiile <math>m\left(\sphericalangle RBM\right) = a</math> și <math>m\left(\sphericalangle TCM\right) = b</math>. Atunci <math>m\left(\sphericalangle MPR\right) = 2a</math> și <math>m\left(\sphericalangle MPT\right) = 2b</math>.

Cum <math>m\left(\sphericalangle BMA\right) = 120^\circ</math>, avem <math>m\left(\sphericalangle BMP\right) = 60^\circ</math> și <math>\left[MP\right] \equiv \left[MB\right]</math>, deci triunghiul <math>BMP</math> este echilateral. 

În triunghiul <math>BPR</math> avem <math>m\left(\sphericalangle RBP\right) = a + 60^\circ</math> și <math>m\left(\sphericalangle BPR\right) = 60^\circ - 2a</math>, deci <math>m\left(\sphericalangle BRP\right) = 180^\circ - \left(60^\circ + a\right) - \left(60^\circ -2a\right) = 60^\circ + a = m\left(\sphericalangle RBP\right)</math>. Cum <math>\sphericalangle RBP \equiv \sphericalangle PBR</math>, rezultă că triunghiul <math>PBR</math> este isoscel, cu <math display="block" id="eq1">\left[ BP \right] \equiv \left[RP\right].</math>Fie <math>E</math> simetricul punctului <math>M</math> față de punctul <math>P</math>. Atunci triunghiul <math>MBE</math> este dreptunghic, cu <math>m\left(\sphericalangle MBE\right) = 90^\circ</math> și <math>m\left(\sphericalangle BMP\right) = 60^\circ</math>, deci <math>m\left(\sphericalangle BEM\right) = 30^\circ = m\left(\sphericalangle BCM\right)</math>, deci patrulaterul <math>BMCE</math> este inscriptibil.

Notăm <math>x= m\left(\sphericalangle CBP\right) = m\left(\sphericalangle BCP\right)</math>. Avem <math>m\left(\sphericalangle MPC\right) = m \left(\stackrel{\frown}{MC}\right) = 2\cdot m\left(\sphericalangle MBC\right) = 2\left(60^\circ - x\right)</math>. Atunci <math>m\left(\sphericalangle TPC\right) = m\left(\sphericalangle MPC\right) - m\left(\sphericalangle MPT\right) = 2\left(60^\circ - x\right) - 2b</math>.

În triunghiul <math>TPC</math> avem <math>m\left(\sphericalangle TCP\right) = b + 30^\circ + x</math> și <math>m\left(\sphericalangle TPC\right) = 120^\circ - 2b - 2x</math>, deci <math>m\left(\sphericalangle PTC\right) = 180^\circ - \left(b+30^\circ + x\right) - \left(120^\circ -2b - 2x\right) = 30^\circ + b + x = m\left(\sphericalangle TCP\right)</math>. Cum <math>\sphericalangle TCP \equiv \sphericalangle PCT</math>, rezultă că triunghiul <math>PCT</math> este isoscel, cu <math display="block" id="eq2">\left[ CP \right] \equiv \left[TP\right].</math>Deci punctele <math>M</math>, <math>R</math>, <math>B</math>, <math>C</math>, <math>T</math> sunt conciclice.

a) Avem <math>m\left(\sphericalangle RPT\right) = m \left(\stackrel{\frown}{RT}\right) = m\left(\stackrel{\frown}{RM}\right) + m\left(\stackrel{\frown}{MT}\right) = 2\cdot m\left(\sphericalangle MTR\right) + 2\cdot m\left(\sphericalangle MRT\right)</math>, deci <math>\frac{1}{2} \cdot m\left(\sphericalangle RPT\right) = m\left(\sphericalangle MRT\right) + m\left(\sphericalangle MTR\right).</math>

b) Avem <math>m\left(\sphericalangle ARM\right) = \frac{1}{2}\cdot m\left(\stackrel{\frown}{BM}\right) = m\left(\sphericalangle BCM\right) = 30^\circ.</math>