Editing 28250

<sub>'''<big>28250 (Codruț-Sorin Zmicală)</big>'''</sub>

''Calculați''

''<math>\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{\int_{0}^{1} (\sqrt{x}+x^n})^ndx</math>.''

'''Soluție:'''

Fie <math>a_n=\int_{0}^{1} (\sqrt{x}+x^n)^ndx</math>, n<math>\in\Nu^*</math>. Cu binomul lui Newton avem <math>(\sqrt{x}+x^n)^n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}x^\tfrac{(2n-1)k+n}{2}</math>, iar prin integrare pe [0,1] obținem <math>a_n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\cdot\frac{2}{(2n-1)k+n+2}</math>. 

Pentru orice <math>k\in\{0,1,...,n\}</math> avem <math>\binom{n}{k}\cdot\frac{1}{n^2+1}\leqslant\binom{n}{k}\cdot\frac{2}{(2n-1)k+n+2}\leqslant\binom{n}{k}</math>, iar prin însumarea acestor inegalități obținem <math>\frac{2^n}{n^2+1}\leqslant a_n\leqslant 2^n</math>. 

Rezultă <math>\frac{2}{\sqrt[n]{n^2+1}}\leqslant{\sqrt[n]{a_n}}\leqslant2</math>, pentru orice <math>n\geqslant2</math>. Cum <math>\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{n^2+1}=1</math>, din teorema cleștelui obținem <math>\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{a_n}=2</math>.