Bitnami MediaWiki - User contributions [en]

28338

2023-11-20T07:24:34Z

HMAndrei:

'''28338 (Nicolae Muşuroia)'''

''Fie'' <math>M</math> ''un punct în planul triunghiului'' <math>ABC</math> ''iar'' <math>A_1, B_1, C_1</math> ''simetricele punctului <math>M</math> față de mijloacele laturilor'' <math>BC, AC,</math> ''respectiv'' <math>AB</math>''.''

''a) Arătați că dreptele'' <math>AA_1, BB_1, CC_1</math> ''sunt concurente într-un punct'' <math>N</math>''.''

''b) Arătați că punctele'' <math>M, G, N</math> ''sunt coliniare și că'' <math>\frac{MG}{GN}</math> <math>= 2,</math> ''unde'' <math>G</math> ''este centrul de greutate al triunghiului'' <math>ABC</math>''.''

'''Soluție:'''

a) Patrulaterele <math>ABA_1B_1</math> și <math>BCB_1C_1</math> sunt paralelograme, prin urmare diagonalele lor au același mijloc.

Rezultă <math>AA_1</math> <math>\cap</math> <math>BB_1</math> <math>\cap</math> <math>CC_1</math> <math>=</math> <math>\{N\}</math>.

b) Notăm afixele punctelor din problemă cu literele mici corespunzătoare. Cum <math>AMBC_1</math><math>,</math> <math>AMCB_1</math> și <math>BMCA_1</math> sunt paralelograme, rezultă

<math display="block"> a_1 = b + c - m, </math> <math display="block">b_1 = c + a - m,</math><math display="block">c_1 = a + b - m.</math>

În plus<math>,</math> cum <math>N</math> este mijlocul lui <math>AA_1</math><math>,</math> rezultă că <math>n =</math> <math>\frac{a+a_1}{2}</math> <math>=</math> <math>\frac{a+b+c-m}{2}</math>.

Punctul <math>G</math> este centrul de greutate al triunghiului <math>ABC,</math> deci <math>g =</math> <math>\frac{a+b+c}{3}</math>.

Se verifică imediat că <math>\frac{g-m}{n-g}</math> <math>= 2</math> <math>\in</math> <math>\reals</math><math>,</math> deci punctele <math>M, G</math> și <math>N</math> sunt coliniare și <math>\frac{MG}{GN}</math> <math>=</math> <math>\frac{g-m}{n-g}</math> <math>=</math> <math>\frac{g-m}{n-g}</math> <math>=</math> <math>2</math>.

Gazeta Matematică nr 4 2018

2023-03-09T11:04:15Z

HMAndrei:

'''S:E18.127 (Nicolae Mușuroia)'''

Un copil se joacă. În prima etapă, scrie un număr pe tablă. La fiecare dintre etapele următoare, înlocuiește numărul de pe tablă cu un altul, obținut după una dintre următoarele reguli: sau scrie dublul numărului, sau scrie numărul obținut prin înlocuirea ultimei cifre a numărului cu ultima cifră a cubului acestuia. Știind că se pornește de la numărul <math>18</math>, stabiliți dacă

a) se poate ajunge la numărul <math>78</math>;

b) se poate ajunge la numărul <math>2018</math>.

'''S:E18.128 (Vasile Ienuțaș)'''

Scrieți numărul <math>2018^{2017}</math> ca sumă de patru pătrate perfecte nenule distincte.

'''S:E18.129 (Ioan-Iulian Bunu)'''

Determinați numerele prime <math>a, b, c</math> din egalitatea <math>5a^6+13b^2+5^c=2018</math>.

'''S:E18.130 (Traian Covaciu)'''

a) Determinați numerele prime <math>x,y,z</math> astfel încât <math>8x+9y+60z=1918</math>.

b) Aflați numerele naturale <math>x,y,z</math> astfel încât <math>20x+208y+209z=2018</math>.

'''S:E18.131 (Nicolae Mușuroia)''' [[S:E18.131|- soluție]]

Determinați cel mai mic număr natural pătrat perfect care se poate scrie ca sumă de 2018 numere naturale consecutive.

'''S:E18.154 (Nicolae Mușuroia)''' [[S:E18.154|- soluție]]

Fie <math>a,b,c \in \mathbb{Z}</math> cu <math>b^{2}+c^{2}=a^{2}</math>. Arătați că pentru orice <math>n\in \mathbb{N}^{*}</math>, ecuația <math>x^{2}+2a^{n}x+b^{2n}+c^{2n}=0</math> are soluții reale.

Pagina principală

2023-03-09T10:52:05Z

HMAndrei:

* [[Exercitii_rezolvate_-_Python]]

* [[Exerciții diverse - Python]]

* [[Gazeta_Matematică_nr_4_2018]]
** [[S:E18.131]]
** [[S:E18.154]]
* Gazeta_Matematica_nr_1/_2019

S:E18.131

2023-03-08T09:51:59Z

HMAndrei:

'''S:E18.131 (Nicolae Mușuroia)'''

Determinați cel mai mic număr natural pătrat perfect care se poate scrie ca sumă de 2018 numere naturale consecutive.

'''Soluție'''

Fie <math>k</math> numărul căutat. Atunci<math display="block">x+\bigl(x+1\bigr) + \ldots +\bigl(x+2017\bigr)=k^2</math>ceea ce revine, în mod echivalent, la<math display="block">1009 \cdot \bigl(2x+2017\bigr) = k^2</math>Deci <math>1009 | k^2</math>, iar cum <math>1009</math> este număr prim, se deduce că <math>1009 | k</math>.

Atunci, există <math>l \in \mathbb{N}^\ast</math>, cel mai mic posibil, pentru care <math>k=1009 \cdot l</math>.

Se obține <math>2x=1009\cdot l^2 - 2017 \in \mathbb{N} </math>, de unde rezultă <math>l=3 </math> și

<math display="block">k=3027 </math>

S:E18.131

2023-03-08T09:44:14Z

HMAndrei:

Gazeta Matematică nr 4 2018

2023-03-08T09:38:42Z

HMAndrei:

'''S:E18.131 (Nicolae Mușuroia)''' [[S:E18.131|- soluție]]

Determinați cel mai mic număr natural pătrat perfect care se poate scrie ca sumă de 2018 numere naturale consecutive.

'''S:E18.154 (Nicolae Mușuroia)''' [[S:E18.154|- soluție]]

Fie <math>a,b,c \in \mathbb{Z}</math> cu <math>b^{2}+c^{2}=a^{2}</math>. Arătați că pentru orice <math>n\in \mathbb{N}^{*}</math>, ecuația <math>x^{2}+2a^{n}x+b^{2n}+c^{2n}=0</math> are soluții reale.

S:E18.131

2023-03-08T09:37:41Z

HMAndrei:

'''S:E18.131 (Nicolae Mușuroia)'''

Determinați cel mai mic număr natural pătrat perfect care se poate scrie ca sumă de 2018 numere naturale consecutive.

'''Soluție'''

S:E18.131

2023-03-08T09:36:57Z

HMAndrei:

'''S:E18.131 (Nicolae Mușuroia)''' - soluție

Determinați cel mai mic număr natural pătrat perfect care se poate scrie ca sumă de 2018 numere naturale consecutive.

S:E18.131

2023-03-08T09:36:26Z

HMAndrei: Pagină nouă: '''S:E18.131 (Nicolae Mușuroia)''' - soluție Determinați cel mai ic număr natural pătrat perfect care se poate scrie ca sumă de 2018 numere naturale consecutive.

'''S:E18.131 (Nicolae Mușuroia)''' - soluție

Determinați cel mai ic număr natural pătrat perfect care se poate scrie ca sumă de 2018 numere naturale consecutive.

Pagina principală

2023-03-08T09:34:44Z

HMAndrei:

* [[Exercitii_rezolvate_-_Python]]

* [[Exerciții diverse - Python]]

* [[Gazeta_Matematica_nr_1/_2019]]
* [[Gazeta_Matematică_nr_4_2018]]
** [[S:E18.131]]
** [[S:E18.154]]

Gazeta Matematică nr 4 2018

2023-03-08T09:22:04Z

HMAndrei:

'''S:E18.154 (Nicolae Mușuroia)''' [[S:E18.154|- soluție]]

Fie <math>a,b,c \in \mathbb{Z}</math> cu <math>b^{2}+c^{2}=a^{2}</math>. Arătați că pentru orice <math>n\in \mathbb{N}^{*}</math>, ecuația <math>x^{2}+2a^{n}x+b^{2n}+c^{2n}=0</math> are soluții reale.

S:E18.154

2023-03-08T09:19:43Z

HMAndrei: inserarea soluției

'''S:E18.154 (Nicolae Mușuroia)'''

Fie <math>a,b,c \in \mathbb{Z}</math> cu <math>b^{2}+c^{2}=a^{2}</math>. Arătați că pentru orice <math>n\in \mathbb{N}^{*}</math>, ecuația <math>x^{2}+2a^{n}x+b^{2n}+c^{2n}=0</math> are soluții reale.

'''Soluție'''

Discriminantul ecuației <math>x^{2}+2a^{n}x+b^{2n}+c^{2n}=0</math> este <math display="block">\Delta = 4\left(a^{2n}-b^{2n}-c^{2n}\right).</math>Cum <math>a^{2n}= \left(a^2\right)^n=\left(b^2+c^2\right)^n \ge b^{2n}+c^{2n}</math> se obține că <math>\Delta \ge 0</math> oricare ar fi <math>n\in \mathbb{Z}</math>.

S:E18.154

2023-03-08T09:16:00Z

HMAndrei: Pagină nouă: == S ==

== S ==

Pagina principală

2023-03-08T09:13:59Z

HMAndrei:

* [[Exercitii_rezolvate_-_Python]]

* [[Exerciții diverse - Python]]

* [[Gazeta_Matematica_nr_1/_2019]]
* [[Gazeta_Matematică_nr_4_2018]]
** [[S:E18.154]]

Pagina principală

2023-03-08T09:13:42Z

HMAndrei:

* [[Exercitii_rezolvate_-_Python]]

* [[Exerciții diverse - Python]]

* [[Gazeta_Matematica_nr_1/_2019]]
* [[Gazeta_Matematică_nr_4_2018]]
**S:E18.154

Gazeta Matematică nr 4 2018

2023-03-08T09:10:24Z

HMAndrei:

'''S:E18.154'''

Fie <math>a,b,c \in \mathbb{Z}</math> cu <math>b^{2}+c^{2}=a^{2}</math>. Arătați că pentru orice <math>n\in \mathbb{N}^{*}</math>, ecuația <math>x^{2}+2a^{n}x+b^{2n}+c^{2n}=0</math> are soluții reale.

Gazeta Matematică nr 4 2018

2023-03-08T09:01:06Z

HMAndrei:

'''S:E18.154'''

Fie $a, b, c\in \mathbb{Z}$ cu $b^{2}+c^{2}=a^{2}$. Arătați că pentru orice $n\in \mathbb{N}^{*} $, ecuația

$ x^{2}+2a^{n}x+b^{2n}+c^{2n}=0$ are soluții reale.

Gazeta Matematică nr 4 2018

2023-03-08T08:59:43Z

HMAndrei: Pagină nouă: S:E18.154

S:E18.154

Pagina principală

2023-03-08T08:57:57Z

HMAndrei:

* [[Exercitii_rezolvate_-_Python]]

* [[Exerciții diverse - Python]]

* [[Gazeta_Matematica_nr_1/_2019]]
* [[Gazeta_Matematică_nr_4_2018]]
*

Pagina principală

2023-03-07T11:55:22Z

HMAndrei:

* [[Exercitii_rezolvate_-_Python]]

* [[Exerciții diverse - Python]]

* [[Gazeta_Matematica_nr_1/_2019]]
* Gazeta_Matematică_nr_4_2018
*