Bitnami MediaWiki - User contributions [en]

E:26460

2025-01-16T12:39:53Z

Ionut: Created page with "'''Problema 26460 (Nicolae Mușuroia, Baia Mare)''' ''Să se arate că dacă a, b, c sunt numere reale strict pozitive cu <math>a + b + c = abc</math>, atunci <math>(1 + a^2)(1 + b^2)(1 + c^2) \geq 64</math>.'' '''Soluție.''' Relația <math>a + b + c = abc</math> se scrie <math>\frac{1}{bc} + \frac{1}{ca} + \frac{1}{ab} = 1</math>. Avem: <math> 1 + a^2 = a^2 \left( 1 + \frac{1}{a^2} \right) = a^2 \left( \frac{1}{bc} + \frac{1}{ca} + \frac{1}{ab} + \frac{1}{a^2} \righ..."

'''Problema 26460 (Nicolae Mușuroia, Baia Mare)'''

''Să se arate că dacă a, b, c sunt numere reale strict pozitive cu <math>a + b + c = abc</math>, atunci <math>(1 + a^2)(1 + b^2)(1 + c^2) \geq 64</math>.''

'''Soluție.'''

Relația <math>a + b + c = abc</math> se scrie <math>\frac{1}{bc} + \frac{1}{ca} + \frac{1}{ab} = 1</math>. Avem:
<math>
1 + a^2 = a^2 \left( 1 + \frac{1}{a^2} \right) = a^2 \left( \frac{1}{bc} + \frac{1}{ca} + \frac{1}{ab} + \frac{1}{a^2} \right) =
</math>
<math>
= a^2 \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \right) \left( \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right) = \frac{(a + b)(a + c)}{\sqrt{bc}} \geq \frac{4a}{\sqrt{bc}}.
</math>

Deci <math>(1 + a^2)(1 + b^2)(1 + c^2) \geq \frac{4a}{\sqrt{bc}} \cdot \frac{4b}{\sqrt{ac}} \cdot \frac{4c}{\sqrt{ab}} = 64</math>.

0430 - Izolate

2023-01-06T17:33:44Z

Ionut: Pagină nouă: ==Cerinţa== Se dă lista muchiilor unui graf neorientat. Să se afișeze vârfurile izolate ale grafului. ==Date de intrare== Fişierul de intrare izolate.in conţine pe prima linie numărul n, reprezentând numărul de vârfuri ale grafului. Fiecare dintre următoarele linii conține câte o pereche de numere i j, cu semnificația că există muchie între i și j. ==Date de ieşire== Fişierul de ieşire izolate.out va conţine pe prima linie numărul m de vârfuri izola...

==Cerinţa==
Se dă lista muchiilor unui graf neorientat. Să se afișeze vârfurile izolate ale grafului.

==Date de intrare==
Fişierul de intrare izolate.in conţine pe prima linie numărul n, reprezentând numărul de vârfuri ale grafului. Fiecare dintre următoarele linii conține câte o pereche de numere i j, cu semnificația că există muchie între i și j.

==Date de ieşire==
Fişierul de ieşire izolate.out va conţine pe prima linie numărul m de vârfuri izolate, urmat de cele m vârfuri izolate, în ordine crescătoare, separate prin exact un spațiu.

==Restricţii şi precizări==
1 ≤ n ≤ 100
1 ≤ i , j ≤ n
muchiile se pot repeta în fișierul de intrare

==Exemplu==

''izolate.in''

:6

:1 4

:3 6

:4 3

:1 6

:6 4

''izolate.out''

:2 2 5

0416 - Grade

2023-01-06T17:32:17Z

Ionut: Pagină nouă: ==Cerinţa== Se dă lista muchiilor unui graf neorientat. Să se afișeze gradul fiecărui vârf. ==Date de intrare== Fişierul de intrare grade.in conţine pe prima linie numărul n, reprezentând numărul de vârfuri ale grafului. Fiecare dintre următoarele linii conține câte o pereche de numere i j, cu semnificația că există muchie între i și j. ==Date de ieşire== Fişierul de ieşire grade.out va conţine pe prima linie n numere naturale, reprezentând gradele...

==Cerinţa==
Se dă lista muchiilor unui graf neorientat. Să se afișeze gradul fiecărui vârf.

==Date de intrare==
Fişierul de intrare grade.in conţine pe prima linie numărul n, reprezentând numărul de vârfuri ale grafului. Fiecare dintre următoarele linii conține câte o pereche de numere i j, cu semnificația că există muchie între i și j.

==Date de ieşire==
Fişierul de ieşire grade.out va conţine pe prima linie n numere naturale, reprezentând gradele vârfurilor, în ordinea vârfurilor.

==Restricţii şi precizări==
1 ≤ n ≤ 100
1 ≤ i , j ≤ n
muchiile se pot repeta în fișierul de intrare

==Exemplu==
''grade.in''

:5

:1 4

:1 3

:3 5

:4 5

:2 4

:1 2

:4 2

:3 4

''grade.out''

:3 2 3 4 2

==Rezolvare==
<syntaxhighlight lang="python" line>

</syntaxhighlight>

0414 - ListaVecini

2023-01-06T17:28:20Z

Ionut: Pagină nouă: ==Cerinţa== Se dă lista muchiilor unui graf neorientat. Să se afișeze, pentru fiecare vârf al grafului, lista vecinilor săi. ==Date de intrare== Fişierul de intrare listavecini.in conţine pe prima linie numărul n, reprezentând numărul de vârfuri ale grafului. Fiecare dintre următoarele linii conține câte o pereche de numere i j, cu semnificația că există muchie între i și j. ==Date de ieşire== Fişierul de ieşire listavecini.out va conţine n linii. Fi...

==Cerinţa==
Se dă lista muchiilor unui graf neorientat. Să se afișeze, pentru fiecare vârf al grafului, lista vecinilor săi.

==Date de intrare==
Fişierul de intrare listavecini.in conţine pe prima linie numărul n, reprezentând numărul de vârfuri ale grafului. Fiecare dintre următoarele linii conține câte o pereche de numere i j, cu semnificația că există muchie între i și j.

==Date de ieşire==
Fişierul de ieşire listavecini.out va conţine n linii. Fiecare linie i va conține numărul de vecini ai vârfului i urmat de aceștia, în ordine crescătoare.

==Restricţii şi precizări==
1 ≤ n ≤ 100
1 ≤ i , j ≤ n
muchiile se pot repeta în fișierul de intrare

==Exemplu==
''listavecini.in''

:5

:1 4

:1 3

:3 5

:4 5

:2 4

:1 2

:4 2

:3 4

''listavecini.out''

:3 2 3 4

:2 1 4

:3 1 4 5

:4 1 2 3 5

:2 3 4

==Rezolvare==
<syntaxhighlight lang="python" line>

</syntaxhighlight>

0412 - Adiacenta

2023-01-06T17:23:37Z

Ionut:

==Cerinţa==
Se dă lista muchiilor unui graf neorientat. Să se afișeze matricea de adiacență a grafului.

==Date de intrare==
Fişierul de intrare adiacenta.in conţine pe prima linie numerele n și m, reprezentând numărul de vârfuri ale grafului și numărul de muchii date în continuare. Fiecare dintre următoarele m linii conține câte o pereche de numere i j, cu semnificația că există muchie între i și j.

==Date de ieşire==
Fişierul de ieşire adiacenta.out va conţine n linii, pe fiecare linie fiind câte n valori separate prin exact un spațiu, reprezentând matricea de adiacență a grafului dat.

==Restricţii şi precizări==
1 ≤ n ≤ 100
1 ≤ i , j ≤ n
muchiile se pot repeta în fișierul de intrare

==Exemplu==
''adiacenta.in''

:5 8

:1 4

:1 3

:3 5

:4 5

:2 4

:1 2

:4 2

:3 4

''adiacenta.out''

:0 1 1 1 0

:1 0 0 1 0

:1 0 0 1 1

:1 1 1 0 1

:0 0 1 1 0

==Rezolvare==
<syntaxhighlight lang="python" line>

</syntaxhighlight>

0412 - Adiacenta

2023-01-06T17:22:07Z

Ionut: /* Exemplu */

0412 - Adiacenta

2023-01-06T17:21:28Z

Ionut: /* Exemplu */

==Cerinţa==
Se dă lista muchiilor unui graf neorientat. Să se afișeze matricea de adiacență a grafului.

==Date de intrare==
Fişierul de intrare adiacenta.in conţine pe prima linie numerele n și m, reprezentând numărul de vârfuri ale grafului și numărul de muchii date în continuare. Fiecare dintre următoarele m linii conține câte o pereche de numere i j, cu semnificația că există muchie între i și j.

==Date de ieşire==
Fişierul de ieşire adiacenta.out va conţine n linii, pe fiecare linie fiind câte n valori separate prin exact un spațiu, reprezentând matricea de adiacență a grafului dat.

==Restricţii şi precizări==
1 ≤ n ≤ 100
1 ≤ i , j ≤ n
muchiile se pot repeta în fișierul de intrare

==Exemplu==
''adiacenta.in''

5 8

1 4

1 3

3 5

4 5

2 4

1 2

4 2

3 4

''adiacenta.out''

0 1 1 1 0

1 0 0 1 0

1 0 0 1 1

1 1 1 0 1

0 0 1 1 0

0412 - Adiacenta

2023-01-06T17:21:10Z

Ionut: /* Exemplu */

==Cerinţa==
Se dă lista muchiilor unui graf neorientat. Să se afișeze matricea de adiacență a grafului.

==Date de intrare==
Fişierul de intrare adiacenta.in conţine pe prima linie numerele n și m, reprezentând numărul de vârfuri ale grafului și numărul de muchii date în continuare. Fiecare dintre următoarele m linii conține câte o pereche de numere i j, cu semnificația că există muchie între i și j.

==Date de ieşire==
Fişierul de ieşire adiacenta.out va conţine n linii, pe fiecare linie fiind câte n valori separate prin exact un spațiu, reprezentând matricea de adiacență a grafului dat.

==Restricţii şi precizări==
1 ≤ n ≤ 100
1 ≤ i , j ≤ n
muchiile se pot repeta în fișierul de intrare

==Exemplu==
''adiacenta.in''
5 8

1 4

1 3

3 5

4 5

2 4

1 2

4 2

3 4
''adiacenta.out''
0 1 1 1 0

1 0 0 1 0

1 0 0 1 1

1 1 1 0 1

0 0 1 1 0

0412 - Adiacenta

2023-01-06T17:20:44Z

Ionut: Pagină nouă: ==Cerinţa== Se dă lista muchiilor unui graf neorientat. Să se afișeze matricea de adiacență a grafului. ==Date de intrare== Fişierul de intrare adiacenta.in conţine pe prima linie numerele n și m, reprezentând numărul de vârfuri ale grafului și numărul de muchii date în continuare. Fiecare dintre următoarele m linii conține câte o pereche de numere i j, cu semnificația că există muchie între i și j. ==Date de ieşire== Fişierul de ieşire adiacenta.o...

==Cerinţa==
Se dă lista muchiilor unui graf neorientat. Să se afișeze matricea de adiacență a grafului.

==Date de intrare==
Fişierul de intrare adiacenta.in conţine pe prima linie numerele n și m, reprezentând numărul de vârfuri ale grafului și numărul de muchii date în continuare. Fiecare dintre următoarele m linii conține câte o pereche de numere i j, cu semnificația că există muchie între i și j.

==Date de ieşire==
Fişierul de ieşire adiacenta.out va conţine n linii, pe fiecare linie fiind câte n valori separate prin exact un spațiu, reprezentând matricea de adiacență a grafului dat.

==Restricţii şi precizări==
1 ≤ n ≤ 100
1 ≤ i , j ≤ n
muchiile se pot repeta în fișierul de intrare

==Exemplu==
''adiacenta.in''
5 8
1 4
1 3
3 5
4 5
2 4
1 2
4 2
3 4
''adiacenta.out''
0 1 1 1 0
1 0 0 1 0
1 0 0 1 1
1 1 1 0 1
0 0 1 1 0

Probleme elementare cu grafuri neorientate

2023-01-06T17:16:35Z

Ionut:

{| class="wikitable sortable"
|+
!Denumire exercițiu
|-
|[[0412 - Adiacenta]]
|-
|[[0414 - ListaVecini]]
|-
|[[0416 - Grade]]
|-
|[[0430 - Izolate]]
|-
|[[]]
|-
|[[]]
|}

0947- baza16

2023-01-06T17:04:12Z

Ionut: Pagină nouă: ==Cerința== În baza 16, cifrele unui număr pot fi 0, 1, 2, …, 9, A, B, C, D, E, F. Fiind dat n un număr natural, afișați scrierea lui n în baza 16. ==Date de intrare== Programul citește de la tastatură numărul n. ==Date de ieșire== Programul va afișa pe ecran scrierea în baza 16 a numărului n. ==Restricții și precizări== 1 ≤ n ≤ 2.000.000.000; rezolvarea acestei probleme necesită utilizarea tablourilor sau a altor forme de memorare a unui număr var...

==Cerința==
În baza 16, cifrele unui număr pot fi 0, 1, 2, …, 9, A, B, C, D, E, F. Fiind dat n un număr natural, afișați scrierea lui n în baza 16.

==Date de intrare==
Programul citește de la tastatură numărul n.

==Date de ieșire==
Programul va afișa pe ecran scrierea în baza 16 a numărului n.

==Restricții și precizări==
1 ≤ n ≤ 2.000.000.000;
rezolvarea acestei probleme necesită utilizarea tablourilor sau a altor forme de memorare a unui număr variabil de valori.

==Exemplu==
;Intrare
:3024
;Iesire
:BD0

==Rezolvare==
<syntaxhighlight lang="python" line>

</syntaxhighlight>

3348 - SumaPuteri2

2023-01-06T17:02:23Z

Ionut: /* Rezolvare */

==Cerința==
Se dă un număr natural n. Descompuneți numărul n ca sumă de puteri ale lui 2.

==Date de intrare==
Programul citește de la tastatură numărul n.

==Date de ieșire==
Programul va afișa pe ecran, în ordine crescătoare, separate prin câte un spațiu, puterile lui 2 care au suma n.

==Restricții și precizări==
1 ≤ n < 231

==Exemplu==
;Intrare
:43
;Iesire
:1 2 8 32

==Rezolvare==
<syntaxhighlight lang="python" line>

</syntaxhighlight>

0427 - BazaMinima

2023-01-06T17:02:08Z

Ionut: Pagină nouă: ==Cerinţa== Se dau n numere naturale. Determinați cea mai mică bază de numerație b în care ar putea fi considerate aceste numere. ==Date de intrare== Programul citește de la tastatură numărul n, iar apoi n numere naturale, separate prin spaţii. ==Date de ieşire== Programul afișează pe ecran numărul b, valoarea căutată. ==Restricţii şi precizări== 1 ≤ n ≤ 100 cele n numere citite vor fi mai mici decât 1.000.000.000 ==Exemplu== ;Intrare :5 :1524 3000...

==Cerinţa==
Se dau n numere naturale. Determinați cea mai mică bază de numerație b în care ar putea fi considerate aceste numere.

==Date de intrare==
Programul citește de la tastatură numărul n, iar apoi n numere naturale, separate prin spaţii.

==Date de ieşire==
Programul afișează pe ecran numărul b, valoarea căutată.

==Restricţii şi precizări==
1 ≤ n ≤ 100
cele n numere citite vor fi mai mici decât 1.000.000.000

==Exemplu==
;Intrare
:5
:1524 300024 10001 2034 543201
;Iesire
:6

==Rezolvare==
<syntaxhighlight lang="python" line>

</syntaxhighlight>

3348 - SumaPuteri2

2023-01-06T16:59:39Z

Ionut: /* Exemplu */

3348 - SumaPuteri2

2023-01-06T16:58:58Z

Ionut: /* Exemplu */

3348 - SumaPuteri2

2023-01-06T16:58:37Z

Ionut:

3348 - SumaPuteri2

2023-01-06T16:58:21Z

Ionut:

3348 - SumaPuteri2

2023-01-06T16:57:09Z

Ionut: Pagină nouă: ==Cerința== Se dă un număr natural n. Descompuneți numărul n ca sumă de puteri ale lui 2. ==Date de intrare== Programul citește de la tastatură numărul n. ==Date de ieșire== Programul va afișa pe ecran, în ordine crescătoare, separate prin câte un spațiu, puterile lui 2 care au suma n. ==Restricții și precizări== 1 ≤ n < 231 ==Rezolvare==

0429 - CifBin

2023-01-06T16:50:14Z

Ionut:

==Cerinţa==

Se citește un număr natural n. Să se determine câte cifre 0 și câte cifre 1 are reprezentarea în baza 2 a acestui număr.

==Date de intrare==

Programul citește de la tastatură numărul n.

==Date de ieşire==

Programul afișează pe ecran numerele Z și U, separate printr-un spațiu, reprezentând numărul cifrelor 0, respectiv al cifrelor 1 din reprezentarea în baza 2 a lui n.

==Restricţii şi precizări==
1 ≤ n ≤ 1.000.000.000

==Exemplu==
;Intrare

:174

;Ieșire

:3 5
 

==Rezolvare==
<syntaxhighlight lang="python" line>

</syntaxhighlight>

0429 - CifBin

2023-01-06T16:46:56Z

Ionut: /* Exemplu */

0429 - CifBin

2023-01-06T16:46:45Z

Ionut: /* Exemplu */

0429 - CifBin

2023-01-06T16:45:17Z

Ionut: /* Exemplu */

0429 - CifBin

2023-01-06T16:45:07Z

Ionut: /* Exemplu */

0429 - CifBin

2023-01-06T16:44:46Z

Ionut: /* Exemplu */

0429 - CifBin

2023-01-06T16:43:40Z

Ionut:

0429 - CifBin

2023-01-06T16:39:12Z

Ionut:

==Cerinţa==

Se citește un număr natural n. Să se determine câte cifre 0 și câte cifre 1 are reprezentarea în baza 2 a acestui număr.

==Date de intrare==

Programul citește de la tastatură numărul n.

==Date de ieşire==

Programul afișează pe ecran numerele Z și U, separate printr-un spațiu, reprezentând numărul cifrelor 0, respectiv al cifrelor 1 din reprezentarea în baza 2 a lui n.

Restricţii şi precizări
1 ≤ n ≤ 1.000.000.000

0429 - CifBin

2023-01-06T16:31:44Z

Ionut: Pagină nouă: Cerinţa Se citește un număr natural n. Să se determine câte cifre 0 și câte cifre 1 are reprezentarea în baza 2 a acestui număr. Date de intrare Programul citește de la tastatură numărul n. Date de ieşire Programul afișează pe ecran numerele Z și U, separate printr-un spațiu, reprezentând numărul cifrelor 0, respectiv al cifrelor 1 din reprezentarea în baza 2 a lui n. Restricţii şi precizări 1 ≤ n ≤ 1.000.000.000

Cerinţa

Se citește un număr natural n. Să se determine câte cifre 0 și câte cifre 1 are reprezentarea în baza 2 a acestui număr.

Date de intrare

Programul citește de la tastatură numărul n.

Date de ieşire

Programul afișează pe ecran numerele Z și U, separate printr-un spațiu, reprezentând numărul cifrelor 0, respectiv al cifrelor 1 din reprezentarea în baza 2 a lui n.

Restricţii şi precizări
1 ≤ n ≤ 1.000.000.000

Baze de numerație

2023-01-06T16:15:55Z

Ionut:

{| class="wikitable sortable"
|+
!Denumire exercițiu
|-
|[[0429 - CifBin]]
|-
|[[3348 - SumaPuteri2]]
|-
|[[0427 - BazaMinima]]
|-
|[[0947- baza16]]
|-
|[[]]
|-
|[[]]
|}

Baze de numerație

2023-01-06T16:14:46Z

Ionut:

{| class="wikitable sortable"
|+
!Denumire exercițiu
|-
|[[0429 - CifBin]]
|-
|[[3348 - SumaPuteri2]]
|-
|[[427 - BazaMinima]]
|-
|[[947- baza16]]
|-
|[[]]
|-
|[[]]
|}