Editing 28354

'''28354 (Florin Bojor)'''

''Fie <math>O</math> punctul de intersecție a diagonalelor patrulaterului convex <math>ABCD</math> și punctele <math>E</math> ,<math>F</math> ,<math>G</math> și <math>H</math> pe segmentele <math>OA</math>, <math>OB</math>, <math>OC</math>, respectiv <math>OD</math>, astfel încât <math>AE = BF = CG = DH</math>. Notăm cu <math>I</math>,<math>J</math>,<math>K</math> și <math>L</math> mijloacele segmentelor <math>AB</math>, <math>BC</math>, <math>CD</math>, respectiv <math>DA</math> și cu <math>M</math>,<math>N</math>,<math>P</math> și <math>Q</math> mijloacele segmentelor <math>EF</math>, <math>FG</math>,
<math>GH</math>, respectiv <math>HE</math>. Arătați că:
<li><i> a) punctele <math>I</math>,<math>M</math> și <math>K</math> sunt coliniare dacă și numai dacă <math>AC=BD</math>.
<li><i> b)  <math>AC \not= BD</math>, punctele de intersecție ale dreptelor <math>IM</math>,<math>NJ</math>,<math>PK</math> și  <math>LQ</math> sunt vărfurile unui dreptunghi.''</i></li></ol>


'''Soluție.'''
a)Fie <math>AE = BF = CG = x</math> și versorii <math>\overrightarrow{i}</math> și <math>\overrightarrow{j}</math> a vectorilor <math>\overrightarrow{A C}</math> respectiv <math>\overrightarrow{B D}</math>.

Deoarece <math>I</math> și <math>M</math> sunt mijloacele segmentelor <math>AB</math>, respectiv <math>EF</math>,obținem:

<math>\overrightarrow{I M} = \frac{{1}}{2} \cdot (\overrightarrow{A E}+\overrightarrow{B F}) =\frac{{x}}{2} \cdot 
 \overrightarrow{i} + \frac{{x}}{2} \cdot  \overrightarrow{j} </math>. (1)

Cum <math>K</math> este mijloxul segemntului <math>CD</math>,deducem:


<math>\overrightarrow{I K} = \frac{{1}}{2} \cdot (\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{B D}) =\frac{{AC}}{2} \cdot 
 \overrightarrow{i} + \frac{{BD}}{2} \cdot  \overrightarrow{j} </math> (2)

Din (1) și (2) rezultă ca <math>I<math>M</math>,<math>M</math> și<math>K</math> sunt coliniare dacă și numai dacă <math>AC = BD</math>.

b)Notăm <math>\overrightarrow{i} +\overrightarrow{j} = \overrightarrow{O R}</math>  și  <math>\overrightarrow{-i} +\overrightarrow{j} = \overrightarrow{O S}</math>.

Se observă că  semidreptele (OR și OS sunt bisectoarele unghiurilor COD,respectiv AOD.Ca în (1),deducem că <math>\overrightarrow{P K} =\overrightarrow{I M} =  \frac{{x}}{2} \cdot (\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}) =\frac{{x}}{2} \cdot  \overrightarrow{O R}</math>,iar <math>\overrightarrow{J N} =\overrightarrow{Q L} =  \frac{{x}}{2} \cdot (\overrightarrow{-i}+\overrightarrow{j}) =\frac{{x}}{2} \cdot  \overrightarrow{O S}</math>.

Fiind bisectoarele a două unghiuri adiacente suplementare,semidreptele (OR și OS sunt perpendiculare ,de unde rezultă că <math>IM \perp JN</math>,<math>JN \perp KP</math> , <math>KP \perp LQ</math>  și <math>LQ \perp IM</math>.Dar <math>AC \not= BD</math> , deci <math>I</math>,<math>M</math> și <math>K<math>M</math> sunt necoliniare ,așadar <math>IM \parallel KP</math> , și analog <math>JN \parallel LQ</math>.Notând cu <math>X</math>,<math>Y</math>,<math>Z</math>,<math>W</math> intersecțiile perechilor de drepte <math>IM</math> și <math>JN</math>,<math>JN</math> și <math>KP</math>,<math>KP</math> și <math>LQ</math>,<math>LQ</math> și <math>IM</math> ,din cele de mai înaite rezultă că <math>XYZW</math> este dreptunghi.