Bitnami MediaWiki - User contributions [en]

27401

2024-01-11T20:55:22Z

Fellner Arthur:

'''27401 (Radu Pop, Baia Mare)'''

''Fie <math>n \in \mathbb{N}</math>. Să se arate că
<math display="block"> (n+1)ab(a+b)-(4n^3+13n+10)ab+(n+2)^3(a+b) \geq (n+2)^3, </math>
oricare ar fi <math>a,b \in [1,\infty)</math>''

'''Soluție:'''

Fie <math> x,y \in [0,\infty)</math>.Avem
<math display="block">(x+1)(y+1)(x+y+n^2+n)=(n+1) \biggl(\underbrace{ \frac{x}{n + 1}+ \frac{x}{n + 1}+ \ldots +\frac{x}{n + 1}}_{(n+1)\text{ ori}}+1 \biggr) \cdot </math>

<math display="block"> \cdot \biggl(\underbrace{\frac{y}{n+1} + \frac{y}{n+1} + \cdots + \frac{y}{n+1}}_{(n+1) \text{ ori}} + 1\biggr) \cdot
\biggl(\frac{x}{n+1} + \frac{y}{n+1} +\underbrace{1+1+\cdots + 1 }_{n\text{ ori}}\biggr) \ge</math>

<math display="block">\ge (n+1)\sqrt[n+2]{\frac{x^{n+1}}{(n+1)^{n+1}}} \cdot \sqrt[n+2]{\frac{y^{n+1}}{(n+1)^{n+1}}} \cdot \sqrt[n+2]{\frac{xy}{(n+1)^{2}}} \cdot (n+2)^3 =</math>

<math display="block">=\frac{xy}{n+1}(n+2)^3.</math>

Rezultă că <math>(n+1)(x+1)(y+1)(x+y+n^2+n) \ge (n+2)^3xy</math>. Fie <math>x=a-1\ge 0</math> şi <math>y=b-1\ge0</math>. Obţinem <math>(n+1)ab(a+b+n^2+n-2)\ge(n+2)^3(a-1)(b-1)</math>, de unde <math>(n+1)ab(a+b)+(n^3+2n^2-n-2)ab \ge (n+2)^3ab-(n+2)^3(a+b)+(n+2)^3</math>, deci <math>(n+1)ab(a+b)-(4n^2+13n+10)ab+(n+2)^3(a+b) \ge (n+2)^3</math>.

27401

2024-01-11T20:34:48Z

Fellner Arthur:

'''27401 (Radu Pop, Baia Mare)'''

''Fie <math>n \in \mathbb{N}</math>. Să se arate că
<math display="block"> (n+1)ab(a+b)-(4n^3+13n+10)ab+(n+2)^3(a+b) \geq (n+2)^3, </math>
oricare ar fi <math>a,b \in [1,\infty)</math>''

'''Soluție:'''

Fie <math> x,y \in [0,\infty)</math>.Avem
<math display="block">(x+1)(y+1)(x+y+n^2+n)=(n+1) \biggl(\underbrace{ \frac{x}{n + 1}+ \frac{x}{n + 1}+ \ldots +\frac{x}{n + 1}}_{(n+1)\text{ ori}}+1 \biggr) \cdot </math>

<math display="block"> \cdot \biggl(\underbrace{\frac{y}{n+1} + \frac{y}{n+1} + \cdots + \frac{y}{n+1}}_{(n+1) \text{ ori}} + 1\biggr) \cdot
\biggl(\frac{x}{n+1} + \frac{y}{n+1} +\underbrace{1+1+\cdots + 1 }_{n\text{ ori}}\biggr) \ge</math>

<math display="block">\ge (n+1)\sqrt[n+2]{\frac{x^{n+1}}{(n+1)^{n+1}}} \cdot \sqrt[n+2]{\frac{y^{n+1}}{(n+1)^{n+1}}} \cdot \sqrt[n+2]{\frac{xy}{(n+1)^{2}}} \cdot (n+2)^3 =</math>

<math display="block">\frac{xy}{n+1}(n+2)^3.</math>

Rezultă că <math>(n+1)(x+1)(y+1)(x+y+n^2+n) \ge (n+2)^3xy</math>. Fie <math>x=a-1\ge 0</math> şi <math>y=b-1\ge0</math>. Obţinem <math>(n+1)ab(a+b+n^2+n-2)\ge(n+2)^3(a-1)(b-1)</math>, de unde <math>(n+1)ab(a+b)+(n^3+2n^2-n-2)ab \ge (n+2)^3ab-(n+2)^3(a+b)+(n+2)^3</math>, deci <math>(n+1)ab(a+b)-(4n^2+13n+10)ab+(n+2)^3(a+b) \ge (n+2)^3</math>.

27401

2024-01-11T20:34:08Z

Fellner Arthur:

\usepackage{MnSymbol}

'''27401 (Radu Pop, Baia Mare)'''

''Fie <math>n \in \mathbb{N}</math>. Să se arate că
<math display="block"> (n+1)ab(a+b)-(4n^3+13n+10)ab+(n+2)^3(a+b) \geq (n+2)^3, </math>
oricare ar fi <math>a,b \in [1,\infty)</math>''

'''Soluție:'''

Fie <math> x,y \in [0,\infty)</math>.Avem
<math display="block">(x+1)(y+1)(x+y+n^2+n)=(n+1) \biggl(\underbrace{ \frac{x}{n + 1}+ \frac{x}{n + 1}+ \ldots +\frac{x}{n + 1}}_{(n+1)\text{ ori}}+1 \biggr) \cdot </math>

<math display="block"> \cdot \biggl(\underbrace{\frac{y}{n+1} + \frac{y}{n+1} + \cdots + \frac{y}{n+1}}_{(n+1) \text{ ori}} + 1\biggr) \cdot
\biggl(\frac{x}{n+1} + \frac{y}{n+1} +\underbrace{1+1+\cdots + 1 }_{n\text{ ori}}\biggr) \ge</math>

<math display="block">\ge (n+1)\sqrt[n+2]{\frac{x^{n+1}}{(n+1)^{n+1}}} \cdot \sqrt[n+2]{\frac{y^{n+1}}{(n+1)^{n+1}}} \cdot \sqrt[n+2]{\frac{xy}{(n+1)^{2}}} \cdot (n+2)^3 =</math>

<math display="block">\frac{xy}{n+1}(n+2)^3.</math>

Rezultă că <math>(n+1)(x+1)(y+1)(x+y+n^2+n) \ge (n+2)^3xy</math>. Fie <math>x=a-1\ge 0</math> şi <math>y=b-1\ge0</math>. Obţinem <math>(n+1)ab(a+b+n^2+n-2)\ge(n+2)^3(a-1)(b-1)</math>, de unde <math>(n+1)ab(a+b)+(n^3+2n^2-n-2)ab \ge (n+2)^3ab-(n+2)^3(a+b)+(n+2)^3</math>, deci <math>(n+1)ab(a+b)-(4n^2+13n+10)ab+(n+2)^3(a+b) \ge (n+2)^3</math>.

27401

2024-01-11T20:31:48Z

Fellner Arthur: Pagină nouă: \usepackage{MnSymbol} '''27401 (Radu Pop, Baia Mare)''' ''Fie <math>n \in \mathbb{N}</math>. Să se arate că <math display="block"> (n+1)ab(a+b)-(4n^3+13n+10)ab+(n+2)^3(a+b) \geq (n+2)^3, </math> oricare ar fi <math>a,b \in [1,\infty)</math>'' '''Soluție:''' Fie <math> x,y \in [0,\infty)</math>.Avem <math display="block">(x+1)(y+1)(x+y+n^2+n)=(n+1) \biggl(\underbrace{ \frac{x}{n + 1}+ \frac{x}{n + 1}+ \ldots +\frac{x}{n + 1}}_{(n+1)\text{ ori}}+1 \biggr) \cdot </math>...

\usepackage{MnSymbol}

'''27401 (Radu Pop, Baia Mare)'''

''Fie <math>n \in \mathbb{N}</math>. Să se arate că
<math display="block"> (n+1)ab(a+b)-(4n^3+13n+10)ab+(n+2)^3(a+b) \geq (n+2)^3, </math>
oricare ar fi <math>a,b \in [1,\infty)</math>''

'''Soluție:'''

Fie <math> x,y \in [0,\infty)</math>.Avem
<math display="block">(x+1)(y+1)(x+y+n^2+n)=(n+1) \biggl(\underbrace{ \frac{x}{n + 1}+ \frac{x}{n + 1}+ \ldots +\frac{x}{n + 1}}_{(n+1)\text{ ori}}+1 \biggr) \cdot </math>

<math display="block"> \cdot \biggl(\underbrace{\frac{y}{n+1} + \frac{y}{n+1} + \cdots + \frac{y}{n+1}}_{(n+1) \text{ ori}} + 1\biggr) \cdot
\biggl(\frac{x}{n+1} + \frac{y}{n+1} +\underbrace{1+1+\cdots + 1 }_{n\text{ ori}}\biggr) \ge</math>

<math display="block">\ge (n+1)\sqrt[n+2]{\frac{x^{n+1}}{(n+1)^{n+1}}} \cdot \sqrt[n+2]{\frac{y^{n+1}}{(n+1)^{n+1}}} \cdot \sqrt[n+2]{\frac{xy}{(n+1)^{2}}} \cdot (n+2)^3) =</math>

<math display="block">\frac{xy}{n+1}(n+2)^3.</math>

Rezultă că <math>(n+1)(x+1)(y+1)(x+y+n^2+n) \ge (n+2)^3xy</math>. Fie <math>x=a-1\ge 0</math> şi <math>y=b-1\ge0</math>. Obţinem <math>(n+1)ab(a+b+n^2+n-2)\ge(n+2)^3(a-1)(b-1)</math>, de unde <math>(n+1)ab(a+b)+(n^3+2n^2-n-2)ab \ge (n+2)^3ab-(n+2)^3(a+b)+(n+2)^3</math>, deci <math>(n+1)ab(a+b)-(4n^2+13n+10)ab+(n+2)^3(a+b) \ge (n+2)^3</math>.

E:16380

2023-12-27T20:17:22Z

Fellner Arthur:

'''E:16380 (Cristina Vijdeluc, Salonic şi Mihai Vijdeluc, Baia Mare)'''

''Aflaţi numerele naturale ''<math>a,b,c,d</math>'' pentru care are loc relaţia ''<math>2(3^{a + 1} + 3^{b + 1} + 3^{c + 1}) = 3 \cdot 6 \cdot 9 \cdot \ldots \cdot d.</math>

'''Soluție:'''

Egalitatea din enunţul se poate scrie <math>6(3^a + 3^b +3^c) = 3 \cdot 6 \cdot 9 \cdot \ldots \cdot d.</math> Trebuie ca <math>d \geqslant 6</math> şi <math>d</math> să fie divizibil cu <math>3.</math>

Dacă <math>d = 6,</math> atunci <math>3^a + 3^b +3^c = 3,</math> ceea ce înseamnă <math>a = b = c = 0.</math>

Dacă <math>d = 9,</math> atunci <math>3^a + 3^b +3^c = 27,</math> de unde rezultă că <math>a = b = c = 2.</math>

Dacă <math>d = 12,</math> obţinem <math>3^a + 3^b +3^c = 3^4 \cdot 4,</math> adică <math>3^{a - 4} + 3^{b - 4} + 3^{c - 4} = 4,</math> ecuaţia care nu are soluţii.

Pentru <math>d \geqslant 15,</math> ultima cifră a produsului din membrul drept este zero. Dar <math>u(3^n) \in \{1,3,7,9\},</math> deci o sumă de trei puteri ale lui <math>3</math> nu are niciodată ultima cifră zero.

Aşadar, soluţiile căutate sunt <math>(a, b, c, d) \in \{(0, 0, 0, 6),(2, 2, 2, 9)\}.</math>

E:16380

2023-12-27T19:49:39Z

Fellner Arthur: Pagină nouă: '''E:16380 (Cristina Vijdeluc, Salonic şi Mihai Vijdeluc, Baia Mare)''' ''Aflaţi numerele naturale ''<math>a,b,c,d</math>'' pentru care are loc relaţia ''<math>2(3^{a + 1} + 3^{b + 1} + 3^{c + 1}) = 3 \cdot 6 \cdot 9 \cdot \ldots \cdot d.</math> '''Soluție:''' Egalitatea din enunţul se poate scrie <math>6(3^a + 3^b +3^c) = 3 \cdot 6 \cdot 9 \cdot \ldots \cdot d.</math> Trebuie ca <math>d \geqslant 6</math> şi <math>d</math> să fie divizibil cu <math>3.</math> Dacă...

'''E:16380 (Cristina Vijdeluc, Salonic şi Mihai Vijdeluc, Baia Mare)'''

''Aflaţi numerele naturale ''<math>a,b,c,d</math>'' pentru care are loc relaţia ''<math>2(3^{a + 1} + 3^{b + 1} + 3^{c + 1}) = 3 \cdot 6 \cdot 9 \cdot \ldots \cdot d.</math>

'''Soluție:'''

Egalitatea din enunţul se poate scrie <math>6(3^a + 3^b +3^c) = 3 \cdot 6 \cdot 9 \cdot \ldots \cdot d.</math> Trebuie ca <math>d \geqslant 6</math> şi <math>d</math> să fie divizibil cu <math>3.</math>

Dacă <math>d = 6,</math> atunci <math>3^a + 3^b +3^c = 3,</math> ceea ce înseamnă <math>a = b = c = 0.</math>

Dacă <math>d = 9,</math> atunci <math>3^a + 3^b +3^c = 27,</math> de unde rezultă că <math>a = b = c = 2.</math>

Dacă <math>d = 12,</math> obţinem <math>3^a + 3^b +3^c = 3^4 \cdot 4,</math> adică <math>3^{a - 4} + 3^{b - 4} + 3^{c - 4} = 4,</math> ecuaţia care nu are soluţii.

Pentru <math>d \geqslant 15,</math> ultima cifră a produsului din membrul drept este zero. Dar <math>u(3^n) \in {1,3,7,9},</math> deci o sumă de trei puteri ale lui <math>3</math> nu are niciodată ultima cifră zero.

Aşadar, soluţiile căutate sunt <math>(a, b, c, d) \in \{(0, 0, 0, 6),(2, 2, 2, 9)\}.</math>

E:16379

2023-12-27T18:45:58Z

Fellner Arthur:

'''E:16379 (Cristina Vijdeluc, Salonic şi Mihai Vijdeluc, Baia Mare)'''

''Aflaţi numărul natural ''<math>\overline{ab}</math>'', cu cifre distincte, pentru care ''<math>(\overline{ab} - \overline{ba}) : (a - b) = \overline{bb} \cdot \overline{ba} - 2015.</math>

'''Soluție:'''

Egalitatea din enunţ se mai scrie <math>\overline{ab} - \overline{ba} = (a - b) \cdot (\overline{bb} \cdot \overline{ba} - 2015).</math> Descompunând <math>\overline{ab}</math> şi <math>\overline{ba}</math> în sistemul zecimal şi efectuând câteva calcule, obţinem: <math>9(a - b) = (a - b) \cdot (\overline{bb} \cdot \overline{ba} - 2015).</math>

Cum <math>a - b \ne 0,</math> egalitatea devine <math>\overline{bb} \cdot \overline{ba} - 2015 = 9,</math> adică <math>11 \cdot b \cdot \overline{ba} = 2024.</math> Rezultă în continuare că <math>b \cdot \overline{ba} = 184,</math> egalitate adevărată doar pentru <math>b = 4</math> şi <math>a = 6.</math> Aşadar, <math>\overline{ab} = 64.</math>

E:16379

2023-12-27T18:44:50Z

Fellner Arthur:

E:16379

2023-12-27T18:43:21Z

Fellner Arthur:

'''E:16379 (Cristina Vijdeluc, Salonic şi Mihai Vijdeluc, Baia Mare)'''

''Aflaţi numărul natural ''<math>\overline{ab}</math>'', cu cifre distincte, pentru care ''<math>(\overline{ab} - \overline{ba}) : (a - b) = \overline{bb} \cdot \overline{ba} - 2015.</math>

'''Soluție:'''

Egalitatea din enunţ se mai scrie <math>\overline{ab} - \overline{ba} = (a - b) \cdot (\overline{bb} \cdot \overline{ba} - 2015).</math> Descompunând <math>\overline{ab}</math> şi <math>\overline{ba}</math> în sistemul zecimal şi efectuând câteva calcule, obţinem:<math>9(a - b) = (a - b) \cdot (\overline{bb} \cdot \overline{ba} - 2015).</math>

Cum <math>a - b \ne 0,</math> egalitatea devine <math>\overline{bb} \cdot \overline{ba} - 2015 = 9,</math> adică <math>11 \cdot b \cdot \overline{ba} = 2024.</math> Rezultă în continuare că <math>b \cdot \overline{ba} = 184,</math> egalitate adevărată doar pentru <math>b = 4</math> şi <math>a = 6.</math> Aşadar, <math>\overline{ab} = 64.</math>

<math>\overline{ab}</math>

E:16379

2023-12-27T18:41:59Z

Fellner Arthur: Pagină nouă: '''E:16379 (Cristina Vijdeluc, Salonic şi Mihai Vijdeluc, Baia Mare)''' ''Aflaţi numărul natural ''<math>\overline{ab}</math>'', cu cifre distincte, pentru care ''<math>(\overline{ab} - \overline{ba} : (a - b) = \overline{bb} \cdot \overline{ba} - 2015.</math> '''Soluție:''' Egalitatea din enunţ se mai scrie <math>\overline{ab} - \overline{ba} = (a - b) \cdot (\overline{bb} \cdot \overline{ba} - 2015).</math> Descompunând <math>\overline{ab}</math> şi <math>\overli...

'''E:16379 (Cristina Vijdeluc, Salonic şi Mihai Vijdeluc, Baia Mare)'''

''Aflaţi numărul natural ''<math>\overline{ab}</math>'', cu cifre distincte, pentru care ''<math>(\overline{ab} - \overline{ba} : (a - b) = \overline{bb} \cdot \overline{ba} - 2015.</math>

'''Soluție:'''

Egalitatea din enunţ se mai scrie <math>\overline{ab} - \overline{ba} = (a - b) \cdot (\overline{bb} \cdot \overline{ba} - 2015).</math> Descompunând <math>\overline{ab}</math> şi <math>\overline{ba}</math> în sistemul zecimal şi efectuând câteva calcule, obţinem:<math>9(a - b) = (a - b) \cdot (\overline{bb} \cdot \overline{ba} - 2015).</math>

Cum <math>a - b \ne 0,</math> egalitatea devine <math>\overline{bb} \cdot \overline{ba} - 2015 = 9,</math> adică <math>11 \cdot b \cdot \overline{ba} = 2024.</math> Rezultă în continuare că <math>b \cdot \overline{ba} = 184,</math> egalitate adevărată doar pentru <math>b = 4</math> şi <math>a = 6.</math> Aşadar, <math>\overline{ab} = 64.</math>

<math>\overline{ab}</math>

E:15695

2023-12-27T17:42:12Z

Fellner Arthur: Pagină nouă: '''E:15695 (Cristina Vijdeluc şi Mihai Vijdeluc, Baia Mare)''' ''Aflaţi numerele de forma ''<math>\overline{ab},</math>'' ştiind că ''<math>\overline{aaa} \cdot b + \overline{bb} = 2020.</math> '''Soluție:''' Relaţia dată se scrie <math>111 \cdot a \cdot b + 11 \cdot b = 2020</math> sau <math>b(111a + 11) = 2020</math>. Divizorii lui <math>2020</math> sunt <math>1, 2, 4, 5, 10, 20, 101, 202, 404, 505, 1010</math> şi <math>2020</math>. Cum <math>111a + 11 \ge 122,</...

'''E:15695 (Cristina Vijdeluc şi Mihai Vijdeluc, Baia Mare)'''

''Aflaţi numerele de forma ''<math>\overline{ab},</math>'' ştiind că ''<math>\overline{aaa} \cdot b + \overline{bb} = 2020.</math>

'''Soluție:'''

Relaţia dată se scrie <math>111 \cdot a \cdot b + 11 \cdot b = 2020</math> sau <math>b(111a + 11) = 2020</math>. Divizorii lui <math>2020</math> sunt <math>1, 2, 4, 5, 10, 20, 101, 202, 404, 505, 1010</math> şi <math>2020</math>. Cum <math>111a + 11 \ge 122,</math> sunt posibile cazurile:<math>111a + 11 = 202</math> şi <math>b = 10, 111a + 11 = 404</math> şi <math>b = 5, 111a + 11 = 505</math> şi <math>b = 4, 111a + 11 = 1010</math> şi <math>b = 2</math> sau <math>111a + 11 = 2020</math> şi <math>b = 1.</math> Convine numai cazul <math>111a + 11 = 1010</math> şi <math>b = 2,</math> de unde <math>a = 9</math> şi <math>b = 2.</math>

E:15694

2023-12-27T16:43:23Z

Fellner Arthur:

'''E:15694 (Traian Covaciu, Baia Mare)'''

''Suma a două numere naturale nenule este 2020. Dacă împărţim primul număr la al doilea, obţinem câtul egal cu restul. Aflaţi cele două numere.''

'''Soluție.'''

Dacă <math>a</math> şi <math>b</math> sunt cele două numere, <math>a > b</math> şi <math>c</math> este câtul şi restul, atunci <math>a + b = 2020</math> <math>(1)</math> şi <math>a = b \cdot c + c</math> <math>(2)</math>, cu <math>c < b</math>. Înlocuind pe <math>(2)</math> în <math>(1)</math> avem <math>b \cdot c + c + b = 2020</math>. sau <math>c(b + 1) + b + 1 = 2021</math>, de unde <math>(b + 1)(c + 1) = 2021</math>. Cum <math>2021 = 43 \cdot 47</math> putem avea <math>b + 1 = 43</math> şi <math>c + 1 = 47</math> sau <math>b + 1 = 47</math> şi <math>c + 1 = 43</math>. În primul caz <math>b = 42</math> şi <math>c = 46</math>, care nu convine (avem condiţia <math>c < b</math>). În al doilea caz <math>b = 46</math> şi <math>c = 42</math>. Obţinem <math>a = 1974</math>.

E:15694

2023-12-27T12:58:06Z

Fellner Arthur:

'''E:15694 (Traian Covaciu, Baia Mare)'''

''Suma a două numere naturale nenule este 2020. Dacă împărţim primul număr la al doilea, obţinem câtul egal cu restul. Aflaţi cele două numere.''

'''Soluție.'''

Dacă <math>a</math> şi <math>b</math> sunt cele două numere, <math>a > b</math> şi <math>c</math> este câtul şi restul, atunci <math>a + b = 2020</math> <math>(1)</math> şi <math>a = b * c + c</math> <math>(2)</math>, cu <math>c < b</math>. Înlocuind pe <math>(2)</math> în <math>(1)</math> avem <math>b * c + c + b = 2020</math>. sau <math>c(b + 1) + b + 1 = 2021</math>, de unde <math>(b + 1)(c + 1) = 2021</math>. Cum <math>2021 = 43 * 47</math> putem avea <math>b + 1 = 43</math> şi <math>c + 1 = 47</math> sau <math>b + 1 = 47</math> şi <math>c + 1 = 43</math>. În primul caz <math>b = 42</math> şi <math>c = 46</math>, care nu convine (avem condiţia <math>c < b</math>). În al doilea caz <math>b = 46</math> şi <math>c = 42</math>. Obţinem <math>a = 1974</math>.

E:15694

2023-12-27T12:56:59Z

Fellner Arthur:

'''E:15694 (Traian Covaciu, Baia Mare)'''

''Suma a două numere naturale nenule este 2020. Dacă împărţim primul număr la al doilea, obţinem câtul egal cu restul. Aflaţi cele două numere.''

'''Soluție.'''

Dacă <math>a</math> şi <math>b</math> sunt cele două numere, <math>a > b</math> şi <math>c</math> este câtul şi restul, atunci <math>a + b = 2020 (1)</math> şi <math>a = b * c + c (2)</math>, cu <math>c < b</math>. Înlocuind pe <math>(2)</math> în <math>(1)</math> avem <math>b * c + c + b = 2020</math>. sau <math>c(b + 1) + b + 1 = 2021</math>, de unde <math>(b + 1)(c + 1) = 2021</math>. Cum <math>2021 = 43 * 47</math> putem avea <math>b + 1 = 43</math> şi <math>c + 1 = 47</math> sau <math>b + 1 = 47</math> şi <math>c + 1 = 43</math>. În primul caz <math>b = 42</math> şi <math>c = 46</math>, care nu convine (avem condiţia <math>c < b</math>). În al doilea caz <math>b = 46</math> şi <math>c = 42</math>. Obţinem <math>a = 1974</math>.

E:15694

2023-12-27T12:56:38Z

Fellner Arthur:

'''E:15694 (Traian Covaciu, Baia Mare)'''

''Suma a două numere naturale nenule este 2020. Dacă împărţim primul număr la al doilea, obţinem câtul egal cu restul. Aflaţi cele două numere.''

'''Soluție.'''

Dacă <math>a</math> şi <math>b</math> sunt cele două numere, <math>a > b</math> şi <math>c</math> este câtul şi restul, atunci <math>a + b = 2020 (1)</math> şi <math>a = b * c + c (2)</math>, cu <math>c < b</math>. Înlocuind pe <math>(2)</math> în <math>(1)</math> avem <math>b * c + c + b = 2020</math>. sau <math>c(b + 1) + b + 1 = 2021</math>, de unde <math>(b + 1)(c + 1) = 2021</math>. Cum <math>2021 = 43 * 47</math> putem avea <math>b + 1 = 43</math> şi <math>c + 1 = 47</math> sau <math>b + 1 = 47</math> şi <math>c + 1 = 43</math>. În primul caz <math>b = 42</math> şi <math>c = 46</math>, care nu convine (avem condiţia <math>c < b</math>). În al doilea caz <math>b = 46</math> şi <math>c = 42</math>. Obţinem <math>a = 1974</math>.

E:15694

2023-12-27T12:55:42Z

Fellner Arthur:

'''E:15694 (Traian Covaciu, Baia Mare)'''

''Suma a două numere naturale nenule este 2020. Dacă împărţim primul număr la al doilea, obţinem câtul egal cu restul. Aflaţi cele două numere.''

'''Soluție.'''

Dacă <math>a</math> şi <math>b</math> sunt cele două numere, <math>a > b</math> şi <math>c</math> este câtul şi restul, atunci <math>a + b = 2020</math> (1) şi <math>a = b * c + c</math> (2), cu <math>c < b</math>. Înlocuind pe <math>(2)</math> în <math>(1)</math> avem <math>b * c + c + b = 2020</math>. sau <math>c(b + 1) + b + 1 = 2021</math>, de unde <math>(b + 1)(c + 1) = 2021</math>. Cum <math>2021 = 43 * 47</math> putem avea <math>b + 1 = 43</math> şi <math>c + 1 = 47</math> sau <math>b + 1 = 47</math> şi <math>c + 1 = 43</math>. În primul caz <math>b = 42</math> şi <math>c = 46</math>, care nu convine (avem condiţia <math>c < b</math>). În al doilea caz <math>b = 46</math> şi <math>c = 42</math>. Obţinem <math>a = 1974</math>.

E:15694

2023-12-27T12:51:49Z

Fellner Arthur:

'''E:15694 (Traian Covaciu, Baia Mare)'''

''Suma a două numere naturale nenule este 2020. Dacă împărţim primul număr la al doilea, obţinem câtul egal cu restul. Aflaţi cele două numere.''

'''Soluție.'''

Dacă <math>a</math> şi <math>b</math> sunt cele două numere, <math>a > b</math> şi <math>c</math> este câtul şi restul, atunci <math>a + b = 2020</math> (1) şi <math>a = b * c + c</math> (2), cu <math>c < b</math>. Înlocuind pe (2) în (1) avem <math>b * c + c + b = 2020</math>. sau <math>c(b + 1) + b + 1 = 2021</math>, de unde <math>(b + 1)(c + 1) = 2021</math>. Cum <math>2021 = 43 * 47</math> putem avea <math>b + 1 = 43</math> şi <math>c + 1 = 47</math> sau <math>b + 1 = 47</math> şi <math>c + 1 = 43</math>. În primul caz <math>b = 42</math> şi <math>c = 46</math>, care nu convine (avem condiţia <math>c < b</math>). În al doilea caz <math>b = 46</math> şi <math>c = 42</math>. Obţinem <math>a = 1974</math>.

E:15694

2023-12-27T12:47:40Z

Fellner Arthur: Pagină nouă: '''E:15694(Traian Covaciu, Baia Mare)''' ''Suma a două numere naturale nenule este 2020. Dacă împărţim primul număr la al doilea, obţinem câtul egal cu restul. Aflaţi cele două numere.'' '''Soluție.''' Dacă <math>a</math> şi <math>b</math> sunt cele două numere, <math>a > b</math> şi <math>c</math> este câtul şi restul, atunci <math>a + b = 2020</math> (1) şi <math>a = b * c + c</math> (2), cu <math>c < b</math>. Înlocuind pe (2) în (1) avem <math>b *...

'''E:15694(Traian Covaciu, Baia Mare)'''

''Suma a două numere naturale nenule este 2020. Dacă împărţim primul număr la al doilea, obţinem câtul egal cu restul. Aflaţi cele două numere.''

'''Soluție.'''

Dacă <math>a</math> şi <math>b</math> sunt cele două numere, <math>a > b</math> şi <math>c</math> este câtul şi restul, atunci <math>a + b = 2020</math> (1) şi <math>a = b * c + c</math> (2), cu <math>c < b</math>. Înlocuind pe (2) în (1) avem <math>b * c + c + b = 2020</math>. sau <math>c(b + 1) + b + 1 = 2021</math>, de unde <math>(b + 1)(c + 1) = 2021</math>. Cum <math>2021 = 43 * 47</math> putem avea <math>b + 1 = 43</math> şi <math>c + 1 = 47</math> sau <math>b + 1 = 47</math> şi <math>c + 1 = 43</math>. În primul caz <math>b = 42</math> şi <math>c = 46</math>, care nu convine (avem condiţia <math>c < b</math>). În al doilea caz <math>b = 46</math> şi <math>c = 42</math>. Obţinem <math>a = 1974</math>.