Bitnami MediaWiki - User contributions [en]

E:14331

2023-12-27T21:19:45Z

Teglas Bogdan:

'''E:14.331 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc)'''
 

''Fie ''<math> n \ge2 </math>'' un număr natural. Arătați că numărul ''<math> n^4 + n^2 + 3 </math> ''nu poate fi scris ca suma a doua numere prime.''
 

'''Soluție.'''
 

''Avem ''<math>n^4 + n^2 + 3 = n^2(n^2+1) + 3 </math>.'' Deoarece'' <math>n^2</math> ''și'' <math>n^2 + 1</math>'' sunt consecutive, produsul lor este un număr par și atunci ''<math> n^4 + n^2 + 3</math> ''este număr impar. Presupunem că există două numere prime,''<math>a</math>'' și ''<math>b</math> ''astfel încât ''<math>n^4 + n^2 + 3 = a + b.</math>''Din cele de mai sus unul dintre numere ''<math>a </math> ''și ''<math>b </math> ''trebuie să fie ''<math>2</math>. ''Alegem ''<math>a =2.</math>''Atunci, '' <math> n^4 + n^2 + 3 = (n^2 - n + 1)(n^2 + n + 1).</math>''Cum ''<math>(n^2 - n + 1)</math> ''și'' <math>(n^2 + n + 1)</math> ''sunt mai mari ca ''<math>1</math> ''în condițiile date, rezultă'' <math>
b</math> ''nu este număr prim. Prin urmare, presupunerea făcută este falsă.''

E:14331

2023-12-27T21:18:30Z

Teglas Bogdan:

'''E:14.331 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc)'''
 

''Fie ''<math> n \ge2 </math>'' un număr natural. Arătați că numărul ''<math> n^4 + n^2 + 3 </math> ''nu poate fi scris ca suma a doua numere prime.''
 

'''Soluție.'''
 

''Avem ''<math>n^4 + n^2 + 3 = n^2(n^2+1) + 3 </math>.'' Deoarece'' <math>n^2</math> ''și'' <math>n^2 + 1</math>'' sunt consecutive, produsul lor este un număr par și atunci'''<math> n^4 + n^2 + 3</math> ''este număr impar. Presupunem că există două numere prime,''<math>a</math>'' și ''<math>b</math> ''astfel încât ''<math>n^4 + n^2 + 3 = a + b.</math>''Din cele de mai sus unul dintre numere ''<math>a</math> ''și ''<math>b</math> ''trebuie să fie''<math>2</math>. ''Alegem ''<math>a=2.</math>''Atunci, '' <math> n^4 + n^2 + 3 = (n^2 - n + 1)(n^2 + n + 1).</math>''Cum ''<math>(n^2 - n + 1)</math> ''și'' <math>(n^2 + n + 1)</math> ''sunt mai mari ca ''<math>1</math> ''în condițiile date, rezultă'' <math>
b</math> ''nu este număr prim. Prin urmare, presupunerea făcută este falsă.''

E:14331

2023-12-27T21:18:01Z

Teglas Bogdan:

'''E:14.331 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc)'''
 

''Fie ''<math> n \ge2 </math>'' un număr natural. Arătați că numărul ''<math> n^4 + n^2 + 3 </math> ''nu poate fi scris ca suma a doua numere prime.''
 

'''Soluție.'''
 

''Avem ''<math>n^4 + n^2 + 3 = n^2(n^2+1) + 3 </math>.'' Deoarece'' <math>n^2</math> ''și'' <math>n^2 + 1</math>'' sunt consecutive, produsul lor este un număr par și atunci'''<math> n^4 + n^2 + 3</math> ''este număr impar. Presupunem că există două numere prime,''<math>a</math>'' și ''<math>b</math> ''astfel încât ''<math>n^4 + n^2 + 3 = a + b.</math>''Din cele de mai sus unul dintre numere ''<math>a</math> ''și ''<math>b</math> ''trebuie să fie''<math>2</math>. ''Alegem ''<math>a=2.</math>''Atunci,'' <math> n^4 + n^2 + 3 = (n^2 - n + 1)(n^2 + n + 1).</math>''Cum ''<math>(n^2 - n + 1)</math> ''și'' <math>(n^2 + n + 1)</math> ''sunt mai mari ca ''<math>1</math> ''în condițiile date, rezultă'' <math>
b</math> ''nu este număr prim. Prin urmare, presupunerea făcută este falsă.''

E:14336

2023-12-27T21:14:52Z

Teglas Bogdan:

'''S:E14336 (Gh. Szöllösy)'''
 

''Fie <math>a</math> și <math>b</math> două numere reale nenule, fixate. Determinați toate funcțiile'' <math>f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math>'' cu proprietatea:'' <math display="block">f(x)-f(y)=(ax + by)f(x)f(y),</math> 
''pentru orice'' <math>x</math> și <math>y</math> numere reale.

'''Soluție.'''

'' Presupunem că''<math> f(0)=c\neq0.</math>'' Atunci, pentru ''<math>y = 0</math> ''relația din enunț devine'' <math>f(x)-c=acxf(x).</math>''Ultima relație nu poate fi adevărată pentru orice''<math>x\in \mathbb{R}.</math> 
''Într-adevăr, pentru'' <math>x=\frac{1}{ac}</math> ''obținem'' <math>c=0</math>,'' în contradicție cu presupunerea făcută,'' <math>c\neq0.</math>. ''Rezultă așadar, că'' <math>f(0)=0.</math> ''De aici, luând'' <math>y=0</math> ''obținem'' <math>f(x)=0,</math>'' singura funcție care verifică relația dată.''

E:14336

2023-12-27T21:14:35Z

Teglas Bogdan:

E:14336

2023-12-27T21:14:01Z

Teglas Bogdan:

'''S:E14336 (Gh. Szöllösy)'''
 

''Fie <math>a</math> și <math>b</math> două numere reale nenule, fixate. Determinați toate funcțiile'' <math>f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math>'' cu proprietatea:'' <math display="block">f(x)-f(y)=(ax + by)f(x)f(y),</math> 
''pentru orice'' <math>x</math> și <math>y</math> numere reale.

'''Soluție.'''

'' Presupunem că''<math> f(0)=c\neq0.</math>''Atunci, pentru ''<math>y = 0</math> ''relația din enunț devine'' <math>f(x)-c=acxf(x).</math>''Ultima relație nu poate fi adevărată pentru orice''<math>x\in \mathbb{R}.</math> 
''Într-adevăr, pentru'' <math>x=\frac{1}{ac}</math> ''obținem'' <math>c=0</math>,'' în contradicție cu presupunerea făcută,'' <math>c\neq0.</math>. ''Rezultă așadar, că'' <math>f(0)=0.</math> ''De aici, luând'' <math>y=0</math> ''obținem'' <math>f(x)=0,</math>''singura funcție care verifică relația dată.''

E:14336

2023-12-27T21:08:15Z

Teglas Bogdan:

'''S:E14336 (Gh. Szöllösy)'''
 

''Fie <math>a</math> și <math>b</math> două numere reale nenule, fixate. Deteriminați toate funcțiile <math>f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> cu proprietatea:'' <math display="block">f(x)-f(y)=(ax + by)f(x)f(y),</math> 
''pentru orice <math>x</math> și <math>y</math> numere reale.''

'''Soluție.'''

'' Presupunem că<math> f(0)=c\neq0.</math>Atunci, pentru <math>y = 0</math> relația din enunț devine <math>f(x)-c=acxf(x).</math>Ultima relație nu poate fi adevărată pentru orice<math>x\in \mathbb{R}.</math> 
Într-adevăr, pentru <math>x=\left(\frac{1}{ac}\right)</math>

E:14336

2023-12-27T21:01:03Z

Teglas Bogdan:

E:14336

2023-12-27T21:00:22Z

Teglas Bogdan:

E:14331

2023-12-27T20:57:58Z

Teglas Bogdan:

'''E:14.331 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc)'''
 

''Fie <math> n \ge2 </math> un număr natural. Arătați că numărul <math> n^4 + n^2 + 3 </math> nu poate fi scris ca suma a doua numere prime.''
 

'''Soluție.'''
 

Avem <math>n^4 + n^2 + 3 = n^2(n^2+1) + 3 </math>. Deoarece <math>n^2</math> și <math>n^2 + 1</math> sunt consecutive, produsul lor este un număr par și atunci<math> n^4 + n^2 + 3</math> este număr impar. Presupunem că există două numere prime,<math>a</math> și <math>b</math> astfel încât <math>n^4 + n^2 + 3 = a + b.</math>Din cele de mai sus unul dintre numere <math>a</math> și <math>b</math> trebuie să fie<math>2</math>. Alegem <math>a=2.</math>Atunci, <math> n^4 + n^2 + 3 = (n^2 - n + 1)(n^2 + n + 1).</math>Cum <math>(n^2 - n + 1)</math> și <math>(n^2 + n + 1)</math> sunt mai mari <math>1</math> în condițiile date, rezultă <math>
b</math> nu este număr prim. Prin urmare, presupunerea făcută este falsă.

E:14336

2023-12-27T20:55:10Z

Teglas Bogdan:

E:14336

2023-12-27T20:54:46Z

Teglas Bogdan: Pagină nouă: '''S:E14336 (Gh. Szöllösy)''' ''Fie <math>a</math> și <math>b</math> două numere reale nenule, fixate. Deteriminați toate funcțiile <math>f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> cu proprietatea: <math display="block">f(x)-f(y)=(ax + by)f(x)f(y)</math>, pentru orice <math>x</math> și <math>y</math> numere reale.'' '''Soluție.'''

E:14331

2023-12-27T20:36:35Z

Teglas Bogdan:

'''E:14.331 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc)'''
 

''Fie <math> n >= 2 </math> un număr natural. Arătați că numărul <math> n^4 + n^2 + 3 </math> nu poate fi scris ca suma a doua numere prime.''
 

'''Soluție.'''
 

Avem <math>n^4 + n^2 + 3 = n^2(n^2+1) + 3 </math>. Deoarece <math>n^2</math> și <math>n^2 + 1</math> sunt consecutive, produsul lor este un număr par și atunci<math> n^4 + n^2 + 3</math> este număr impar. Presupunem că există două numere prime,<math>a</math> și <math>b</math> astfel încât <math>n^4 + n^2 + 3 = a + b.</math>Din cele de mai sus unul dintre numere <math>a</math> și <math>b</math> trebuie să fie<math>2</math>. Alegem <math>a=2.</math>Atunci, <math> n^4 + n^2 + 3 = (n^2 - n + 1)(n^2 + n + 1).</math>Cum <math>(n^2 - n + 1)</math> și <math>(n^2 + n + 1)</math> sunt mai mari <math>1</math> în condițiile date, rezultă <math>
b</math> nu este număr prim. Prin urmare, presupunerea făcută este falsă.

E:14331

2023-12-27T20:36:21Z

Teglas Bogdan:

'''E:14.331 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc)'''
 

''Fie <math> n >= 2 </math> un număr natural. Arătați că numărul <math> n^4 + n^2 + 3 </math> nu poate fi scris ca suma a doua numere prime.''
 
'''Soluție.'''
 

Avem <math>n^4 + n^2 + 3 = n^2(n^2+1) + 3 </math>. Deoarece <math>n^2</math> și <math>n^2 + 1</math> sunt consecutive, produsul lor este un număr par și atunci<math> n^4 + n^2 + 3</math> este număr impar. Presupunem că există două numere prime,<math>a</math> și <math>b</math> astfel încât <math>n^4 + n^2 + 3 = a + b.</math>Din cele de mai sus unul dintre numere <math>a</math> și <math>b</math> trebuie să fie<math>2</math>. Alegem <math>a=2.</math>Atunci, <math> n^4 + n^2 + 3 = (n^2 - n + 1)(n^2 + n + 1).</math>Cum <math>(n^2 - n + 1)</math> și <math>(n^2 + n + 1)</math> sunt mai mari <math>1</math> în condițiile date, rezultă <math>
b</math> nu este număr prim. Prin urmare, presupunerea făcută este falsă.

E:14331

2023-12-27T20:35:51Z

Teglas Bogdan:

'''E:14.331 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc)'''
 
''Fie <math> n >= 2 </math> un număr natural. Arătați că numărul <math> n^4 + n^2 + 3 </math> nu poate fi scris ca suma a doua numere prime.''
 
'''Soluție.'''
 
Avem <math>n^4 + n^2 + 3 = n^2(n^2+1) + 3 </math>. Deoarece <math>n^2</math> și <math>n^2 + 1</math> sunt consecutive, produsul lor este un număr par și atunci<math> n^4 + n^2 + 3</math> este număr impar. Presupunem că există două numere prime,<math>a</math> și <math>b</math> astfel încât <math>n^4 + n^2 + 3 = a + b.</math>Din cele de mai sus unul dintre numere <math>a</math> și <math>b</math> trebuie să fie<math>2</math>. Alegem <math>a=2.</math>Atunci, <math> n^4 + n^2 + 3 = (n^2 - n + 1)(n^2 + n + 1).</math>Cum <math>(n^2 - n + 1)</math> și <math>(n^2 + n + 1)</math> sunt mai mari <math>1</math> în condițiile date, rezultă <math>
b</math> nu este număr prim. Prin urmare, presupunerea făcută este falsă.

E:14331

2023-12-27T20:34:43Z

Teglas Bogdan:

'''E:14.331 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc)'''
 
''Fie <math> n >= 2 </math> un număr natural. Arătați că numărul <math> n^4 + n^2 + 3 </math> nu poate fi scris ca suma a doua numere prime.''
 
'''Soluție.'''
 
Avem <math>n^4 + n^2 + 3 = n^2(n^2+1) + 3 </math>. Deoarece <math>n^2</math> și <math>n^2 + 1</math> sunt consecutive, produsul lor este un număr par și atunci<math> n^4 + n^2 + 3</math> este număr impar. Presupunem că există două numere prime,<math>a</math> și <math>b</math> astfel încât <math>n^4 + n^2 + 3 = a + b.</math>Din cele de mai sus unul dintre numere <math>a</math> și <math>b</math> trebuie să fie<math>2</math>. Alegem <math>a=2.</math>Atunci, <math> n^4 + n^2 + 3 = (n^2 - n + 1)(n^2 + n + 1).</math>Cum <math>(n^2 - n + 1)</math> și <math>(n^2 + n + 1)</math> sunt mai mari <math>1</math> în condițiile date, rezultă <math>
b</math> nu este număr prim. Prin urmare, presupunerea făcută este falsă.

E:14331

2023-12-27T20:34:12Z

Teglas Bogdan:

'''E:14.331 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc)'''
 
''Fie <math> n >= 2 </math> un număr natural. Arătați că numărul <math> n^4 + n^2 + 3 </math> nu poate fi scris ca suma a doua numere prime.''
 
'''Soluție.'''
 
Avem <math display>n^4 + n^2 + 3 = \left (n^2(n^2+1) + 3) </math>. Deoarece <math>n^2</math> și <math>n^2 + 1</math> sunt consecutive, produsul lor este un număr par și atunci<math> n^4 + n^2 + 3</math> este număr impar. Presupunem că există două numere prime,<math>a</math> și <math>b</math> astfel încât <math>n^4 + n^2 + 3 = a + b.</math>Din cele de mai sus unul dintre numere <math>a</math> și <math>b</math> trebuie să fie<math>2</math>. Alegem <math>a=2.</math>Atunci, <math> n^4 + n^2 + 3 = (n^2 - n + 1)(n^2 + n + 1).</math>Cum <math>(n^2 - n + 1)</math> și <math>(n^2 + n + 1)</math> sunt mai mari <math>1</math> în condițiile date, rezultă <math>
b</math> nu este număr prim. Prin urmare, presupunerea făcută este falsă.

E:14331

2023-12-27T20:33:43Z

Teglas Bogdan:

'''E:14.331 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc)'''
 
''Fie <math> n >= 2 </math> un număr natural. Arătați că numărul <math> n^4 + n^2 + 3 </math> nu poate fi scris ca suma a doua numere prime.''
 
'''Soluție.'''
 
Avem <math>n^4 + n^2 + 3 = \left (n^2(n^2+1) + 3) </math>. Deoarece <math>n^2</math> și <math>n^2 + 1</math> sunt consecutive, produsul lor este un număr par și atunci<math> n^4 + n^2 + 3</math> este număr impar. Presupunem că există două numere prime,<math>a</math> și <math>b</math> astfel încât <math>n^4 + n^2 + 3 = a + b.</math>Din cele de mai sus unul dintre numere <math>a</math> și <math>b</math> trebuie să fie<math>2</math>. Alegem <math>a=2.</math>Atunci, <math> n^4 + n^2 + 3 = (n^2 - n + 1)(n^2 + n + 1).</math>Cum <math>(n^2 - n + 1)</math> și <math>(n^2 + n + 1)</math> sunt mai mari <math>1</math> în condițiile date, rezultă <math>
b</math> nu este număr prim. Prin urmare, presupunerea făcută este falsă.

E:14331

2023-12-27T20:32:18Z

Teglas Bogdan:

E:14331

2023-12-27T19:59:55Z

Teglas Bogdan: Pagină nouă: '''E:14.331 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc)''' ''Fie <math> n >= 2 </math> un număr natural. Arătați că numărul <math> n^4 + n^2 + 3 </math> nu poate fi scris ca suma a doua numere prime.'' '''Soluție.'''