Editing 27036

'''27036 (Radu Pop)'''

''Să se determine funcțiile derivabile <math>f
</math> : ℝ -> ℝ cu proprietățile:''

''a)  <math>f'
</math> este funcție strict crescătoare;''

''b)  <math>f'(0) = 0;
</math>''

''c) <math>f(yf'(x)) + f(x)f(y) = xy f'(x)f'(y)
</math> , oricare ar fi x, y ∈ ℝ;''


'''Soluție:'''

Cum <math>f' (x) > 0, x \in (0, \infty)
</math>,  rezultă că <math>f
</math> este strict crescătoare, deci injectivă pe <math>[0, \infty)
</math>. Deoarece expresia <math>xyf'(x)f'(y)-f(x)f(y)
</math> simetrică in x și y, din c) rezultă că <math>f(yf'(x))=f(xf'(y))
</math>.  Din injectivitatea lui <math>f
</math> obținem <math>yf'(x)=xf'(y)
</math>, pentru orice <math>x,y \in [0, \infty)
</math>. În particular, <math>f'(x) = f'(1)x
</math> , deci <math>f(x) = ax^2 +c
</math> , unde <math>a = \left ( \frac{f'(1)}{2} \right ) > 0
</math> și <math>c \in 
</math> ℝ . Pentru <math>x, y \in [0, \infty)
</math> avem <math>f(2axy)+a^2 x^2 y^2 = 4a^2 x^2y^2
</math> , deci <math>4a^3x^2y^2+a^2x^2y^2=4a^2x^2y^2
</math>. Rezultă <math>a = \frac{3}{4}
</math> , deci <math>f(x) = \frac{3}{4}x^2, x \in [0, \infty)
</math>. Dacă <math>x, y \in (-\infty, 0]
</math>, atunci <math>yf'(x)\geq 0, xf'(y)\geq0
</math>  și că mai  sus avem <math>yf'(x)=xf'(y)
</math>. În particular <math>f'(x)=-f'(-1)x
</math>, deci <math>f(x)=bx^2 + d,
</math> cu <math>b>0
</math> și d <math>\in
</math> ℝ . Cum <math>0 = f(0) = d, 
</math> rezultă că <math>f(x) = bx^2, x \in (-\infty, 0]
</math> Pentru <math>x = -1, y = 1
</math>, avem <math>f(-3b)+\frac{3}{4}b = 3b
</math>, deci <math>4b^3 = \frac{9}{4}b
</math>

și cum <math>b> 0 
</math>, rezultă <math>b = \frac{3}{4}.
</math> 

Obținem <math>f(x) = \frac{3}{4}x^2, x \in
</math>ℝ  , funcție care verifică ipotezele din enunț.