Bitnami MediaWiki - User contributions [en]

Gazeta Matematică

2024-01-11T14:14:54Z

Nagy Lenard:

Această pagină conține o listă cu numerele revistei ''[https://gmb.ssmr.ro/ Gazeta Matematică]'' care conțin articole/probleme cu autori membri ai [https://ssmr.cunbm.utcluj.ro/ Filialei Maramureș] a [https://ssmr.ro/ Societății de Științe Matematice din România].
{| class="wikitable mw-collapsible"
|+
!Anul
!Numărul
!Numărul problemei
!Clasa
!Domeniu
|-
|rowspan="12" |2022
|rowspan="3"|1
| [[28247]]
|11
|Matrice
|-
| [[28250]]
|12
|integrala Riemann
|-
| [[28251]]
|12
|integrala Riemann
|-
|2
| [[S:L22.58]]
|10
| ecuație cu logaritmi
|-
|4 - [[Gazeta Matematică nr 4 2022|link]]
| [[28315]]
|10
|numere complexe
|-
|5
| [[28338]]
|10
|numere complexe
afixe
|-
|6-7-8
| [[28354]]
|9
|vectori
|-
|rowspan="3" |10 - [[Gazeta Matematică nr 10 2022|link]]
| [[28437]]
|11
|șir recurent
|-
|[[E:16379]]
|5
|numere naturale
|-
|[[E:16380]]
|5
|puteri
|-
|rowspan="2"|11
| [[E:16407]]
|5
|cub perfect
|
|-
| [[28450]]
|9
|progresii aritmetice
|-
|rowspan = "7" |2021
|rowspan = "3" |6-7-8 - [[Gazeta Matematică nr 6-7-8 din 2021|link]]
|[[E:15990]]
|5
|numere naturale
|-
| [[E:15991]]
|5
|numere naturale
|-
| [[E:15992]]
|5
|numere naturale
|-
|rowspan= "3" | 11
|[[28203]]
|12
|funcție primitivabilă
|-
|[[S:L21.287]]
|9
|puteri
|-
|[[S:E21.313]]
|8
|ecuație
|-
|rowspan= "1" | 12
|[[28208]]
|9
|vectori
|-
|rowspan ="4"|2020
|rowspan ="3"| 4 - [[Gazeta Matematică nr 4 2020|link]]
|[[15698|E:15698]]
|6
|pătrate perfecte
|-
|[[E:15694]]
|5
|teorema împărțirii cu rest
|-
|[[E:15695]]
|5
|numere naturale
|-
|5
|[[E:15714]]
|6
|divizibilitate
probabilitate
|-
|rowspan="3" |2018
|rowspan="3" |4 - [[Gazeta Matematică nr 4 2018|link]]
| [[S:E18.128]]
|
|
|-
|[[S:E18.131]]
|
|
|-
| [[S:E18.131]]
|
|
|-
|2017
|
|[[27401]]
|
|
|-
|rowspan="9" |2015
|1
|[[27020]]
|10
|coeficienți binomiali
|-
|2 - [[Gazeta Matematică nr 2 2015|link]]
|[[27036]]
|11
|ecuații funcționale
|-
|3 - [[Gazeta Matematică nr 2 2015|link]]
|[[27024]]
|12
|ecuații funcționale
|-
|rowspan="6"|9
|[[E:14892]]
|8
|patrulater inscriptibil
|-
|[[S:E15.208]]
|5
|sumă de numere consecutive
|-
|[[S:E15.239]]
|8
|Teorema lui Pitagora
|-
|[[S:L15.236]]
|12
|funcție primitivabilă
|-
|[[S:L15.231]]
|12
|limita unui șir
|-
|[[S:L15.228]]
|11
|limita unui șir
|-
|rowspan="2"| 2013
|rowspan="2"|1
|[[26713]]
|11
|șiruri, limită
|-
|E:[[14440]]
|5
|pătrat perfect
|-
|rowspan="2"| 2012
|rowspan="2"|9 - [[Gazeta Matematică nr 9 2012|link]]
|E:[[14380]]
|5
|numere naturale
|-
|[[14383|E:14383]]
|6
|cmmdc & cmmmc
|-
|rowspan="2"| 2011
|rowspan="2"|7-8-9 - [[Gazeta Matematică nr 789 2011|link]]
|[[E:14223]]
|7
|rezolvarea triunghiului
|-
|[[E:14228]]
|7
|radicali
|}

Gazeta Matematică

2023-12-26T17:54:07Z

Nagy Lenard:

Această pagină conține o listă cu numerele revistei ''[https://gmb.ssmr.ro/ Gazeta Matematică]'' care conțin articole/probleme cu autori membri ai [https://ssmr.cunbm.utcluj.ro/ Filialei Maramureș] a [https://ssmr.ro/ Societății de Științe Matematice din România].
{| class="wikitable mw-collapsible"
|+
!Anul
!Numărul
!Numărul problemei
!Clasa
!Domeniu
|-
|rowspan="9" |2022
|rowspan="2"|1
| [[28247]]
|11
|Matrice
|-
| [[28250]]
|12
|integrala Riemann
limită
|-
|2
| [[S:L22.58]]
|10
| ecuație cu logaritmi
|-
|4 - [[Gazeta Matematică nr 4 2022|link]]
| [[28315]]
|10
|numere complexe
|-
|5
| [[28338]]
|10
|numere complexe
afixe
|-
|6-7-8
| [[28354]]
|9
|vectori
|-
|rowspan="3" |10 - [[Gazeta Matematică nr 10 2022|link]]
| [[28437]]
|11
|șir recurent
|-
|[[E:16379]]
|
|
|-
|[[E:16380]]
|
|
|-
|rowspan="2"|11
| [[E:16407]]
|5
|cub perfect
|-
| [[28450]]
|9
|progresii aritmetice
|-
|rowspan = "7" |2021
|rowspan = "3" |678 - [[Gazeta Matematică nr 678 2021|link]]
|[[E:15990]]
|5
|numere naturale
|-
| [[E:15991]]
|5
|numere naturale
|-
| [[E:15992]]
|5
|numere naturale
|-
|rowspan= "3" | 11
|[[28203]]
|12
|funcție primitivabilă
|-
|[[S:L21.287]]
|9
|puteri
|-
|[[S:E21.313]]
|8
|ecuație
|-
|rowspan= "1" | 12
|[[28208]]
|9
|vectori
|-
|rowspan ="3"|2020
|rowspan ="3"| 4 - [[Gazeta Matematică nr 4 2020|link]]
|[[15698|E:15698]]
|6
|pătrate perfecte
|-
|[[E:15694]]
|
|
|-
|[[E:15695]]
|
|
|-
|rowspan="3" |2018
|rowspan="3" |4 - [[Gazeta Matematică nr 4 2018|link]]
| [[S:E18.128]]
|
|
|-
|[[S:E18.131]]
|
|
|-
| [[S:E18.131]]
|
|
|-
|rowspan="4" |2015
|1 - [[Gazeta Matematică nr 1 2015|link]]
|[[27020]]
|10
|coeficienți binomiali
|-
|2 - [[Gazeta Matematică nr 2 2015|link]]
|[[27036]]
|11
|ecuații funcționale
|-
|3 - [[Gazeta Matematică nr 2 2015|link]]
|[[27024]]
|12
|ecuații funcționale
|-
|9
|[[E:14892]]
|8
|patrulater inscriptibil
|-
|rowspan="2"| 2012
|rowspan="2"|9 - [[Gazeta Matematică nr 9 2012|link]]
|[[14380]]
|5
|
|-
|[[14383]]
|6
|
|-
|rowspan="2"| 2011
|rowspan="2"|7-8-9 - [[Gazeta Matematică nr 789 2011|link]]
|[[E:14223]]
|7
|rezolvarea triunghiului
|-
|[[E:14228]]
|7
|radicali
|}

Gazeta Matematică

2023-12-26T17:52:36Z

Nagy Lenard:

Această pagină conține o listă cu numerele revistei ''[https://gmb.ssmr.ro/ Gazeta Matematică]'' care conțin articole/probleme cu autori membri ai [https://ssmr.cunbm.utcluj.ro/ Filialei Maramureș] a [https://ssmr.ro/ Societății de Științe Matematice din România].
{| class="wikitable mw-collapsible"
|+
!Anul
!Numărul
!Numărul problemei
!Clasa
!Domeniu
|-
|rowspan="9" |2022
|rowspan="2"|1
| [[28247]]
|11
|Matrice
|-
| [[28250]]
|12
|integrala Riemann
limită
|-
|2
| [[S:L22.58]]
|10
| ecuație cu logaritmi
|-
|4 - [[Gazeta Matematică nr 4 2022|link]]
| [[28315]]
|10
|numere complexe
|-
|5
| [[28338]]
|10
|numere complexe
afixe
|-
|6-7-8
| [[28354]]
|9
|vectori
|-
|rowspan="3" |10
| [[28437]]
|11
|șir recurent
|-
|[[E:16379]]
|
|
|-
|[[E:16380]]
|
|
|-
|rowspan="2"|11
| [[E:16407]]
|5
|cub perfect
|-
| [[28450]]
|9
|progresii aritmetice
|-
|rowspan = "7" |2021
|rowspan = "3" |678 - [[Gazeta Matematică nr 678 2021|link]]
|[[E:15990]]
|5
|numere naturale
|-
| [[E:15991]]
|5
|numere naturale
|-
| [[E:15992]]
|5
|numere naturale
|-
|rowspan= "3" | 11
|[[28203]]
|12
|funcție primitivabilă
|-
|[[S:L21.287]]
|9
|puteri
|-
|[[S:E21.313]]
|8
|ecuație
|-
|rowspan= "1" | 12
|[[28208]]
|9
|vectori
|-
|rowspan ="3"|2020
|rowspan ="3"| 4 - [[Gazeta Matematică nr 4 2020|link]]
|[[15698|E:15698]]
|6
|pătrate perfecte
|-
|[[E:15694]]
|
|
|-
|[[E:15695]]
|
|
|-
|rowspan="3" |2018
|rowspan="3" |4 - [[Gazeta Matematică nr 4 2018|link]]
| [[S:E18.128]]
|
|
|-
|[[S:E18.131]]
|
|
|-
| [[S:E18.131]]
|
|
|-
|rowspan="4" |2015
|1 - [[Gazeta Matematică nr 1 2015|link]]
|[[27020]]
|10
|coeficienți binomiali
|-
|2 - [[Gazeta Matematică nr 2 2015|link]]
|[[27036]]
|11
|ecuații funcționale
|-
|3 - [[Gazeta Matematică nr 2 2015|link]]
|[[27024]]
|12
|ecuații funcționale
|-
|9
|[[E:14892]]
|8
|patrulater inscriptibil
|-
|rowspan="2"| 2012
|rowspan="2"|9 - [[Gazeta Matematică nr 9 2012|link]]
|[[14380]]
|5
|
|-
|[[14383]]
|6
|
|-
|rowspan="2"| 2011
|rowspan="2"|7-8-9 - [[Gazeta Matematică nr 789 2011|link]]
|[[E:14223]]
|7
|rezolvarea triunghiului
|-
|[[E:14228]]
|7
|radicali
|}

Gazeta Matematică

2023-12-26T17:51:52Z

Nagy Lenard:

Această pagină conține o listă cu numerele revistei ''[https://gmb.ssmr.ro/ Gazeta Matematică]'' care conțin articole/probleme cu autori membri ai [https://ssmr.cunbm.utcluj.ro/ Filialei Maramureș] a [https://ssmr.ro/ Societății de Științe Matematice din România].
{| class="wikitable mw-collapsible"
|+
!Anul
!Numărul
!Numărul problemei
!Clasa
!Domeniu
|-
|rowspan="9" |2022
|rowspan="2"|1
| [[28247]]
|11
|Matrice
|-
| [[28250]]
|12
|integrala Riemann
limită
|-
|2
| [[S:L22.58]]
|10
| ecuație cu logaritmi
|-
|4 - [[Gazeta Matematică nr 4 2022|link]]
| [[28315]]
|10
|numere complexe
|-
|5
| [[28338]]
|10
|numere complexe
afixe
|-
|6-7-8
| [[28354]]
|9
|vectori
|-
|rowspan="3" |10
| [[28437]]
|11
|șir recurent
|-
|[[E:16379]]
|
|
|-
|[[E:16380]]
|
|
|-
|rowspan="2"|11
| [[E:16407]]
|5
|cub perfect
|-
| [[28450]]
|9
|progresii aritmetice
|-
|rowspan = "7" |2021
|rowspan = "3" |678 - [[Gazeta Matematică nr 678 2021|link]]
|[[E:15990]]
|5
|numere naturale
|-
| [[E:15991]]
|5
|numere naturale
|-
| [[E:15992]]
|5
|numere naturale
|-
|rowspan= "3" | 11
|[[28203]]
|12
|funcție primitivabilă
|-
|[[S:L21.287]]
|9
|puteri
|-
|[[S:E21.313]]
|8
|ecuație
|-
|rowspan= "1" | 12
|[[28208]]
|9
|vectori
|-
|rowspan ="3"|2020
|rowspan ="3"| 4
|[[15698|E:15698]]
|6
|pătrate perfecte
|-
|[[E:15694]]
|
|
|-
|[[E:15695]]
|
|
|-
|rowspan="3" |2018
|rowspan="3" |4 - [[Gazeta Matematică nr 4 2018|link]]
| [[S:E18.128]]
|
|
|-
|[[S:E18.131]]
|
|
|-
| [[S:E18.131]]
|
|
|-
|rowspan="4" |2015
|1 - [[Gazeta Matematică nr 1 2015|link]]
|[[27020]]
|10
|coeficienți binomiali
|-
|2 - [[Gazeta Matematică nr 2 2015|link]]
|[[27036]]
|11
|ecuații funcționale
|-
|3 - [[Gazeta Matematică nr 2 2015|link]]
|[[27024]]
|12
|ecuații funcționale
|-
|9
|[[E:14892]]
|8
|patrulater inscriptibil
|-
|rowspan="2"| 2012
|rowspan="2"|9 - [[Gazeta Matematică nr 9 2012|link]]
|[[14380]]
|5
|
|-
|[[14383]]
|6
|
|-
|rowspan="2"| 2011
|rowspan="2"|7-8-9 - [[Gazeta Matematică nr 789 2011|link]]
|[[E:14223]]
|7
|rezolvarea triunghiului
|-
|[[E:14228]]
|7
|radicali
|}

Gazeta Matematică

2023-12-26T17:48:16Z

Nagy Lenard:

Această pagină conține o listă cu numerele revistei ''[https://gmb.ssmr.ro/ Gazeta Matematică]'' care conțin articole/probleme cu autori membri ai [https://ssmr.cunbm.utcluj.ro/ Filialei Maramureș] a [https://ssmr.ro/ Societății de Științe Matematice din România].
{| class="wikitable mw-collapsible"
|+
!Anul
!Numărul
!Numărul problemei
!Clasa
!Domeniu
|-
|rowspan="9" |2022
|rowspan="2"|1
| [[28247]]
|11
|Matrice
|-
| [[28250]]
|12
|integrala Riemann
limită
|-
|2
| [[S:L22.58]]
|10
| ecuație cu logaritmi
|-
|4 - [[Gazeta Matematică nr 4 2022|link]]
| [[28315]]
|10
|numere complexe
|-
|5
| [[28338]]
|10
|numere complexe
afixe
|-
|6-7-8
| [[28354]]
|9
|vectori
|-
|rowspan="3" |10
| [[28437]]
|11
|șir recurent
|-
|[[E:16379]]
|
|
|-
|[[E:16380]]
|
|
|-
|rowspan="2"|11
| [[E:16407]]
|5
|cub perfect
|-
| [[28450]]
|9
|progresii aritmetice
|-
|rowspan = "7" |2021
|rowspan = "3" |678 - [[Gazeta Matematică nr 678 2021|link]]
|[[E:15990]]
|5
|numere naturale
|-
| [[E:15991]]
|5
|numere naturale
|-
| [[E:15992]]
|5
|numere naturale
|-
|rowspan= "3" | 11
|[[28203]]
|12
|funcție primitivabilă
|-
|[[S:L21.287]]
|9
|puteri
|-
|[[S:E21.313]]
|8
|ecuație
|-
|rowspan= "1" | 12
|[[28208]]
|9
|vectori
|-
|rowspan ="3"|2020
|rowspan ="3"| 4
|[[15698|E:15698]]
|6
|pătrate perfecte
|-
|[[15698|E:15694]]
|
|
|-
|[[15698|E:15695]]
|
|
|-
|rowspan="3" |2018
|rowspan="3" |4 - [[Gazeta Matematică nr 4 2018|link]]
| [[S:E18.128]]
|
|
|-
|[[S:E18.131]]
|
|
|-
| [[S:E18.131]]
|
|
|-
|rowspan="4" |2015
|1 - [[Gazeta Matematică nr 1 2015|link]]
|[[27020]]
|10
|coeficienți binomiali
|-
|2 - [[Gazeta Matematică nr 2 2015|link]]
|[[27036]]
|11
|ecuații funcționale
|-
|3 - [[Gazeta Matematică nr 2 2015|link]]
|[[27024]]
|12
|ecuații funcționale
|-
|9
|[[E:14892]]
|8
|patrulater inscriptibil
|-
|rowspan="2"| 2012
|rowspan="2"|9 - [[Gazeta Matematică nr 9 2012|link]]
|[[14380]]
|5
|
|-
|[[14383]]
|6
|
|-
|rowspan="2"| 2011
|rowspan="2"|7-8-9 - [[Gazeta Matematică nr 789 2011|link]]
|[[E:14223]]
|7
|rezolvarea triunghiului
|-
|[[E:14228]]
|7
|radicali
|}

28437

2023-11-08T16:08:31Z

Nagy Lenard:

'''28437 (Nicolae Mușuroaia)'''

'' Fie șirul '' <math> ((a_n))_{n \geq 1} </math> '' cu termenii strict pozitivi, dat de relația <math> a_{n+1} </math>

28437

2023-11-08T16:08:18Z

Nagy Lenard:

'''28437 (Nicolae Mușuroaia)'''
'' Fie șirul '' <math> ((a_n))_{n \geq 1} </math> '' cu termenii strict pozitivi, dat de relația <math> a_{n+1} </math>

28437

2023-11-08T16:06:45Z

Nagy Lenard:

'''28437 (Nicolae Mușuroaia)'''
'' Fie șirul '' <math> ((a_n))_{n \geq 1} </math> '' cu termenii strict pozitivi, dat de relația <math> \(a_{n+1}\) </math>

Fie șirul <math>\(a_n\)</math> cu \(n \geq 1\) cu termeni strict pozitivi, dat de relația \(a_{n+1} = \ln(a_1 + a_2 + \ldots + a_n)\) pentru \(n \geq 1\).

Gazeta Matematică

2023-11-08T15:44:52Z

Nagy Lenard:

Gazeta Matematică

2023-11-07T20:12:58Z

Nagy Lenard:

Gazeta Matematică

2023-11-07T20:11:37Z

Nagy Lenard:

Gazeta Matematică

2023-10-24T12:38:23Z

Nagy Lenard:

28315

2023-10-20T10:54:41Z

Nagy Lenard:

'''28315 (Vasile Pop)''' ‎
 
 
''Fie <math>P_1P_2\ldots P_n</math> <math>(n \geq 3)</math> un poligon regulat și <math>M</math> un punct în interiorul poligonului. Notăm cu <math>M_1</math>, <math>M_2, \ldots, M_n</math> simetricele punctului <math>M</math> față de laturile poligonului. Arătați că, pentru orice alegere a punctului <math>M</math>, poligoanele <math>M_1</math><math>M_2 \ldots M_n</math> au același centru de greutate.''
 
 
'''Soluție:'''
 
 
Vom demonstra următoarea lemă: În planul complex, simetricul punctului <math>M(m)</math> față de dreapta determinată de punctele <math>A(a)</math> și <math>B(b)</math>, unde <math>|a| = |b| = 1</math>, este punctul <math>M^{\prime}
</math> de afix <math>m^{\prime} = a + b - ab\overline{m}
.</math>
 
        Într-adevăr, din faptul că mijlocul <math>N(n)</math> al segmentului <math>[MM^{\prime}]</math> aparține dreptei <math>AB</math>, rezultă că <math>\frac{n-a}{b-a} \in \mathbb{R}</math>, adică <math>\frac{n-a}{b-a}</math> = <math>\frac{\overline{n}-\overline{a}}{\overline{b}-\overline{a}}, (1), </math> iar din <math>MM^{\prime} \perp AB</math>, deducem că <math>\frac{m^{\prime}-m}{b-a} \in i\mathbb{R^*}</math>, adică <math>\frac{m^{\prime}-m}{b-a} = - \frac{\overline{m^{\prime}}-\overline{m}}{\overline{b}-\overline{a}}, (2)</math>. Având în vedere că <math>\overline{a} = \frac{1}{a}, \overline{b} = \frac{1}{b}</math> și <math>n = \frac{m+m^{\prime}}{2}</math>, din relația <math>(1)</math> rezultă că <math>m^{\prime}+ m = 2(a + b) - ab(\overline{m^{\prime}}+\overline{m}), (3)</math>, iar din relația <math>(2)</math> că <math>m^{\prime}-m=ab(\overline{m^{\prime}}-\overline{m}), (4).</math> Adunând egalitățile <math>(3)</math> și <math>(4)</math> obținem <math>m^{\prime}=a+b-ab\overline{m}</math>.

        Revenind la problemă, considerăm un reper cartezian cu originea în centrul poligonului, astfel încât afixele punctelor <math>P_n</math> și <math>P_1</math> să fie <math>1</math>, respectiv <math>\epsilon = \cos\frac{2\pi}{n}+i\sin\frac{2\pi}{n}</math>. Ca urmare, afixul punctului <math>P_k</math> este <math>\epsilon^k</math>, pentru orice <math>k \in \{1, 2, \ldots, n\}
</math>.

        Fie <math>m</math> afixul punctului <math>M</math> și <math> m_k</math> afixul punctului <math>M_k, 1 \leq k \leq n.</math> Folosind lema, rezultă că <math> m_k=\epsilon^k+\epsilon^{k+1}-\epsilon^{2k+1} \overline{m}</math>, pentru orice <math>k</math>. În consecință, 
<math>
\sum_{k=1}^{n}m_k=(1+\epsilon) \sum_{k=1}^{n}\epsilon^k+\overline{m} \cdot \sum_{k=1}^{n}\epsilon^{2k+1}=(1+\epsilon)\cdot \epsilon \cdot \frac{\epsilon^n-1}{\epsilon-1}+\overline{m}\cdot\epsilon^3\cdot\frac{\epsilon^{2n}-1}{\epsilon^2-1}=0
</math>
, deci centrul de greutate al poligonului <math>M_1M_2 \ldots M_n</math> este originea, indiferent de alegerea punctului <math>M</math>.

Gazeta Matematică

2023-10-20T10:51:11Z

Nagy Lenard:

Gazeta Matematică nr 4 2022

2023-10-20T10:50:43Z

Nagy Lenard:

'''28315 (Vasile Pop)'''

Fie <math>P_1P_2\ldots P_n</math> <math>(n \geq 3)</math> un poligon regulat și <math>M</math> un punct în interiorul poligonului. Notăm cu <math>M_1</math>, <math>M_2, \ldots, M_n</math> simetricele punctului <math>M</math> față de laturile poligonului. Arătați că, pentru orice alegere a punctului <math>M</math>, poligoanele <math>M_1</math><math>M_2 \ldots M_n</math> au același centru de greutate.

Gazeta Matematică nr 4 2022

2023-10-20T10:48:49Z

Nagy Lenard: Pagină nouă:        '''28315.''' ‎''    Fie <math>P_1P_2\ldots P_n</math> <math>(n \geq 3)</math> un poligon regulat și <math>M</math> un punct în interiorul poligonului. Notăm cu <math>M_1</math>, <math>M_2, \ldots, M_n</math> simetricele punctului <math>M</math> față de laturile poligonului. Arătați că, pentru orice alegere a punctului <math>M</math>, poligoanele <math>M_1</math><math>M_2 \ldots M_n</math> au același centru de greutate.'' ::::::'...

'''28315.''' ‎''    Fie <math>P_1P_2\ldots P_n</math> <math>(n \geq 3)</math> un poligon regulat și <math>M</math> un punct în interiorul poligonului. Notăm cu <math>M_1</math>, <math>M_2, \ldots, M_n</math> simetricele punctului <math>M</math> față de laturile poligonului. Arătați că, pentru orice alegere a punctului <math>M</math>, poligoanele <math>M_1</math><math>M_2 \ldots M_n</math> au același centru de greutate.''
::::::'''''Vasile Pop'', Cluj-Napoca și ''Nicolae Mușuroia'', Baia Mare'''

Gazeta Matematică

2023-10-20T10:43:26Z

Nagy Lenard:

Gazeta Matematică

2023-10-20T10:43:11Z

Nagy Lenard:

Gazeta Matematică

2023-10-20T10:42:30Z

Nagy Lenard:

27020

2023-10-18T18:06:25Z

Nagy Lenard:

'''27020 (Gheorghe Szöllösy)'''

''Să se calculeze suma'' <math> \sum_{k=0}^{\left[\frac{n}{2}\right]} \frac{1}{4^k \cdot (k!)^2 (n-2k)!}, \quad n \geq 1.
</math>''

'''Soluție:'''

Fie <math> a_n </math> coeficientul lui <math> X^n </math> din rezolvarea lui

<math display="block"> P(X) = \left( X + \frac{1}{2}\right)^{2n} = \left(X(1+X) + \frac{1}{4}\right)^n = \sum_{k=0}^n C_n^k X^{n-k} (! - X)^{n-k} \left.\frac{1}{4^k}\right. .</math>

Avem <math> a_n = \left.\frac{1}{2^n}\right. C_{2n}^n </math>, iar pe de altă parte,
<math display="block"> a_n = C_n^0 \cdot C_n^0 + C_n^1 \cdot C_{n-1}^1 \left.\frac{1}{4}\right.
+ C_n^2 \cdot C_{n-2}^1\left.\frac{1}{4^2}\right. + ... = </math>
<math display="block"> = \sum_{k=0}^{\left[\frac{n}{2}\right]} C_n^k C_{n-k}^k \cdot \left.\frac{1}{4^k}\right. = n! \sum_{k=0}^{\left[\frac{n}{2}\right]} \frac{1}{(k!)^2 (n-k)! 4^k},</math>

deci suma este egală cu <math> \left.\frac{(2n!)}{2^n(n!)^3}\right. .</math>

27020

2023-10-18T18:04:49Z

Nagy Lenard:

'''27020 (Gheorghe Szöllösy)'''

''Să se calculeze suma'' <math> \sum_{k=0}^{\left[\frac{n}{2}\right]} \frac{1}{4^k \cdot (k!)^2 (n-2k)!}, \quad n \geq 1
</math>.''

'''Soluție:'''

Fie <math> a_n </math> coeficientul lui <math> X^n </math> din rezolvarea lui

<math display="block"> P(X) = \left( X + \frac{1}{2}\right)^{2n} = \left(X(1+X) + \frac{1}{4}\right)^n = \sum_{k=0}^n C_n^k X^{n-k} (! - X)^{n-k} \left.\frac{1}{4^k}\right. .</math>

Avem <math> a_n = \left.\frac{1}{2^n}\right. C_{2n}^n </math>, iar pe de altă parte,
<math display="block"> a_n = C_n^0 \cdot C_n^0 + C_n^1 \cdot C_{n-1}^1 \left.\frac{1}{4}\right.
+ C_n^2 \cdot C_{n-2}^1\left.\frac{1}{4^2}\right. + ... = </math>
<math display="block"> = \sum_{k=0}^{\left[\frac{n}{2}\right]} C_n^k C_{n-k}^k \cdot \left.\frac{1}{4^k}\right. = n! \sum_{k=0}^{\left[\frac{n}{2}\right]} \frac{1}{(k!)^2 (n-k)! 4^k},</math>

deci suma este egală cu <math> \left.\frac{(2n!)}{2^n(n!)^3}\right. .</math>

27020

2023-10-18T18:04:16Z

Nagy Lenard: Anularea modificării 6981 făcute de Nagy Lenard (Discuție)

'''27020 (Gheorghe Szöllösy)'''

Să se calculeze suma <math> \sum_{k=0}^{\left[\frac{n}{2}\right]} \frac{1}{4^k \cdot (k!)^2 (n-2k)!}, \quad n \geq 1.
</math>

'''Soluție:'''

Fie <math> a_n </math> coeficientul lui <math> X^n </math> din rezolvarea lui

<math display="block"> P(X) = \left( X + \frac{1}{2}\right)^{2n} = \left(X(1+X) + \frac{1}{4}\right)^n = \sum_{k=0}^n C_n^k X^{n-k} (! - X)^{n-k} \left.\frac{1}{4^k}\right. .</math>

Avem <math> a_n = \left.\frac{1}{2^n}\right. C_{2n}^n </math>, iar pe de altă parte,
<math display="block"> a_n = C_n^0 \cdot C_n^0 + C_n^1 \cdot C_{n-1}^1 \left.\frac{1}{4}\right.
+ C_n^2 \cdot C_{n-2}^1\left.\frac{1}{4^2}\right. + ... = </math>
<math display="block"> = \sum_{k=0}^{\left[\frac{n}{2}\right]} C_n^k C_{n-k}^k \cdot \left.\frac{1}{4^k}\right. = n! \sum_{k=0}^{\left[\frac{n}{2}\right]} \frac{1}{(k!)^2 (n-k)! 4^k},</math>

deci suma este egală cu <math> \left.\frac{(2n!)}{2^n(n!)^3}\right. .</math>

27020

2023-10-18T18:04:01Z

Nagy Lenard:

'''27020 (Gheorghe Szöllösy)'''

\textit{italic} Să se calculeze suma <math> \sum_{k=0}^{\left[\frac{n}{2}\right]} \frac{1}{4^k \cdot (k!)^2 (n-2k)!}, \quad n \geq 1.
</math>

'''Soluție:'''

Fie <math> a_n </math> coeficientul lui <math> X^n </math> din rezolvarea lui

<math display="block"> P(X) = \left( X + \frac{1}{2}\right)^{2n} = \left(X(1+X) + \frac{1}{4}\right)^n = \sum_{k=0}^n C_n^k X^{n-k} (! - X)^{n-k} \left.\frac{1}{4^k}\right. .</math>

Avem <math> a_n = \left.\frac{1}{2^n}\right. C_{2n}^n </math>, iar pe de altă parte,
<math display="block"> a_n = C_n^0 \cdot C_n^0 + C_n^1 \cdot C_{n-1}^1 \left.\frac{1}{4}\right.
+ C_n^2 \cdot C_{n-2}^1\left.\frac{1}{4^2}\right. + ... = </math>
<math display="block"> = \sum_{k=0}^{\left[\frac{n}{2}\right]} C_n^k C_{n-k}^k \cdot \left.\frac{1}{4^k}\right. = n! \sum_{k=0}^{\left[\frac{n}{2}\right]} \frac{1}{(k!)^2 (n-k)! 4^k},</math>

deci suma este egală cu <math> \left.\frac{(2n!)}{2^n(n!)^3}\right. .</math>

Gazeta Matematică nr 27020 2015

2023-10-18T17:59:30Z

Nagy Lenard:

'''27020 (Gheorghe Szöllösy)'''

Să se calculeze suma <math> \sum_{k=0}^{\left[\frac{n}{2}\right]} \frac{1}{4^k \cdot (k!)^2 (n-2k)!}, \quad n \geq 1.
</math>

27020

2023-10-18T17:59:22Z

Nagy Lenard:

Gazeta Matematică nr 27020 2015

2023-10-18T17:59:09Z

Nagy Lenard: Pagină nouă: '''27020 (Gheorghe Szöllösy)''' Să se calculeze suma <math> \sum_{k=0}^{\left[\frac{n}{2}\right]} \frac{1}{4^k \cdot (k!)^2 (n-2k)!}, \quad n \geq 1 </math>

'''27020 (Gheorghe Szöllösy)'''

Să se calculeze suma <math> \sum_{k=0}^{\left[\frac{n}{2}\right]} \frac{1}{4^k \cdot (k!)^2 (n-2k)!}, \quad n \geq 1
</math>

Gazeta Matematică

2023-10-18T17:58:51Z

Nagy Lenard:

27020

2023-10-18T17:57:17Z

Nagy Lenard:

'''27020 (Gheorghe Szöllösy)'''

Să se calculeze suma <math> \sum_{k=0}^{\left[\frac{n}{2}\right]} \frac{1}{4^k \cdot (k!)^2 (n-2k)!}, \quad n \geq 1
</math>

'''Soluție:'''

Fie <math> a_n </math> coeficientul lui <math> X^n </math> din rezolvarea lui

<math display="block"> P(X) = \left( X + \frac{1}{2}\right)^{2n} = \left(X(1+X) + \frac{1}{4}\right)^n = \sum_{k=0}^n C_n^k X^{n-k} (! - X)^{n-k} \left.\frac{1}{4^k}\right. .</math>

Avem <math> a_n = \left.\frac{1}{2^n}\right. C_{2n}^n </math>, iar pe de altă parte,
<math display="block"> a_n = C_n^0 \cdot C_n^0 + C_n^1 \cdot C_{n-1}^1 \left.\frac{1}{4}\right.
+ C_n^2 \cdot C_{n-2}^1\left.\frac{1}{4^2}\right. + ... = </math>
<math display="block"> = \sum_{k=0}^{\left[\frac{n}{2}\right]} C_n^k C_{n-k}^k \cdot \left.\frac{1}{4^k}\right. = n! \sum_{k=0}^{\left[\frac{n}{2}\right]} \frac{1}{(k!)^2 (n-k)! 4^k},</math>

deci suma este egală cu <math> \left.\frac{(2n!)}{2^n(n!)^3}\right. .</math>

27020

2023-10-18T17:54:43Z

Nagy Lenard:

'''27020 (Gheorghe Szöllösy)'''

Să se calculeze suma <math> \sum_{k=0}^{\left[\frac{n}{2}\right]} \frac{1}{4^k \cdot (k!)^2 (n-2k)!}, \quad n \geq 1
</math>

'''Soluție:'''

Fie <math> a_n </math> coeficientul lui <math> X^n </math> din rezolvarea lui

<math display="block"> P(X) = \left( X + \frac{1}{2}\right)^{2n} = \left(X(1+X) + \frac{1}{4}\right)^n = \sum_{k=0}^n C_n^k X^{n-k} (! - X)^{n-k} \left.\frac{1}{4^k}\right. .</math>

Avem <math> a_n = \left(\frac{1}{2^n}\right) C_2n^n </math>, iar pe de altă parte,
<math display="block"> a_n = C_n^0 \cdot C_n^0 + C_n^1 \cdot C_{n-1}^1 \left.\frac{1}{4}\right.
+ C_n^2 \cdot C_{n-2}^1\left.\frac{1}{4^2}\right. + ... = </math>
<math display="block"> = \sum_{k=0}^{\left[\frac{n}{2}\right]} C_n^k C_(n-k)^k \cdot \left.\frac{1}{4^k}\right. = n! \sum_{k=0}^{\left[\frac{n}{2}\right]} \frac{1}{(k!)^2 (n-k)! 4^k},</math>

deci suma este egală cu <math> \left.\frac{(2n!}{2^n(n!)^3}\right. .</math>

27020

2023-10-18T17:51:11Z

Nagy Lenard:

'''27020 (Gheorghe Szöllösy)'''

Să se calculeze suma <math> \sum_{k=0}^{\left[\frac{n}{2}\right]} \frac{1}{4^k \cdot (k!)^2 \cdot (n-2k)!}, \quad n \geq 1
</math>

'''Soluție:'''

Fie <math> a_n </math> coeficientul lui <math> X^n </math> din rezolvarea lui

<math display="block"> P(X) = (\left. X + \frac{1}{2}\right)^{2n} = (X(1+X) + \left.\frac{1}{4}\right.)^n = \sum_{k=0}^n C_n^k X^{n-k} (! - X)^{n-k} \left(\frac{1}{4^k}\right)</math>

Avem <math> a_n = \left(\frac{1}{2^n}\right) C_2n^n </math>, iar pe de altă parte,
<math display="block"> a_n = C_n^0 \cdot C_n^0 + C_n^1 \cdot C_{n-1}^1 \left.\frac{1}{4}\right.
+ C_n^2 \cdot C_{n-2}^1\left.\frac{1}{4^2}\right. + ... = </math>
<math display="block"> = \sum_{k=0}^{\left[\frac{n}{2}\right]} C_n^k C_(n-k)^k \cdot \left.\frac{1}{4^k}\right. = n! \sum_{k=0}^{\left[\frac{n}{2}\right]} \frac{1}{(k!)^2 (n-k)! 4^k},</math>

deci suma este egală cu <math> \left.\frac{(2n!}{2^n(n!)^3}\right. .</math>

27020

2023-10-18T17:48:36Z

Nagy Lenard:

'''27020 (Gheorghe Szöllösy)'''

Să se calculeze suma <math> \sum_{k=0}^{\left[\frac{n}{2}\right]} \frac{1}{4^k \cdot (k!)^2 \cdot (n-2k)!}, \quad n \geq 1
</math>

'''Soluție:'''

Fie <math> a_n </math> coeficientul lui <math> X^n </math> din rezolvarea lui

<math display="block"> P(X) = \left(X + \frac{1}{2}\right)^{2n} = (X(1+X) + \left.\frac{1}{4}\right.)^n = \sum_{k=0}^n C_n^k (! - X)^{(n-k)} \left(\frac{1}{4^k}\right)</math>

Avem <math> a_n = \left(\frac{1}{2^n}\right) C_2n^n </math>, iar pe de altă parte,
<math display="block"> a_n = C_n^0 \cdot C_n^0 + C_n^1 \cdot C_{n-1}^1 \left.\frac{1}{4}\right.
+ C_n^2 \cdot C_{n-2}^1\left.\frac{1}{4^2}\right. + ... = </math>
<math display="block"> = \sum_{k=0}^{\left[\frac{n}{2}\right]} C_n^k C_(n-k)^k \cdot \left.\frac{1}{4^k}\right. = n! \sum_{k=0}^{\left[\frac{n}{2}\right]} \frac{1}{(k!)^2 (n-k)! 4^k},</math>

deci suma este egală cu <math> \left.\frac{(2n!}{2^n(n!)^3}\right. .</math>

27020

2023-10-18T17:45:12Z

Nagy Lenard:

'''27020 (Gheorghe Szöllösy)'''

Să se calculeze suma <math> \sum_{k=0}^{\left[\frac{n}{2}\right]} \frac{1}{4^k \cdot (k!)^2 \cdot (n-2k)!}, \quad n \geq 1
</math>

'''Soluție:'''

Fie <math> a_n </math> coeficientul lui <math> X^n </math> din rezolvarea lui

<math display="block"> P(X) = \left(X + \frac{1}{2}\right)^{2n} = \left(X(1+X) + \lfloor 1/4 \rfloor\right)^n = \sum_{k=0}^n C_n^k (! - X)^{(n-k)} \left(\frac{1}{4^k}\right)</math>

Avem <math> a_n = \left(\frac{1}{2^n}\right) C_2n^n </math>, iar pe de altă parte,
<math display="block"> a_n = C_n^0 \cdot C_n^0 + C_n^1 \cdot C_(n-1)^1 \left.\frac{1}{4}\right.
+ C_n^2 \cdot C_(n-2)^1\left.\frac{1}{4^2}\right. + ... = </math>
<math display="block"> = \sum_{k=0}^{\left[\frac{n}{2}\right]} C_n^k C_(n-k)^k \cdot \left.\frac{1}{4^k}\right. = n! \sum_{k=0}^{\left[\frac{n}{2}\right]} \frac{1}{(k!)^2 (n-k)! 4^k},</math>

deci suma este egală cu <math> \left.\frac{(2n!}{2^n(n!)^3}\right. .</math>

27020

2023-10-18T17:44:01Z

Nagy Lenard:

'''27020 (Gheorghe Szöllösy)'''

Să se calculeze suma <math> \sum_{k=0}^{\left[\frac{n}{2}\right]} \frac{1}{4^k \cdot (k!)^2 \cdot (n-2k)!}, \quad n \geq 1
</math>

'''Soluție:'''

Fie <math> a_n </math> coeficientul lui <math> X^n </math> din rezolvarea lui

<math display="block"> P(X) = \left(X + \frac{1}{2}\right)^{2n} = \left(X(1+X) + \lfloor 1/4 \rfloor\right)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} X^{(n-k)} \left(\frac{1}{4^k}\right)</math>

Avem <math> a_n = \left(\frac{1}{2^n}\right) C_2n^n </math>, iar pe de altă parte,
<math display="block"> a_n = C_n^0 \cdot C_n^0 + C_n^1 \cdot C_(n-1)^1 \left.\frac{1}{4}\right.
+ C_n^2 \cdot C_(n-2)^1\left.\frac{1}{4^2}\right. + ... = </math>
<math display="block"> = \sum_{k=0}^{\left[\frac{n}{2}\right]} C_n^k C_(n-k)^k \cdot \left.\frac{1}{4^k}\right. = n! \sum_{k=0}^{\left[\frac{n}{2}\right]} \frac{1}{(k!)^2 (n-k)! 4^k},</math>

deci suma este egală cu <math> \left.\frac{(2n!}{2^n(n!)^3}\right. .</math>

27020

2023-10-18T17:41:39Z

Nagy Lenard:

'''27020 (Gheorghe Szöllösy)'''

Să se calculeze suma <math> \sum_{k=0}^{\left[\frac{n}{2}\right]} \frac{1}{4^k \cdot (k!)^2 \cdot (n-2k)!}, \quad n \geq 1
</math>

'''Soluție:'''

Fie <math> a_n </math> coeficientul lui <math> X^n </math> din rezolvarea lui

<math display="block"> P(X) = \left(X + \left.\frac{1}{2}\right\right.)^{2n} = \left(X(1+X) + \left\lfloor\frac{1}{4}\right\rfloor\right)^n = \sum_{k=0}^n C_n^k X^{(n-k)} \left(\frac{1}{4^k}\right).</math>

Avem <math> a_n = \left(\frac{1}{2^n}\right) C_2n^n </math>, iar pe de altă parte,
<math display="block"> a_n = C_n^0 \cdot C_n^0 + C_n^1 \cdot C_(n-1)^1 \left.\frac{1}{4}\right.
+ C_n^2 \cdot C_(n-2)^1\left.\frac{1}{4^2}\right. + ... = </math>
<math display="block"> = \sum_{k=0}^{\left[\frac{n}{2}\right]} C_n^k C_(n-k)^k \cdot \left.\frac{1}{4^k}\right. = n! \sum_{k=0}^{\left[\frac{n}{2}\right]} \frac{1}{(k!)^2 (n-k)! 4^k},</math>

deci suma este egală cu <math> \left.\frac{(2n!}{2^n(n!)^3}\right. .</math>

27020

2023-10-18T17:40:14Z

Nagy Lenard:

'''27020 (Gheorghe Szöllösy)'''

Să se calculeze suma <math> \sum_{k=0}^{\left[\frac{n}{2}\right]} \frac{1}{4^k \cdot (k!)^2 \cdot (n-2k)!}, \quad n \geq 1
</math>

'''Soluție:'''

Fie <math> a_n </math> coeficientul lui <math> X^n </math> din rezolvarea lui

<math display="block"> P(X) = \left(X + \left\lfloor\frac{1}{2}\right\rfloor\right)^{2n} = \left(X(1+X) + \left\lfloor\frac{1}{4}\right\rfloor\right)^n = \sum_{k=0}^n C_n^k X^{(n-k)} \left(\frac{1}{4^k}\right).</math>

Avem <math> a_n = \left(\frac{1}{2^n}\right) C_2n^n </math>, iar pe de altă parte,
<math display="block"> a_n = C_n^0 \cdot C_n^0 + C_n^1 \cdot C_(n-1)^1 \left.\frac{1}{4}\right.
+ C_n^2 \cdot C_(n-2)^1\left.\frac{1}{4^2}\right. + ... = </math>
<math display="block"> = \sum_{k=0}^{\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor} C_n^k C_(n-k)^k \cdot \left.\frac{1}{4^k}\right. = n! \sum_{k=0}^{\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor} \frac{1}{(k!)^2 (n-k)! 4^k},</math>

deci suma este egală cu <math> \left.\frac{(2n!}{2^n(n!)^3}\right. .</math>

27020

2023-10-18T17:39:32Z

Nagy Lenard:

'''27020 (Gheorghe Szöllösy)'''

Să se calculeze suma <math> \sum_{k=0}^{\left\lfloor\frac{n}{2}\right.} \frac{1}{4^k \cdot (k!)^2 \cdot (n-2k)!}, \quad n \geq 1
</math>

'''Soluție:'''

Fie <math> a_n </math> coeficientul lui <math> X^n </math> din rezolvarea lui

<math display="block"> P(X) = \left(X + \left\lfloor\frac{1}{2}\right\rfloor\right)^{2n} = \left(X(1+X) + \left\lfloor\frac{1}{4}\right\rfloor\right)^n = \sum_{k=0}^n C_n^k X^{(n-k)} \left(\frac{1}{4^k}\right).</math>

Avem <math> a_n = \left(\frac{1}{2^n}\right) C_2n^n </math>, iar pe de altă parte,
<math display="block"> a_n = C_n^0 \cdot C_n^0 + C_n^1 \cdot C_(n-1)^1 \left.\frac{1}{4}\right.
+ C_n^2 \cdot C_(n-2)^1\left.\frac{1}{4^2}\right. + ... = </math>
<math display="block"> = \sum_{k=0}^{\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor} C_n^k C_(n-k)^k \cdot \left.\frac{1}{4^k}\right. = n! \sum_{k=0}^{\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor} \frac{1}{(k!)^2 (n-k)! 4^k},</math>

deci suma este egală cu <math> \left.\frac{(2n!}{2^n(n!)^3}\right. .</math>

27020

2023-10-18T17:38:30Z

Nagy Lenard:

'''27020 (Gheorghe Szöllösy)'''

Să se calculeze suma <math> \sum_{k=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} \frac{1}{4^k \cdot (k!)^2 \cdot (n-2k)!}, \quad n \geq 1
</math>

'''Soluție:'''

Fie <math> a_n </math> coeficientul lui <math> X^n </math> din rezolvarea lui

<math display="block"> P(X) = \left(X + \left\lfloor\frac{1}{2}\right\rfloor\right)^{2n} = \left(X(1+X) + \left\lfloor\frac{1}{4}\right\rfloor\right)^n = \sum_{k=0}^n C_n^k X^{(n-k)} \left(\frac{1}{4^k}\right).</math>

Avem <math> a_n = \left(\frac{1}{2^n}\right) C_2n^n </math>, iar pe de altă parte,
<math display="block"> a_n = C_n^0 \cdot C_n^0 + C_n^1 \cdot C_(n-1)^1 \left.\frac{1}{4}\right.
+ C_n^2 \cdot C_(n-2)^1\left.\frac{1}{4^2}\right. + ... = </math>
<math display="block"> = \sum_{k=0}^{\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor} C_n^k C_(n-k)^k \cdot \left.\frac{1}{4^k}\right. = n! \sum_{k=0}^{\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor} \frac{1}{(k!)^2 (n-k)! 4^k},</math>

deci suma este egală cu <math> \left.\frac{(2n!}{2^n(n!)^3}\right. .</math>

27020

2023-10-18T17:37:53Z

Nagy Lenard: Anularea modificării 6965 făcute de Nagy Lenard (Discuție)

'''27020 (Gheorghe Szöllösy)'''

Să se calculeze suma <math> \sum_{k=0}^{\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor} \frac{1}{4^k \cdot (k!)^2 \cdot (n-2k)!}, \quad n \geq 1
</math>

'''Soluție:'''

Fie <math> a_n </math> coeficientul lui <math> X^n </math> din rezolvarea lui

<math display="block"> P(X) = \left(X + \left\lfloor\frac{1}{2}\right\rfloor\right)^{2n} = \left(X(1+X) + \left\lfloor\frac{1}{4}\right\rfloor\right)^n = \sum_{k=0}^n C_n^k X^{(n-k)} \left(\frac{1}{4^k}\right).</math>

Avem <math> a_n = \left(\frac{1}{2^n}\right) C_2n^n </math>, iar pe de altă parte,
<math display="block"> a_n = C_n^0 \cdot C_n^0 + C_n^1 \cdot C_(n-1)^1 \left.\frac{1}{4}\right.
+ C_n^2 \cdot C_(n-2)^1\left.\frac{1}{4^2}\right. + ... = </math>
<math display="block"> = \sum_{k=0}^{\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor} C_n^k C_(n-k)^k \cdot \left.\frac{1}{4^k}\right. = n! \sum_{k=0}^{\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor} \frac{1}{(k!)^2 (n-k)! 4^k},</math>

deci suma este egală cu <math> \left.\frac{(2n!}{2^n(n!)^3}\right. .</math>

27020

2023-10-18T17:37:44Z

Nagy Lenard:

'''27020 (Gheorghe Szöllösy)'''

Să se calculeze suma <math> \sum_{k=0}^{\left\[ \frac{n}{2}\right]} \frac{1}{4^k \cdot (k!)^2 \cdot (n-2k)!}, \quad n \geq 1
</math>

'''Soluție:'''

Fie <math> a_n </math> coeficientul lui <math> X^n </math> din rezolvarea lui

<math display="block"> P(X) = \left(X + \left\lfloor\frac{1}{2}\right\rfloor\right)^{2n} = \left(X(1+X) + \left\lfloor\frac{1}{4}\right\rfloor\right)^n = \sum_{k=0}^n C_n^k X^{(n-k)} \left(\frac{1}{4^k}\right).</math>

Avem <math> a_n = \left(\frac{1}{2^n}\right) C_2n^n </math>, iar pe de altă parte,
<math display="block"> a_n = C_n^0 \cdot C_n^0 + C_n^1 \cdot C_(n-1)^1 \left.\frac{1}{4}\right.
+ C_n^2 \cdot C_(n-2)^1\left.\frac{1}{4^2}\right. + ... = </math>
<math display="block"> = \sum_{k=0}^{\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor} C_n^k C_(n-k)^k \cdot \left.\frac{1}{4^k}\right. = n! \sum_{k=0}^{\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor} \frac{1}{(k!)^2 (n-k)! 4^k},</math>

deci suma este egală cu <math> \left.\frac{(2n!}{2^n(n!)^3}\right. .</math>

27020

2023-10-18T17:36:09Z

Nagy Lenard:

27020

2023-10-18T17:34:38Z

Nagy Lenard:

27020

2023-10-18T17:34:15Z

Nagy Lenard:

'''27020 (Gheorghe Szöllösy)'''

Să se calculeze suma <math> \sum_{k=0}^{\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor} \frac{1}{4^k \cdot (k!)^2 \cdot (n-2k)!}, \quad n \geq 1
</math>

'''Soluție:'''

Fie <math> a_n </math> coeficientul lui <math> X^n </math> din rezolvarea lui

<math display="block"> P(X) = \left(X + \left\lfloor\frac{1}{2}\right\rfloor\right)^{2n} = \left(X(1+X) + \left\lfloor\frac{1}{4}\right\rfloor\right)^n = \sum_{k=0}^n C_n^k X^{(n-k)} \left(\frac{1}{4^k}\right).</math>

Avem <math> a_n = \left(\frac{1}{2^n}\right) C_2n^n </math>, iar pe de altă parte,
<math display="block"> a_n = C_n^0 \cdot C_n^0 + C_n^1 \cdot C_(n-1)^1 \left.\frac{1}{4}\right.
+ C_n^2 \cdot C_(n-2)^1\left(\frac{1}{4^2}\right) + ... = </math>
<math display="block"> = \sum_{k=0}^{\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor} C_n^k C_(n-k)^k \cdot \left.\frac{1}{4^k}\right. = n! \sum_{k=0}^{\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor} \frac{1}{(k!)^2 (n-k)! 4^k},</math>

27020

2023-10-18T17:34:01Z

Nagy Lenard:

'''27020 (Gheorghe Szöllösy)'''

Să se calculeze suma <math> \sum_{k=0}^{\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor} \frac{1}{4^k \cdot (k!)^2 \cdot (n-2k)!}, \quad n \geq 1
</math>

'''Soluție:'''

Fie <math> a_n </math> coeficientul lui <math> X^n </math> din rezolvarea lui

<math display="block"> P(X) = \left(X + \left\lfloor\frac{1}{2}\right\rfloor\right)^{2n} = \left(X(1+X) + \left\lfloor\frac{1}{4}\right\rfloor\right)^n = \sum_{k=0}^n C_n^k X^{(n-k)} \left(\frac{1}{4^k}\right).</math>

Avem <math> a_n = \left(\frac{1}{2^n}\right) C_2n^n </math>, iar pe de altă parte,
<math display="block"> a_n = C_n^0 \cdot C_n^0 + C_n^1 \cdot C_(n-1)^1 \left.\frac{1}{4}\right.
+ C_n^2 \cdot C_(n-2)^1\left(\frac{1}{4^2}\right) + ... = </math>
<math display="block"> = \sum_{k=0}^{\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor} C_n^k C_(n-k)^k \cdot \left(\frac{1}{4^k}\right) = n! \sum_{k=0}^{\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor} \frac{1}{(k!)^2 (n-k)! 4^k},</math>

27020

2023-10-18T17:33:44Z

Nagy Lenard: Anularea modificării 6959 făcute de Nagy Lenard (Discuție)

'''27020 (Gheorghe Szöllösy)'''

Să se calculeze suma <math> \sum_{k=0}^{\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor} \frac{1}{4^k \cdot (k!)^2 \cdot (n-2k)!}, \quad n \geq 1
</math>

'''Soluție:'''

Fie <math> a_n </math> coeficientul lui <math> X^n </math> din rezolvarea lui

<math display="block"> P(X) = \left(X + \left\lfloor\frac{1}{2}\right\rfloor\right)^{2n} = \left(X(1+X) + \left\lfloor\frac{1}{4}\right\rfloor\right)^n = \sum_{k=0}^n C_n^k X^{(n-k)} \left(\frac{1}{4^k}\right).</math>

Avem <math> a_n = \left(\frac{1}{2^n}\right) C_2n^n </math>, iar pe de altă parte,
<math display="block"> a_n = C_n^0 \cdot C_n^0 + C_n^1 \cdot C_(n-1)^1 \left(\frac{1}{4}\right) + C_n^2 \cdot C_(n-2)^1\left(\frac{1}{4^2}\right) + ... = </math>
<math display="block"> = \sum_{k=0}^{\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor} C_n^k C_(n-k)^k \cdot \left(\frac{1}{4^k}\right) = n! \sum_{k=0}^{\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor} \frac{1}{(k!)^2 (n-k)! 4^k},</math>

27020

2023-10-18T17:33:30Z

Nagy Lenard:

'''27020 (Gheorghe Szöllösy)'''

Să se calculeze suma <math> \sum_{k=0}^{\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor} \frac{1}{4^k \cdot (k!)^2 \cdot (n-2k)!}, \quad n \geq 1
</math>

'''Soluție:'''

Fie <math> a_n </math> coeficientul lui <math> X^n </math> din rezolvarea lui

<math display="block"> P(X) = \left(X + \left\lfloor\frac{1}{2}\right\rfloor\right)^{2n} = \left(X(1+X) + \left\lfloor\frac{1}{4}\right\rfloor\right)^n = \sum_{k=0}^n C_n^k X^{(n-k)} \left(\frac{1}{4^k}\right).</math>

Avem <math> a_n = \left(\frac{1}{2^n}\right) C_2n^n </math>, iar pe de altă parte,
<math display="block"> a_n = C_n^0 \cdot C_n^0 + C_n^1 \cdot C_(n-1)^1 \left.\frac{1}{4}\right + C_n^2 \cdot C_(n-2)^1\left(\frac{1}{4^2}\right) + ... = </math>
<math display="block"> = \sum_{k=0}^{\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor} C_n^k C_(n-k)^k \cdot \left.\frac{1}{4^k}\right = n! \sum_{k=0}^{\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor} \frac{1}{(k!)^2 (n-k)! 4^k},</math>

27020

2023-10-18T17:31:57Z

Nagy Lenard:

'''27020 (Gheorghe Szöllösy)'''

Să se calculeze suma <math> \sum_{k=0}^{\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor} \frac{1}{4^k \cdot (k!)^2 \cdot (n-2k)!}, \quad n \geq 1
</math>

'''Soluție:'''

Fie <math> a_n </math> coeficientul lui <math> X^n </math> din rezolvarea lui

<math display="block"> P(X) = \left(X + \left\lfloor\frac{1}{2}\right\rfloor\right)^{2n} = \left(X(1+X) + \left\lfloor\frac{1}{4}\right\rfloor\right)^n = \sum_{k=0}^n C_n^k X^{(n-k)} \left(\frac{1}{4^k}\right).</math>

Avem <math> a_n = \left(\frac{1}{2^n}\right) C_2n^n </math>, iar pe de altă parte,
<math display="block"> a_n = C_n^0 \cdot C_n^0 + C_n^1 \cdot C_(n-1)^1 \left(\frac{1}{4}\right) + C_n^2 \cdot C_(n-2)^1\left(\frac{1}{4^2}\right) + ... = </math>
<math display="block"> = \sum_{k=0}^{\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor} C_n^k C_(n-k)^k \cdot \left(\frac{1}{4^k}\right) = n! \sum_{k=0}^{\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor} \frac{1}{(k!)^2 (n-k)! 4^k},</math>

27020

2023-10-18T17:30:05Z

Nagy Lenard:

'''27020 (Gheorghe Szöllösy)'''

Să se calculeze suma <math> \sum_{k=0}^{\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor} \frac{1}{4^k \cdot (k!)^2 \cdot (n-2k)!}, \quad n \geq 1
</math>

'''Soluție:'''

Fie <math> a_n </math> coeficientul lui <math> X^n </math> din rezolvarea lui

<math display="block"> P(X) = \left(X + \left\lfloor\frac{1}{2}\right\rfloor\right)^{2n} = \left(X(1+X) + \left\lfloor\frac{1}{4}\right\rfloor\right)^n = \sum_{k=0}^n C_n^k X^{(n-k)} \left(\frac{1}{4^k}\right).</math>

Avem <math> a_n = \left(\frac{1}{2^n}\right) C_2n^n </math>, iar pe de altă parte,
<math display="block"> a_n = C_n^0 \cdot C_n^0 + C_n^1 \cdot C_(n-1)^1 \left(\frac{1}{4}\right) + C_n^2 \cdot C_(n-2)^1\left(\frac{1}{4^2}\right) + ... = </math>
<math display="block"> = \sum_{k=0}^{\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor} C_n^k C_(n-k)^k \cdot \left(\frac{1}{4^k}\right) </math>

27020

2023-10-18T17:29:33Z

Nagy Lenard: Anularea modificării 6955 făcute de Nagy Lenard (Discuție)

'''27020 (Gheorghe Szöllösy)'''

Să se calculeze suma <math> \sum_{k=0}^{\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor} \frac{1}{4^k \cdot (k!)^2 \cdot (n-2k)!}, \quad n \geq 1
</math>

'''Soluție:'''

Fie <math> a_n </math> coeficientul lui <math> X^n </math> din rezolvarea lui

<math display="block"> P(X) = \left(X + \left\lfloor\frac{1}{2}\right\rfloor\right)^{2n} = \left(X(1+X) + \left\lfloor\frac{1}{4}\right\rfloor\right)^n = \sum_{k=0}^n C_n^k X^{(n-k)} \left(\frac{1}{4^k}\right).</math>

Avem <math> a_n = \left(\frac{1}{2^n}\right) C_2n^n </math>, iar pe de altă parte,
<math display="block"> a_n = C_n^0 \cdot C_n^0 + C_n^1 \cdot C_(n-1)^1 \left(\frac{1}{4}\right) + C_n^2 \cdot C_(n-2)^1\left(\frac{1}{4^2}\right) + ... =
= \sum_{k=0}^{\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor} C_n^k C_(n-k)^k \cdot \left(\frac{1}{4^k}\right) </math>

27020

2023-10-18T17:29:22Z

Nagy Lenard:

'''27020 (Gheorghe Szöllösy)'''

Să se calculeze suma <math> \sum_{k=0}^{\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor} \frac{1}{4^k \cdot (k!)^2 \cdot (n-2k)!}, \quad n \geq 1
</math>

'''Soluție:'''

Fie <math> a_n </math> coeficientul lui <math> X^n </math> din rezolvarea lui

<math display="block"> P(X) = \left(X + \left\lfloor\frac{1}{2}\right\rfloor\right)^{2n} = \left(X(1+X) + \left\lfloor\frac{1}{4}\right\rfloor\right)^n = \sum_{k=0}^n C_n^k X^{(n-k)} \left(\frac{1}{4^k}\right).</math>

Avem <math> a_n = \left(\frac{1}{2^n}\right) C_2n^n </math>, iar pe de altă parte,
<math display="block"> a_n = C_n^0 \cdot C_n^0 + C_n^1 \cdot C_(n-1)^1 \left(\frac{1}{4}\right) + C_n^2 \cdot C_(n-2)^1\left(\frac{1}{4^2}\right) + ... = \\
= \sum_{k=0}^{\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor} C_n^k C_(n-k)^k \cdot \left(\frac{1}{4^k}\right) </math>

27020

2023-10-18T17:27:59Z

Nagy Lenard:

'''27020 (Gheorghe Szöllösy)'''

Să se calculeze suma <math> \sum_{k=0}^{\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor} \frac{1}{4^k \cdot (k!)^2 \cdot (n-2k)!}, \quad n \geq 1
</math>

'''Soluție:'''

Fie <math> a_n </math> coeficientul lui <math> X^n </math> din rezolvarea lui

<math display="block"> P(X) = \left(X + \left\lfloor\frac{1}{2}\right\rfloor\right)^{2n} = \left(X(1+X) + \left\lfloor\frac{1}{4}\right\rfloor\right)^n = \sum_{k=0}^n C_n^k X^{(n-k)} \left(\frac{1}{4^k}\right).</math>

Avem <math> a_n = \left(\frac{1}{2^n}\right) C_2n^n </math>, iar pe de altă parte,
<math display="block"> a_n = C_n^0 \cdot C_n^0 + C_n^1 \cdot C_(n-1)^1 \left(\frac{1}{4}\right) + C_n^2 \cdot C_(n-2)^1\left(\frac{1}{4^2}\right) + ... =
= \sum_{k=0}^{\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor} C_n^k C_(n-k)^k \cdot \left(\frac{1}{4^k}\right) </math>