Editing 28338

'''28338 (Nicolae Muşuroia)'''

''Fie'' <math>M</math> ''un punct în planul triunghiului'' <math>ABC</math> ''iar'' <math>A_1, B_1, C_1</math> ''simetricele punctului <math>M</math> față de mijloacele laturilor'' <math>BC, AC,</math> ''respectiv'' <math>AB</math>''.''

''a) Arătați că dreptele'' <math>AA_1, BB_1, CC_1</math> ''sunt concurente într-un punct'' <math>N</math>''.''

''b) Arătați că punctele'' <math>M, G, N</math> ''sunt coliniare și că'' <math>\frac{MG}{GN}</math> <math>= 2,</math> ''unde'' <math>G</math> ''este centrul de greutate al triunghiului'' <math>ABC</math>''.''

'''Soluție:'''

a) Patrulaterele <math>ABA_1B_1</math> și <math>BCB_1C_1</math> sunt paralelograme, prin urmare diagonalele lor au același mijloc. Rezultă <math>AA_1</math> <math>\cap</math> <math>BB_1</math> <math>\cap</math> <math>CC_1</math> <math>=</math> <math>\{N\}</math>.

b) Notăm afixele punctelor din problemă cu literele mici corespunzătoare. Cum <math>AMBC_1</math><math>,</math> <math>AMCB_1</math> și <math>BMCA_1</math> sunt paralelograme, rezultă

<math>a_1 = b + c - m</math><math>,</math>                                  <math>b_1 = c + a - m,</math>                                  <math>c_1 = a + b - m</math>.

În plus, cum <math>N</math> este mijlocul lui <math>AA_1</math>, rezultă că <math>n =</math> <math>\frac{a+a_1}{2}</math> <math>=</math> <math>\frac{a+b+c-m}{2}</math>.

Punctul <math>G</math> este centrul de greutate al triunghiului <math>ABC,</math> deci <math>g =</math> <math>\frac{a+b+c}{3}</math>.

Se verifică imediat că <math>\frac{g-m}{n-g}</math> <math>= 2</math> <math>\in</math> <math>\reals</math><math>,</math> deci punctele <math>M, G</math> și <math>N</math> sunt coliniare și <math>\frac{MG}{GN}</math> <math>=</math> <math>\frac{g-m}{n-g}</math> <math>=</math> <math>\frac{g-m}{n-g}</math> <math>=</math> <math>2</math>.