View source for E14309

'''E:14309. (Alexandru Vele, Târgu Lăpuș)'''

''Determinați numerele naturale'' <math>a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6, a_7</math> ''astfel încât să avem egalitatea:''
 ''2012 ='' <math>a_1 \cdot 3^x + a_2 \cdot 3^y + a_3 \cdot 3^z + a_4 \cdot 3^t + a_5 \cdot 3^u + a_6 \cdot 3^r + a_7 \cdot 3^s</math>

 ''Arătați că a<sub>1</sub> + a<sub>2</sub> +  a<sub>3</sub> + a<sub>4</sub> + a<sub>5</sub> + a<sub>6</sub> + a<sub>7</sub> =  m<sup>2</sup> + n<sup>2</sup> , m,n ∈ <math>\Nu</math>''
'''Soluție''' 

Dacă <math>a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6, a_7</math> sunt mai mici decât 3 atunci, <math>a_1 \cdot 3^x + a_2 \cdot 3^y + a_3 \cdot 3^z + a_4 \cdot 3^t + a_5 \cdot 3^u + a_6 \cdot 3^r + a_7 \cdot 3^s</math> poate fi privită ca scrierea în baza 3 a lui 2012. Cum <math>2012 = 2 \cdot 3^0 + 1 \cdot 3^1 + 1 \cdot 3^2 + 2 \cdot 3^3 + 0 \cdot 3^4 + 2 \cdot 3^5 + 2 \cdot 3^6</math> avem <math>a_1 +  a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + a_7 = 2 + 1 + 1 + 2 + 0 + 2 + 2 = 10 = 1^2 + 3^2</math>. Dacă cel puțin unul dintre numerele <math>a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6, a_7</math> este mai mare sau egal cu 3, atunci problema nu mai rămâne adevărată; 2012 se poate scrie ca o sumă de puteri ale lui 3, dar suma <math>a_1 +  a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + a_7</math> nu se mai scrie, sigur, ca sumă două pătrate.