E:14228

2023-10-22T18:38:00Z

Rsovago: Pagină nouă: '''E:14228 (Mihai Vijdeluc)''' ''Arătați că nu există niciun număr de forma <math>\overline{abc}</math> cu proprietatea că <math>\sqrt{\overline{abc}} = \sqrt{\overline{bc}} + a</math>'' '''Soluție:''' Ridicăm relația la patrat și obținem <math>\overline{abc} = \overline{bc} + a^2 + 2a\sqrt{\overline{bc}}</math>, echivalentă cu <math>100a + 10b + c = 10b + c + a^2 + 2a\sqrt{\overline{bc}}</math> sau <math>100 = a + 2\sqrt{\overline{bc}}</math>. Valorile maxime p...

'''E:14228 (Mihai Vijdeluc)'''

''Arătați că nu există niciun număr de forma <math>\overline{abc}</math> cu proprietatea că <math>\sqrt{\overline{abc}} = \sqrt{\overline{bc}} + a</math>''

'''Soluție:'''
Ridicăm relația la patrat și obținem <math>\overline{abc} = \overline{bc} + a^2 + 2a\sqrt{\overline{bc}}</math>, echivalentă cu <math>100a + 10b + c = 10b + c + a^2 + 2a\sqrt{\overline{bc}}</math> sau <math>100 = a + 2\sqrt{\overline{bc}}</math>. Valorile maxime pentru <math>a</math> și <math>\overline{bc}</math> sunt 9, respectiv 99, de unde <math>a + 2\sqrt{\overline{bc}} < 9 + 2 \cdot 10</math>, adică <math>100 < 29</math>, contradicție.

În concluzie, nu există numere de forma <math>\overline{abc}</math> cu proprietatea din enunț.

E:14223

2023-10-22T18:26:59Z

Rsovago: Pagină nouă: '''E:14223 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc)''' ''Fie un triunghi isoscel cu <math>r</math> = 3 cm și <math>P</math> = 32 cm (unde <math>r</math> reprezintă raza cercului înscris în triunghi, iar <math>P</math> reprezintă perimetrul triunghiului). Calculați lungimile laturilor triunghiului, știind că acestea sunt numere naturale.'' '''Soluție:''' Dacă <math>S</math> este aria triunghiului, atunci <math>S = \frac{{P \cdot r}}{2} = 48 cm^2</math>, (1) Fie <mat...

'''E:14223 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc)'''

''Fie un triunghi isoscel cu <math>r</math> = 3 cm și <math>P</math> = 32 cm (unde <math>r</math> reprezintă raza cercului înscris în triunghi, iar <math>P</math> reprezintă perimetrul triunghiului). Calculați lungimile laturilor triunghiului, știind că acestea sunt numere naturale.''

'''Soluție:'''
Dacă <math>S</math> este aria triunghiului, atunci <math>S = \frac{{P \cdot r}}{2} = 48 cm^2</math>, (1)

Fie <math>ABC</math> triunghiul dat, <math>AD</math> înălțimea triunghiului, <math>AB = AC = x</math> și <math>BC = y</math>. Atunci <math>AD = \sqrt{\frac{{4x^2-y^2}}{4}}</math> și <math>S = \frac{{\sqrt{4x^2-y^2} \cdot y}}{4}</math>, (2)

și din <math> P = 2x + y</math>, avem <math>y = 32 - 2x </math>, (3)

Din cele 3 relații obținem <math>\sqrt{4x^2 - (32 - 2x)^2} \cdot (32 - 2x) = 4 \cdot 48</math> care, prin ridicare la pătrat, conduce la <math>(16 - x)^2 \cdot (x - 8) = 72.</math>

De aici obținem <math>x = 10 cm</math> și <math>y = 12 cm</math>.

Bitnami MediaWiki - User contributions [en]

E:14228

E:14223