https://wiki.universitas.ro/api.php?action=feedcontributions&feedformat=atom&user=Vancea+Denisa 2026-05-01T04:30:59Z User contributions MediaWiki 1.42.1 https://wiki.universitas.ro/index.php?title=15698&diff=8244 2023-12-18T21:05:14Z

<p>Vancea Denisa: </p> <hr /> <div>'''E:15698 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc, Baia Mare)'''<br /> <br /> ''Determinați numerele naturale a, b, c pentru care''&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\left(2020 a \right)^2 + \left(2021 b\right)^2 = 2022 c^2&lt;/math&gt;'''Soluție:''' <br /> <br /> Vom folosi proprietatea: dacă suma pătratelor a două numere naturale este divizibilă cu 3, atunci fiecare număr este divizibil cu 3. Această proprietate reiese din faptul că, dacă &lt;math&gt;n\in\mathbb{N}&lt;/math&gt; nu este divizibil cu 3, atunci n&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = ''M&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;'' + 1.<br /> <br /> Aici, deoarece 2022 este divizibil cu 3 iar 2021 și 2020 sunt divizibile cu 3, reiese că 3 ا a și 3 ا b. Dacă a ≠ 0 sau b ≠ 0, atunci a = 3a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; și b = 3b&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, cu a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;b&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; ϵ ℕ, iar a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; &lt; a sau b&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; &lt; b. Rezultă 9 &lt;math&gt;\bigl(\bigl(&lt;/math&gt;2020a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;&lt;math&gt;\bigr)&lt;/math&gt;&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; + &lt;math&gt;\bigl(&lt;/math&gt;2021b&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;&lt;math&gt;\bigr)&lt;/math&gt;&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 2022c&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;, ceea ce implică c = 3c&lt;sub&gt;1,&lt;/sub&gt; cu c&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; ϵ ℕ. Relația devine &lt;math&gt;\bigl(&lt;/math&gt;2020a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;&lt;math&gt;\bigr)&lt;/math&gt;&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; + &lt;math&gt;\bigl(&lt;/math&gt;2021b&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;&lt;math&gt;\bigr)&lt;/math&gt;&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 2022c&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;, ceea ce, ca mai sus, duce la a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; = 3a&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;, b&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; = 3b&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;, c&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; = 3c&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;, cu a&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;, b&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;, c&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; ϵ ℕ, iar a&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; &lt; a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; sau b&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; &lt; b&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;. Repetând raționamentul obținem un șir nesfârșit de numere naturale a &gt; a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; &gt; a&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; &gt; . . . sau un șir nesfârșit de numere naturale b &gt; b&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; &gt; b&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; &gt; . . . - imposibil. Astfel, presupunerea a ≠ 0 sau b ≠ 0 este falsă.<br /> <br /> Rămâne soluția a = b = c = 0.<br /> <br /> ''Observație''. Ideea folosită în rezolvarea de mai sus pentru a arăta că a = b= 0 reprezintă ''metoda coborârii infinite.''</div>

Vancea Denisa https://wiki.universitas.ro/index.php?title=15698&diff=8169 2023-12-15T19:52:46Z

<p>Vancea Denisa: </p> <hr /> <div>'''E:15698 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc, Baia Mare)'''<br /> <br /> ''Determinați numerele naturale a, b, c pentru care'' <br /> <br /> ''(2020a)&lt;sup&gt;2 +&lt;/sup&gt; (2021b)&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 2022c&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; .''<br /> <br /> '''Soluție:''' <br /> <br /> Vom folosi proprietatea: dacă suma pătratelor a două numere naturale este divizibilă cu 3, atunci fiecare număr este divizibil cu 3. Această proprietate reiese din faptul că, daca n ϵ ℕ nu este divizibil cu 3, atunci n&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = ''M&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;'' + 1.<br /> <br /> Aici, deoarece 2022 este divizibil cu 3 iar 2021 și 2020 sunt divizibile cu 3, reiese că 3 ا a și 3 ا b. Dacă a ≠ 0 sau b ≠ 0, atunci a = 3a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; și b = 3b&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, cu a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;b&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; ϵ ℕ, iar a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; &lt; a sau b&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; &lt; b. Rezultă 9 &lt;math&gt;\bigl(\bigl(&lt;/math&gt;2020a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;&lt;math&gt;\bigr)&lt;/math&gt;&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; + &lt;math&gt;\bigl(&lt;/math&gt;2021b&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;&lt;math&gt;\bigr)&lt;/math&gt;&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 2022c&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;, ceea ce implică c = 3c&lt;sub&gt;1,&lt;/sub&gt; cu c&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; ϵ ℕ. Relația devine &lt;math&gt;\bigl(&lt;/math&gt;2020a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;&lt;math&gt;\bigr)&lt;/math&gt;&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; + &lt;math&gt;\bigl(&lt;/math&gt;2021b&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;&lt;math&gt;\bigr)&lt;/math&gt;&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 2022c&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;, ceea ce, ca mai sus, duce la a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; = 3a&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;, b&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; = 3b&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;, c&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; = 3c&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;, cu a&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;, b&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;, c&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; ϵ ℕ, iar a&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; &lt; a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; sau b&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; &lt; b&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;. Repetând raționamentul obținem un șir nesfârșit de numere naturale a &gt; a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; &gt; a&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; &gt; . . . sau un șir nesfârșit de numere naturale b &gt; b&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; &gt; b&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; &gt; . . . - imposibil. Astfel, presupunerea a ≠ 0 sau b ≠ 0 este falsă.<br /> <br /> Rămâne soluția a = b = c = 0.<br /> <br /> ''Observație''. Ideea folosită în rezolvarea de mai sus pentru a arăta că a = b= 0 reprezintă ''metoda coborârii infinite.''</div>

Vancea Denisa https://wiki.universitas.ro/index.php?title=15698&diff=8168 2023-12-15T19:43:58Z

<p>Vancea Denisa: </p> <hr /> <div>'''E:15698 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc, Baia Mare)'''<br /> <br /> ''Determinați numerele naturale a, b, c pentru care''<br /> <br /> ''(2020a)&lt;sup&gt;2 +&lt;/sup&gt; (2021b)&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 2022c&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; .''<br /> <br /> '''Soluție:''' <br /> <br /> Vom folosi proprietatea: dacă suma pătratelor a două numere naturale este divizibilă cu 3, atunci fiecare număr este divizibil cu 3. Această proprietate reiese din faptul că, daca n ϵ ℕ nu este divizibil cu 3, atunci n&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = ''M&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;'' + 1.<br /> <br /> Aici, deoarece 2022 este divizibil cu 3 iar 2021 și 2020 sunt divizibile cu 3, reiese că 3 ا a și 3 ا b. Dacă a ≠ 0 sau b ≠ 0, atunci a = 3a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; și b = 3b&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, cu a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;b&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; ϵ ℕ, iar a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; &lt; a sau b&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; &lt; b. Rezultă 9 &lt;math&gt;\bigl(\bigl(&lt;/math&gt;2020a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;&lt;math&gt;\bigr)&lt;/math&gt;&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; + &lt;math&gt;\bigl(&lt;/math&gt;2021b&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;&lt;math&gt;\bigr)&lt;/math&gt;&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 2022c&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;, ceea ce implică c = 3c&lt;sub&gt;1,&lt;/sub&gt; cu c&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; ϵ ℕ. Relația devine &lt;math&gt;\bigl(&lt;/math&gt;2020a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;&lt;math&gt;\bigr)&lt;/math&gt;&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; + &lt;math&gt;\bigl(&lt;/math&gt;2021b&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;&lt;math&gt;\bigr)&lt;/math&gt;&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 2022c&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;, ceea ce, ca mai sus, duce la a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; = 3a&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;, b&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; = 3b&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;, c&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; = 3c&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;, cu a&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;, b&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;, c&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; ϵ ℕ, iar a&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; &lt; a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; sau b&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; &lt; b&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;. Repetând raționamentul obținem un șir nesfârșit de numere naturale a &gt; a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; &gt; a&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; &gt; . . . sau un șir nesfârșit de numere naturale b &gt; b&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; &gt; b&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; &gt; . . . - imposibil. Astfel, presupunerea a ≠ 0 sau b ≠ 0 este falsă.<br /> <br /> Rămâne soluția a = b = c = 0.<br /> <br /> ''Observație''. Ideea folosită în rezolvarea de mai sus pentru a arăta că a = b= 0 reprezintă ''metoda coborârii infinite.''</div>

Vancea Denisa https://wiki.universitas.ro/index.php?title=15698&diff=7800 2023-12-11T22:23:37Z

<p>Vancea Denisa: Pagină nouă: &#039;&#039;&#039;E:15698 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc, Baia Mare)&#039;&#039;&#039; &#039;&#039;Determinați numerele naturale a, b, c pentru care&#039;&#039; &#039;&#039;(2020a)&lt;sup&gt;2 +&lt;/sup&gt; (2021b)&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 2022c&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; .&#039;&#039; &#039;&#039;&#039;Soluție:&#039;&#039;&#039; Vom folosi proprietatea: dacă suma pătratelor a două numere naturale este divizibilă cu 3, atunci fiecare număr este divizibil cu 3. Această proprietate reiese din faptul că, daca n ϵ ℕ nu este divizibil cu 3, atunci n&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; =</p> <hr /> <div>'''E:15698 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc, Baia Mare)'''<br /> <br /> ''Determinați numerele naturale a, b, c pentru care''<br /> <br /> ''(2020a)&lt;sup&gt;2 +&lt;/sup&gt; (2021b)&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 2022c&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; .''<br /> <br /> '''Soluție:''' <br /> <br /> Vom folosi proprietatea: dacă suma pătratelor a două numere naturale este divizibilă cu 3, atunci fiecare număr este divizibil cu 3. Această proprietate reiese din faptul că, daca n ϵ ℕ nu este divizibil cu 3, atunci n&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; =</div>

Vancea Denisa