Bitnami MediaWiki - User contributions [en]

2015-12-4

2023-09-02T16:34:38Z

RobertRogo:

<math>Problema:</math> Fie <math>K</math> un corp cu <math>m \geq 2</math> elemente si <math>f \in K[X]</math>. Aratati ca urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

<math>(i)</math> Exista <math>g \in K[X]</math> astfel incat <math>f(X)=g(X^{m-1})</math>;

<math>(ii)</math> Pentru orice <math>a \in K^*</math> avem <math>f(X)=f(aX)</math>.

<math>Solutie</math>

<math>(i) \rightarrow (ii)</math>
Din teorema lui Lagrange aplicata grupului <math>(K^*,\cdot)</math> avem ca <math>x^{m-1}=1, \forall x \in K^*</math>, deci <math>f(aX)=g((aX)^{m-1})=g(a^{m-1}X^{m-1})=g(X^{m-1})=f(X)</math>.

<math>(ii) \rightarrow (i)</math> <math>(Robert \ Rogozsan)</math>

Ne folosim de urmatoarea

<math>Lema:</math> Fie <math>F</math> un corp finit cu <math>n</math> elemente. Atunci <math>\sum_{a \in F}a^k=
\begin{cases}

0 & \text{, dacă } n \text{nu divide pe} k

-1 & \text{, dacă } n \text{divide pe} k

\end{cases}</math>

2015-12-4

2023-09-02T16:34:10Z

RobertRogo:

<math>Problema:</math> Fie <math>K</math> un corp cu <math>m \geq 2</math> elemente si <math>f \in K[X]</math>. Aratati ca urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

<math>(i)</math> Exista <math>g \in K[X]</math> astfel incat <math>f(X)=g(X^{m-1})</math>;

<math>(ii)</math> Pentru orice <math>a \in K^*</math> avem <math>f(X)=f(aX)</math>.

<math>Solutie</math>

<math>(i) \rightarrow (ii)</math>
Din teorema lui Lagrange aplicata grupului <math>(K^*,\cdot)</math> avem ca <math>x^{m-1}=1, \forall x \in K^*</math>, deci <math>f(aX)=g((aX)^{m-1})=g(a^{m-1}X^{m-1})=g(X^{m-1})=f(X)</math>.

<math>(ii) \rightarrow (i)</math> <math>(Robert \ Rogozsan)</math>

Ne folosim de urmatoarea

<math>Lema:</math> Fie <math>F</math> un corp finit cu <math>n</math> elemente. Atunci <math>\sum_{a \in F}a^k=
\begin{cases}

0 & \text{, dacă } n \text{divide pe} k

f(c) & \text{, dacă } n \text{nu divide pe} k

\end{cases}</math>

2015-12-4

2023-09-02T16:33:47Z

RobertRogo:

<math>Problema:</math> Fie <math>K</math> un corp cu <math>m \geq 2</math> elemente si <math>f \in K[X]</math>. Aratati ca urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

<math>(i)</math> Exista <math>g \in K[X]</math> astfel incat <math>f(X)=g(X^{m-1})</math>;

<math>(ii)</math> Pentru orice <math>a \in K^*</math> avem <math>f(X)=f(aX)</math>.

<math>Solutie</math>

<math>(i) \rightarrow (ii)</math>
Din teorema lui Lagrange aplicata grupului <math>(K^*,\cdot)</math> avem ca <math>x^{m-1}=1, \forall x \in K^*</math>, deci <math>f(aX)=g((aX)^{m-1})=g(a^{m-1}X^{m-1})=g(X^{m-1})=f(X)</math>.

<math>(ii) \rightarrow (i)</math> <math>(Robert \ Rogozsan)</math>

Ne folosim de urmatoarea

<math>Lema:</math> Fie <math>F</math> un corp finit cu <math>n</math> elemente. Atunci <math>\sum_{a \in F}a^k=
\begin{cases}

0 & \text{, dacă } n \ \text{divide pe} \ k

f(c) & \text{, dacă } n \ \text{nu divide pe} \

\end{cases}</math>

2015-12-4

2023-09-02T16:33:12Z

RobertRogo:

<math>Problema:</math> Fie <math>K</math> un corp cu <math>m \geq 2</math> elemente si <math>f \in K[X]</math>. Aratati ca urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

<math>(i)</math> Exista <math>g \in K[X]</math> astfel incat <math>f(X)=g(X^{m-1})</math>;

<math>(ii)</math> Pentru orice <math>a \in K^*</math> avem <math>f(X)=f(aX)</math>.

<math>Solutie</math>

<math>(i) \rightarrow (ii)</math>
Din teorema lui Lagrange aplicata grupului <math>(K^*,\cdot)</math> avem ca <math>x^{m-1}=1, \forall x \in K^*</math>, deci <math>f(aX)=g((aX)^{m-1})=g(a^{m-1}X^{m-1})=g(X^{m-1})=f(X)</math>.

<math>(ii) \rightarrow (i)</math> <math>(Robert \ Rogozsan)</math>

Ne folosim de urmatoarea

<math>Lema:</math> Fie <math>F</math> un corp finit cu <math>n</math> elemente. Atunci <math>\sum_{a \in F}a^k=
\begin{cases}
0 & \text{, dacă } n \text{divide pe} k

f(c) & \text{, dacă } n \text{nu divide pe}
\end{cases}</math>

2015-12-4

2023-09-02T16:32:57Z

RobertRogo:

<math>Problema:</math> Fie <math>K</math> un corp cu <math>m \geq 2</math> elemente si <math>f \in K[X]</math>. Aratati ca urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

<math>(i)</math> Exista <math>g \in K[X]</math> astfel incat <math>f(X)=g(X^{m-1})</math>;

<math>(ii)</math> Pentru orice <math>a \in K^*</math> avem <math>f(X)=f(aX)</math>.

<math>Solutie</math>

<math>(i) \rightarrow (ii)</math>
Din teorema lui Lagrange aplicata grupului <math>(K^*,\cdot)</math> avem ca <math>x^{m-1}=1, \forall x \in K^*</math>, deci <math>f(aX)=g((aX)^{m-1})=g(a^{m-1}X^{m-1})=g(X^{m-1})=f(X)</math>.

<math>(ii) \rightarrow (i)</math> <math>(Robert \ Rogozsan)</math>

Ne folosim de urmatoarea

<math>Lema:</math> Fie <math>F</math> un corp finit cu <math>n</math> elemente. Atunci <math>\sum_{a \in F}a^k=
\begin{cases}
0 & \text{, dacă } n \text{divide pe} k
f(c) & \text{, dacă } n \text{nu divide pe}
\end{cases}</math>

2015-12-4

2023-09-02T16:27:51Z

RobertRogo:

2015-12-4

2023-09-02T16:27:08Z

RobertRogo:

<math>Problema:</math> Fie <math>K</math> un corp cu <math>m \geq 2</math> elemente si <math>f \in K[X]</math>. Aratati ca urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

(i) Exista <math>g \in K[X]</math> astfel incat <math>f(X)=g(X^{m-1})</math>;

(ii) Pentru orice <math>a \in K^*</math> avem <math>f(X)=f(aX)</math>.

<math>Solutie</math>
<math>(i) \rightarrow (ii)</math>
Din teorema lui Lagrange aplicata grupului <math>(K^*,\cdot)</math> avem ca <math>x^{m-1}=1, \forall x \in K^*</math>, deci <math>f(aX)=g((aX)^{m-1}=g(a^{m-1}X^{m-1})=g(X^{m-1})=f(X)</math>.

2015-12-4

2023-09-02T14:34:07Z

RobertRogo:

2015-12-4

2023-09-02T14:29:40Z

RobertRogo:

2015-12-4

2023-09-02T14:29:31Z

RobertRogo:

2015-12-4

2023-09-02T14:29:15Z

RobertRogo:

2015-12-4

2023-09-02T14:28:38Z

RobertRogo:

<math>Problema:</math> Fie <math>K</math> un corp cu <math>m \geq 2</math> elemente si <math>f \in K[X]</math>. Aratati ca urmatoarele afirmatii sunt echivalente: <math>
\item Exista <math>g \in K[X]</math> astfel incat <math>f(X)=g(X^{m-1})</math>;
\item Pentru orice <math>a \in K^*</math> avem <math>f(X)=f(aX)</math>.
\end{enumerate}</math>

2015-12-4

2023-09-02T14:28:09Z

RobertRogo: Pagină nouă: <math>Problema:</math> Fie <math>K</math> un corp cu <math>m \geq 2</math> elemente si <math>f \in K[X]</math>. Aratati ca urmatoarele afirmatii sunt echivalente: <math>\begin{enumerate}[label=\alph*)] \item Exista <math>g \in K[X]</math> astfel incat <math>f(X)=g(X^{m-1}</math>; \item Pentru orice <math>a \in K^*</math> avem <math>f(X)=f(aX)</math>. \end{enumerate}</math>

<math>Problema:</math> Fie <math>K</math> un corp cu <math>m \geq 2</math> elemente si <math>f \in K[X]</math>. Aratati ca urmatoarele afirmatii sunt echivalente: <math>\begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item Exista <math>g \in K[X]</math> astfel incat <math>f(X)=g(X^{m-1}</math>;
\item Pentru orice <math>a \in K^*</math> avem <math>f(X)=f(aX)</math>.
\end{enumerate}</math>

Concursul interjudețean de matematică și informatică Grigore Moisil

2023-09-02T14:24:12Z

RobertRogo:

Concursul Interjudețean de Matematică „Grigore C. Moisil”, a cărui primă ediție s-a desfășurat la Baia Mare în anul 1986, face parte din galeria selectă a primelor competiții de matematică de acest fel organizate în România anilor ’80.

[[2015-12-1]]

[[2015-12-4]]

Concursul interjudețean de matematică și informatică Grigore Moisil

2023-09-02T14:23:04Z

RobertRogo:

2015-12-1

2023-09-02T14:21:54Z

RobertRogo:

<math>Problema:</math> Fie <math>f:[-1,1]\to \mathbb{R}</math> o funcție crescătoare, derivabilă pe <math>[-1,1]</math> cu <math>f'(0) \neq 0</math>. Să se arate ca exista cel puțin un punct <math>c \in (-1,1), c \neq 0</math>, cu proprietatea că <math display="block">2cf(c) + \int_{0}^{c} f(x)\, dx \geq 0</math>.

<math>Solutie:\ (Robert \ Rogozsan)</math>
Dacă <math> \ f(0) \geq 0</math>, cum <math>f</math> e crescătoare, vom avea că <math>f(t) \geq 0, \forall t \geq 0</math>, deci <math>2tf(t) + \int_{0}^{t} f(x)\, dx \geq 0, \forall t \geq 0</math>. Atunci luăm <math>c \in (0,1)</math> arbitrar și concluzia este verificată. Analog pentru <math> \ f(0) \leq 0</math> (luăm <math>c</math> din <math>(-1,0)</math>).

<math>Observatie:</math> În funcție de cum e <math>f(0)</math> față de <math>0</math>, concluzia se verifică pentru <math>orice \ c \in (0,1)</math> (<math>(-1,0)</math>). Nu avem nevoie de faptul că <math>f</math> e derivabilă, nici de <math>f'(0) \neq 0</math>.

2015-12-1

2023-09-02T14:21:34Z

RobertRogo:

<math>Problema:</math> Fie <math>f:[-1,1]\to \mathbb{R}</math> o funcție crescătoare, derivabilă pe <math>[-1,1]</math> cu <math>f'(0) \neq 0</math>. Să se arate ca exista cel puțin un punct <math>c \in (-1,1), c \neq 0</math>, cu proprietatea că <math display="block">2cf(c) + \int_{0}^{c} f(x)\, dx \geq 0</math>.

<math>Solu\c t ie:\ (Robert \ Rogozsan)</math>
Dacă <math> \ f(0) \geq 0</math>, cum <math>f</math> e crescătoare, vom avea că <math>f(t) \geq 0, \forall t \geq 0</math>, deci <math>2tf(t) + \int_{0}^{t} f(x)\, dx \geq 0, \forall t \geq 0</math>. Atunci luăm <math>c \in (0,1)</math> arbitrar și concluzia este verificată. Analog pentru <math> \ f(0) \leq 0</math> (luăm <math>c</math> din <math>(-1,0)</math>).

<math>Observa\c t ie:</math> În funcție de cum e <math>f(0)</math> față de <math>0</math>, concluzia se verifică pentru <math>orice \ c \in (0,1)</math> (<math>(-1,0)</math>). Nu avem nevoie de faptul că <math>f</math> e derivabilă, nici de <math>f'(0) \neq 0</math>.

2015-12-1

2023-09-02T14:21:23Z

RobertRogo:

<math>Problema:</math> Fie <math>f:[-1,1]\to \mathbb{R}</math> o funcție crescătoare, derivabilă pe <math>[-1,1]</math> cu <math>f'(0) \neq 0</math>. Să se arate ca exista cel puțin un punct <math>c \in (-1,1), c \neq 0</math>, cu proprietatea că <math display="block">2cf(c) + \int_{0}^{c} f(x)\, dx \geq 0</math>.

<math>Solu\c tie:\ (Robert \ Rogozsan)</math>
Dacă <math> \ f(0) \geq 0</math>, cum <math>f</math> e crescătoare, vom avea că <math>f(t) \geq 0, \forall t \geq 0</math>, deci <math>2tf(t) + \int_{0}^{t} f(x)\, dx \geq 0, \forall t \geq 0</math>. Atunci luăm <math>c \in (0,1)</math> arbitrar și concluzia este verificată. Analog pentru <math> \ f(0) \leq 0</math> (luăm <math>c</math> din <math>(-1,0)</math>).

<math>Observa\c tie:</math> În funcție de cum e <math>f(0)</math> față de <math>0</math>, concluzia se verifică pentru <math>orice \ c \in (0,1)</math> (<math>(-1,0)</math>). Nu avem nevoie de faptul că <math>f</math> e derivabilă, nici de <math>f'(0) \neq 0</math>.

2015-12-1

2023-09-02T14:18:42Z

RobertRogo:

<math>Problema:</math> Fie <math>f:[-1,1]\to \mathbb{R}</math> o funcție crescătoare, derivabilă pe <math>[-1,1]</math> cu <math>f'(0) \neq 0</math>. Să se arate ca exista cel puțin un punct <math>c \in (-1,1), c \neq 0</math>, cu proprietatea că <math display="block">2cf(c) + \int_{0}^{c} f(x)\, dx \geq 0</math>.

<math>Soluție:\ (Robert \ Rogozsan)</math>
Dacă <math> \ f(0) \geq 0</math>, cum <math>f</math> e crescătoare, vom avea că <math>f(t) \geq 0, \forall t \geq 0</math>, deci <math>2tf(t) + \int_{0}^{t} f(x)\, dx \geq 0, \forall t \geq 0</math>. Atunci luăm <math>c \in (0,1)</math> arbitrar și concluzia este verificată. Analog pentru <math> \ f(0) \leq 0</math> (luăm <math>c</math> din <math>(-1,0)</math>).

<math>Observație:</math> În funcție de cum e <math>f(0)</math> față de <math>0</math>, concluzia se verifică pentru <math>orice \ c \in (0,1)</math> (<math>(-1,0)</math>). Nu avem nevoie de faptul că <math>f</math> e derivabilă, nici de <math>f'(0) \neq 0</math>.

2015-12-1

2023-09-02T14:18:18Z

RobertRogo:

<math>Problema:</math> Fie <math>f:[-1,1]\to \mathbb{R}</math> o funcție crescătoare, derivabilă pe <math>[-1,1]</math> cu <math>f'(0) \neq 0</math>. Să se arate ca exista cel puțin un punct <math>c \in (-1,1), c \neq 0</math>, cu proprietatea că <math display="block">2cf(c) + \int_{0}^{c} f(x)\, dx \geq 0</math>.

<math>Solutie:\ (Robert \ Rogozsan)</math>
Dacă <math> \ f(0) \geq 0</math>, cum <math>f</math> e crescătoare, vom avea că <math>f(t) \geq 0, \forall t \geq 0</math>, deci <math>2tf(t) + \int_{0}^{t} f(x)\, dx \geq 0, \forall t \geq 0</math>. Atunci luăm <math>c \in (0,1)</math> arbitrar și concluzia este verificată. Analog pentru <math> \ f(0) \leq 0</math> (luăm <math>c</math> din <math>(-1,0)</math>).

<math>Observație:</math> În funcție de cum e <math>f(0)</math> față de <math>0</math>, concluzia se verifică pentru <math>orice \ c \in (0,1)</math> (<math>(-1,0)</math>). Nu avem nevoie de faptul că <math>f</math> e derivabilă, nici de <math>f'(0) \neq 0</math>.

2015-12-1

2023-09-02T14:16:55Z

RobertRogo:

<math>Problema:</math> Fie <math>f:[-1,1]\to \mathbb{R}</math> o funcție crescătoare, derivabilă pe <math>[-1,1]</math> cu <math>f'(0) \neq 0</math>. Să se arate ca exista cel puțin un punct <math>c \in (-1,1), c \neq 0</math>, cu proprietatea că <math display="block">2cf(c) + \int_{0}^{c} f(x)\, dx \geq 0</math>.

<math>Solutie:\ (Robert \ Rogozsan)</math>
Daca <math> \ f(0) \geq 0</math>, cum <math>f</math> e crescătoare, vom avea ca <math>f(t) \geq 0, \forall t \geq 0</math>, deci <math>2tf(t) + \int_{0}^{t} f(x)\, dx \geq 0, \forall t \geq 0</math>. Atunci luam <math>c \in (0,1)</math> arbitrar si concluzia este verificata. Analog pentru <math> \ f(0) \leq 0</math> (luam <math>c</math> din <math>(-1,0)</math>).

<math>Observatie:</math> In functie de cum e <math>f(0)</math> fata de <math>0</math>, concluzia se verifica pentru <math>orice \ c \in (0,1)</math> (<math>(-1,0)</math>). Nu avem nevoie de faptul ca <math>f</math> e derivabila, nici de <math>f'(0) \neq 0</math>.

2015-12-1

2023-09-02T14:16:43Z

RobertRogo:

<math>Problema:</math> Fie <math>f:[-1,1]\to \mathbb{R}</math> o funcție crescătoare, derivabilă pe <math>[-1,1]</math> cu <math>f'(0) \neq 0</math>. Să se arate ca exista cel puțin un punct <math>c \in (-1,1), c \neq 0</math>, cu proprietatea că <math display="block">2cf(c) + \int_{0}^{c} f(x)\, dx \geq 0</math>.

<math>Solutie:\ (Robert \ Rogozsan)</math>
Daca <math> \ f(0) \geq 0</math>, cum <math>f</math> e crescătoare, vom avea ca <math>f(t) \geq 0, \forall t \geq 0</math>, deci <math>2tf(t) + \int_{0}^{t} f(x)\, dx \geq 0, \forall t \geq 0</math>. Atunci luam <math>c \in (0,1)</math> arbitrar si concluzia este verificata. Analog pentru <math> \ f(0) \leq 0</math> (luam <math>c</math> din <math>(-1,0)</math>).
<math>Observatie:</math> In functie de cum e <math>f(0)</math> fata de <math>0</math>, concluzia se verifica pentru <math>orice \ c \in (0,1)</math> (<math>(-1,0)</math>). Nu avem nevoie de faptul ca <math>f</math> e derivabila, nici de <math>f'(0) \neq 0</math>.

2015-12-1

2023-09-02T14:02:43Z

RobertRogo:

<math>Problema:</math> Fie <math>f:[-1,1]\to \mathbb{R}</math> o funcție crescătoare, derivabilă pe <math>[-1,1]</math> cu <math>f'(0) \neq 0</math>. Să se arate ca exista cel puțin un punct <math>c \in (-1,1), c \neq 0</math>, cu proprietatea că <math display="block">2cf(c) + \int_{0}^{c} f(x)\, dx \geq 0</math>.

<math>Solutie:\ (Robert \ Rogozsan)</math>
Daca <math> \ f(0) \geq 0</math>, cum <math>f</math> e crescătoare, vom avea ca <math>f(t) \geq 0, \forall t \geq 0</math>, deci <math>2tf(t) + \int_{0}^{t} f(x)\, dx \geq 0, \forall t \geq 0</math>. Atunci luam <math>c \in (0,1)</math> arbitrar si concluzia este verificata. Analog pentru <math> \ f(0) \leq 0</math> (luam <math>c</math> din <math>(-1,0)</math>).

<math>Observatie:</math> In functie de cum e <math>f(0)</math> fata de <math>0</math>, concluzia se verifica pentru <math>orice \ c \in (0,1)</math> (<math>(-1,0)</math>). Nu avem nevoie de faptul ca <math>f</math> e derivabila, nici de <math>f'(0) \neq 0</math>.

2015-12-1

2023-09-02T13:53:08Z

RobertRogo:

<math>Problema:</math> Fie <math>f:[-1,1]\to \mathbb{R}</math> o funcție crescătoare, derivabilă pe <math>[-1,1]</math> cu <math>f'(0) \neq 0</math>. Să se arate ca exista cel puțin un punct <math>c \in (-1,1), c \neq 0</math>, cu proprietatea că <math display="block">2cf(c) + \int_{0}^{c} f(x)\, dx \geq 0</math>.

<math>Solutie:\ (Robert \ Rogozsan)</math>
Daca <math> \ f(0) \geq 0</math>, cum <math>f</math> e crescătoare, vom avea ca <math>f(t) \geq 0, \forall t \geq 0</math>, deci <math>2tf(t) + \int_{0}^{t} f(x)\, dx \geq 0, \forall t \geq 0</math>. Atunci luam <math>c \in (0,1)</math> arbitrar si concluzia este verificata. Analog pentru <math> \ f(0) \leq 0</math> (luam <math>c</math> din <math>(-1,0)</math>.
<math>Observatie:</math> In functie de cum e <math>f(0)</math> fata de <math>0</math>, concluzia se verifica pentru <math>orice \ c \in (0,1)</math> (<math>(-1,0)</math>). Nu avem nevoie de faptul ca <math>f</math> e derivabila, nici de <math>f'(0) \neq 0</math>.

2015-12-1

2023-09-02T13:52:32Z

RobertRogo:

<math>Problema:</math> Fie <math>f:[-1,1]\to \mathbb{R}</math> o funcție crescătoare, derivabilă pe <math>[-1,1]</math> cu <math>f'(0) \neq 0</math>. Să se arate ca exista cel puțin un punct <math>c \in (-1,1), c \neq 0</math>, cu proprietatea că <math display="block">2cf(c) + \int_{0}^{c} f(x)\, dx \geq 0</math>.

<math>Solutie:\ (Robert \ Rogozsan)</math>
Daca <math> \ f(0) \geq 0</math>, cum <math>f</math> e crescătoare, vom avea ca <math>f(t) \geq 0, \forall t \geq 0</math>, deci <math>2tf(t) + \int_{0}^{t} f(x)\, dx \geq 0, \forall t \geq 0</math>. Atunci luam <math>c \in (0,1)</math> arbitrar si concluzia este verificata. Analog pentru <math> \ f(0) \leq 0</math>.
<math>Observatie:</math> In functie de cum e <math>f(0)</math> fata de <math>0</math>, concluzia se verifica pentru <math>orice \ c \in (0,1)</math> (<math>(-1,0)</math>). Nu avem nevoie de faptul ca <math>f</math> e derivabila, nici de <math>f'(0) \neq 0</math>.

2015-12-1

2023-09-02T13:52:08Z

RobertRogo:

<math>Problema:</math> Fie <math>f:[-1,1]\to \mathbb{R}</math> o funcție crescătoare, derivabilă pe <math>[-1,1]</math> cu <math>f'(0) \neq 0</math>. Să se arate ca exista cel puțin un punct <math>c \in (-1,1), c \neq 0</math>, cu proprietatea că <math display="block">2cf(c) + \int_{0}^{c} f(x)\, dx \geq 0</math>.

<math>Solutie:\ (Robert \ Rogozsan)</math>
Daca <math> \ f(0) \geq 0</math>, cum <math>f</math> e crescătoare, vom avea ca <math>f(t) \geq 0, \forall t \geq 0</math>, deci <math>2tf(t) + \int_{0}^{t} f(x)\, dx \geq 0, \forall t \geq 0</math>. Atunci luam <math>c \in (0,1)</math> arbitrar si concluzia este verificata. Analog pentru <math> \ f(0) \leq 0</math>.
<math>Observatie:</math> In functie de cum e <math>f(0)</math> fata de <math>0</math>, concluzia se verifica pentru <math>orice c \in (0,1)</math> (<math>(-1,0)</math>). Nu avem nevoie de faptul ca <math>f</math> e derivabila, nici de <math>f'(0) \neq 0</math>.

2015-12-1

2023-09-02T13:51:50Z

RobertRogo:

<math>Problema:</math> Fie <math>f:[-1,1]\to \mathbb{R}</math> o funcție crescătoare, derivabilă pe <math>[-1,1]</math> cu <math>f'(0) \neq 0</math>. Să se arate ca exista cel puțin un punct <math>c \in (-1,1), c \neq 0</math>, cu proprietatea că <math display="block">2cf(c) + \int_{0}^{c} f(x)\, dx \geq 0</math>.

<math>Solutie:\ (Robert \ Rogozsan)</math>
Daca <math> \ f(0) \geq 0</math>. Cum <math>f</math> e crescătoare, vom avea ca <math>f(t) \geq 0, \forall t \geq 0</math>, deci <math>2tf(t) + \int_{0}^{t} f(x)\, dx \geq 0, \forall t \geq 0</math>. Atunci luam <math>c \in (0,1)</math> arbitrar si concluzia este verificata. Analog pentru <math> \ f(0) \leq 0</math>.
<math>Observatie:</math> In functie de cum e <math>f(0)</math> fata de <math>0</math>, concluzia se verifica pentru <math>orice c \in (0,1)</math> (<math>(-1,0)</math>). Nu avem nevoie de faptul ca <math>f</math> e derivabila, nici de <math>f'(0) \neq 0</math>.

2015-12-1

2023-09-02T13:47:39Z

RobertRogo:

2015-12-1

2023-09-02T13:44:53Z

RobertRogo:

2015-12-1

2023-09-02T13:44:10Z

RobertRogo:

<math>Problema: \\ </math> Fie <math>f:[-1,1]\to \mathbb{R}</math> o funcție crescătoare, derivabilă pe <math>[-1,1]</math> cu <math>f'(0) \neq 0</math>. Să se arate ca exista cel puțin un punct <math>c \in (-1,1), c \neq 0</math>, cu proprietatea că <math>2cf(c) + \int_{0}^{c} f(x)\, dx \geq 0</math>.

<math>Solutie:\ (Robert \ Rogozsan)</math> <math> \\ </math>
Cazul <math>rom{1}</math>

2015-12-1

2023-09-02T13:43:43Z

RobertRogo:

<math>Problema: \hfill{\\}</math> Fie <math>f:[-1,1]\to \mathbb{R}</math> o funcție crescătoare, derivabilă pe <math>[-1,1]</math> cu <math>f'(0) \neq 0</math>. Să se arate ca exista cel puțin un punct <math>c \in (-1,1), c \neq 0</math>, cu proprietatea că <math>2cf(c) + \int_{0}^{c} f(x)\, dx \geq 0</math>.

<math>Solutie:\ (Robert \ Rogozsan)</math> <math>\hfill{\\}</math>
Cazul <math>rom{1}</math>

2015-12-1

2023-09-02T13:42:52Z

RobertRogo:

2015-12-1

2023-09-02T13:39:08Z

RobertRogo:

Fie <math>f:[-1,1]\to \mathbb{R}</math> o funcție crescătoare, derivabilă pe <math>[-1,1]</math> cu <math>f'(0) \neq 0</math>. Să se arate ca exista cel puțin un punct <math>c \in (-1,1), c \neq 0</math>, cu proprietatea că <math>2cf(c) + \int_{0}^{c} f(x)\, dx \geq 0</math>.

2015-12-1

2023-09-02T13:38:42Z

RobertRogo:

Fie <math>f:[-1,1]\to \mathbb{R}</math> o funcție crescătoare, derivabila pe <math>[-1,1]</math> cu <math>f'(0) \neq 0</math>. Sa se arate ca exista cel putin un punct <math>c \in (-1,1), c \neq 0</math>, cu proprietatea ca <math>2cf(c) + \int_{0}^{c} f(x)\, dx \geq 0</math>.

2015-12-1

2023-09-02T13:38:30Z

RobertRogo:

2015-12-1

2023-09-02T13:38:18Z

RobertRogo:

2015-12-1

2023-09-02T13:37:39Z

RobertRogo:

Fie <math>f:[-1,1]\to \mathbb{R}</math> o funcție crescătoare, derivabila pe <math>[-1,1]</math> cu $f'(0) \neq 0$. Sa se arate ca exista cel putin un punct $c \in (-1,1), c \neq 0$, cu proprietatea ca \[2cf(c) + \int_{0}{c} f(x)\, dx \geq 0\].

2015-12-1

2023-09-02T13:37:18Z

RobertRogo:

Fie <math>f:[-1,1]\to \mathbb{R}</math> o funcție crescătoare, derivabila pe <math>[-1,1]<\math> cu $f'(0) \neq 0$. Sa se arate ca exista cel putin un punct $c \in (-1,1), c \neq 0$, cu proprietatea ca \[2cf(c) + \int_{0}{c} f(x)\, dx \geq 0\].

2015-12-1

2023-09-02T13:36:41Z

RobertRogo:

Fie <math>f:[-1,1]\to \mathbb{R}</math> o funcție crescătoare, derivabila pe $[-1,1]$ cu $f'(0) \neq 0$. Sa se arate ca exista cel putin un punct $c \in (-1,1), c \neq 0$, cu proprietatea ca \[2cf(c) + \int_{0}{c} f(x)\, dx \geq 0\].