Editing E:15990

'''E:15990 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc, Baia Mare )'''

''Aflați numărul'' <math>\overline{xyzt}= \overline{ab}\cdot\overline{ac}</math>, ''știind că'' <math>\overline{a,b}+\overline{a,c}=p^2</math> și <math>\overline{ab}-\overline{ac}=q^2</math>, ''unde p și q sunt numere prime.''

'''Soluție:'''

''Din <math>\overline{a,b}+\overline{a,c}=p^2</math> rezultă <math>\overline{ab}+\overline{ac}=10\cdot p^2</math>. Adunăm cu <math>\overline{ab}-\overline{ac}=q^2</math> și obținem <math>2\cdot \overline{ab}=10\cdot p^2+q^2</math>. Astfel <math>q^2</math> este par, de unde <math>q</math> este par, adică <math>q=2</math>, deoarece <math>q</math> este prim. Înlocuind, obținem <math>\overline{ab}=5\cdot p^2+4</math>.'' 

''Pentru <math>p=2</math> se obține <math>\overline{ab}=22</math> iar <math>\overline{ac}=18</math>, numere ce convin deoarece nu încep cu aceeași cifra.''

''Pentru <math>p=3</math> se obține <math>\overline{ab}=47</math> și <math>\overline{ac}=43</math> iar <math>\overline{xyzt}=2021</math>.''

''Pentru <math>p=5</math> se obține <math>\overline{ab}=127</math> care nu este număr de două cifre.''