Editing 14383

'''14383 (Gheorghe Gherasim)'''

''Numerele naturale distincte a, b verifică <math>9 \cdot [\,a, b]\,=a \cdot b \cdot (\,a \cdot b)\,</math>.''

i) ''Arătați că a și b nu sunt prime între ele.''

ii) ''Arătați că diferența numerelor este cel puțin 3.''

''([a, b] reprezintă cel mai mic multiplu comun al numerelor a și b, iar (a, b) este cel mai mare divizor comun al numerelor a și b).''

'''Soluție.'''

i) Se știe că <math>a \cdot b= [\,a, b]\, \cdot (\,a, b)\,</math> și relația devine <math>9 \cdot [\,a, b]\,=[\,a, b]\, \cdot {\{(\,a, b)\,\}}^2</math>. De aici obținem <math>{\{(\,a, b)\,\}}^2=9</math>, de unde <math>(\,a, b)\,=3</math>, ceea ce arată că a și b nu sunt prime între ele.

ii) Din <math>(\,a, b)\,=3</math> rezultă <math>a=3x</math> și <math>b=3y</math> cu <math>(\,x, y)\,=1</math>. Deoarece <math>a<b</math> avem <math>x<y</math>. Cum x și y sunt numere naturale avem <math>y-x \geq 1</math>. Atunci <math>b-a=3(\,y-x)\, \geq 3 \cdot 1=3</math>, de unde <math>b \geq a+3</math>.